二重积分的计算ppt课件.ppt

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1、6.2 二重积分的计算二重积分的计算一、二重积分的几何意义一、二重积分的几何意义前面我们已经知道：面密度为前面我们已经知道：面密度为f (x,y)的平面簿片的平面簿片的质量可以用二重积分表示为：的质量可以用二重积分表示为： 01,lim(,).niiiiDmfx y df 因为被积函数因为被积函数z=f (x,y)在几何上表示一空间曲面，假定在几何上表示一空间曲面，假定z=f (x,y) 0且在且在D上连续，下面我们将说明二重上连续，下面我们将说明二重 积分积分 ,Dfx y d 在几何上表示以在几何上表示以xoy面上的闭区域面上的闭区域D为底，以过为底，以过D的边界曲线为准线而母线平行于的边

2、界曲线为准线而母线平行于z轴的柱面为侧面，以曲面轴的柱面为侧面，以曲面的体积的体积 .这样的空间立体这样的空间立体z=f(x,y)为顶的一空间立体为顶的一空间立体称为称为曲顶柱体曲顶柱体. zfx,y D分割分割求曲顶柱体的体积求曲顶柱体的体积 .的的通过通过分割、作乘积、分割、作乘积、求和、取极限，求和、取极限，可得曲顶柱体的体积可得曲顶柱体的体积01lim(,).niiiiVf xzyoD()zf x,y i ()ii, ,iiiivf ,Dfx y d ,iizf 就是曲顶柱体的体积就是曲顶柱体的体积. 在在xoy平面的下方，二重积分的绝对值平面的下方，二重积分的绝对值 ,Dfx y d

3、 就是柱体的体积就是柱体的体积, 但此时二重积分但此时二重积分 ,Dfx y d 的值的值是负的是负的. 而在其余部分的区域是负的，则而在其余部分的区域是负的，则 ,Dfx y d 就等于就等于这些部分区域上曲顶柱体体积的代数和这些部分区域上曲顶柱体体积的代数和.当当f (x,y) 0时，二重积分时，二重积分 ,Dfx y d 的几何意义的几何意义 ,Dfx y d 当当f (x,y) 为负时，柱体就为负时，柱体就如果如果f (x,y) 在在D内的某些部分区域是正的，内的某些部分区域是正的，二、直角坐标系中二重积分的计算二、直角坐标系中二重积分的计算首先讨论二重积分首先讨论二重积分 ,Dfx

4、y d 中积分区域中积分区域D的表示法的表示法1. 如果积分区域如果积分区域D可以表示为：可以表示为： 12,.yxyyxDaxb 2()yyx abD1()yyx Dba2( )yyx 1( )yyx X型型 12,yxyxa b其中函数在上连续.其中函数在上连续.X型型 X型区域的特点：型区域的特点：穿过区域且平行于穿过区域且平行于y 轴的轴的Dba2()yyx 1()yyx 2()yyx abD1( )yyx 直线与区域边界相交不多于两个交点直线与区域边界相交不多于两个交点. .2. 如果积分区域如果积分区域D为为：Y型型 12,.xyxxyDcyd 12,xyxyc d其中函数在区间上

5、连续.其中函数在区间上连续.Y型型 Y型区域的特点：型区域的特点：穿过区域且平行于穿过区域且平行于x轴的轴的直线与区域边界相交不多于两个交点直线与区域边界相交不多于两个交点. .下面我们通过曲顶柱体体积的计算来说明二重积分下面我们通过曲顶柱体体积的计算来说明二重积分 ,Dfx y d 化为二次积分的方法，化为二次积分的方法，在讨论中，假定在讨论中，假定f (x,y) 0， D为为X-型型. y1(x0), y2(x0) 为底边，以曲线为底边，以曲线的曲边梯形，此截面面积为的曲边梯形，此截面面积为 201000,.yxyxA xfxy dy x且平行且平行yoz面的平面的平面截曲顶柱体所得面截曲

6、顶柱体所得截面面积为截面面积为 21,.yxyxA xfx y dy 任取任取x a,b，过点，过点 在在a,b上任取一点上任取一点 x0 作平行于作平行于yoz面面截曲顶柱体所得截截曲顶柱体所得截面是一个以区间面是一个以区间z=f (x0 , y)为曲边为曲边应用定积分中计算应用定积分中计算“已知平行截面面积的立体已知平行截面面积的立体体积体积”的方法，得到的方法，得到 21,bbyxaayxA x dxfx y dy dx 这个体积的值，就是二重积分这个体积的值，就是二重积分 ,Dfx y d 的值。的值。因此，二重积分因此，二重积分 ,Dfx y d 21.,byxayxfx y dy

7、dx ,Dfx y d 21.,byxayxfx y dy dx 上式右端的积分称为上式右端的积分称为先对先对y后对后对x的二次积分，的二次积分，其中括号内的积分其中括号内的积分 21,yxyxfx y dy 是将是将x看作常数，看作常数，把把f(x,y) 看作变量看作变量y的函数，其积分结果是的函数，其积分结果是x的函数，的函数，再对再对x计算在区间计算在区间a,b上的定积分。上的定积分。先对先对y后对后对x的二次积分通常又记为：的二次积分通常又记为：( , )( , )DDf x y df x y dxdy 21( )( )( , ).byxayxdxf x y dy 确定积分顺序时，应注

8、意积分区域确定积分顺序时，应注意积分区域D为为X-型的特点：型的特点：X型型( , )( , )DDf x y df x y dxdy 21( )( )( , ).byxayxdxf x y dy 类似地，当积分区域类似地，当积分区域D为为Y-型时，可得公式：型时，可得公式：( , )( , )DDf x y df x y dxdy 21( )( )( , ).dxycxydyf x y dx 确定积分顺序时，应注意积分区域确定积分顺序时，应注意积分区域D为为Y-型的特点：型的特点：Y型型注：注： 上面的公式当上面的公式当f (x,y) 0不满足时，公式亦成立不满足时，公式亦成立. 注注1 当

9、积分区域当积分区域D既是既是X-型又是型又是Y-型区域型区域 时，时，上述两个不同顺序的二次积分的值相等上述两个不同顺序的二次积分的值相等. 即即( , )Df x y dxdy 21( )( )( , )byxayxdxf x y dy 21( )( )( , ).dxycxydyf x y dx 注注2 如果积分区域如果积分区域D既不是既不是X-型又不是型又不是Y-型，则可型，则可将将D分成几部分，使得每个部分是分成几部分，使得每个部分是X-型或型或Y-型。型。123( , ).DDDDf x y d 1D2D3D解解22(0 0)(1 1),yx,xy 2()Dxy dxdy 2120(

10、)xxdxxy dy122401()()2xxxxxdx 33140. 例例1 求求 ，其中其中 是由抛物线是由抛物线2()Dxy dxdy D2yx 2xy 和和 所围平面闭区域所围平面闭区域. .两曲线的交点两曲线的交点 2xy 22,Dxy dDyxyx 例2.计算其中 是由与例2.计算其中 是由与围成闭区域.围成闭区域.解解 先画出积分区域先画出积分区域D. (1) 先对先对y后对后对x的二次积分，的二次积分，D应表示为：应表示为：2,01.xyxDx 2Dxy dxdy 213013yxy xxydx 136013x xx dx 140 它既是它既是X-型，又是型，又是Y-型型.21

11、20 xxdxxy dy(2) 将将D作为作为Y-型区域，型区域，D可表示为：可表示为：,01.yxyDy 1xy x=y2Dxy dxdy 120yydyxy dx 122012xyxyyxdy 122011.240yyydy 223.,2Dy dDyxxy 例 计算其中 是由与抛物线围成.例 计算其中 是由与抛物线围成. 解解 (1)首先画出积分区域首先画出积分区域D，作先对作先对x 后对后对y 的二次积分的二次积分.22,12.yxyDy 2Dy d 22212yyydy 63.20 22212yydyy dx D1D2（2）作先对）作先对y后对后对x 的二次积分的二次积分. 因为在因为

12、在-2,-1和和-1，2上边界曲线上边界曲线y(x)表达式不同，表达式不同，必须有直线必须有直线x=-1将将D分成分成D1和和D2两部分，其中两部分，其中122,21.xyxDx 22,12.xyxDx 2Dy d 1222DDy dy d 12222xxdxy dy 2221xxdxy dy 6320 注注1 在二重积分中适当选择积分秩序，积分可以简化在二重积分中适当选择积分秩序，积分可以简化.21104.xydyedx 例计算积分例计算积分解解 由于积分由于积分2xedx 无法用初等函数表示出来，无法用初等函数表示出来，所以该积分不能采用先对所以该积分不能采用先对x 后对后对y 的积分顺序

13、的积分顺序.现改为先对现改为先对y 后对后对x 的积分的积分.首先，根据所给积分确定首先，根据所给积分确定积分区域积分区域1,01.yxDy 改变积分顺序时，将改变积分顺序时，将D表示为：表示为：0,01.yxDx 所以所以22111000 xxxydyedxdxedy 210111.2xxedxe 注注2 在二重积分中适当选择积分先后顺序，对某些在二重积分中适当选择积分先后顺序，对某些积分可以解决积分可以解决“积得出来积得出来”与与“积不出来积不出来”的问的问题。题。1yxxy11解解积分区域如图积分区域如图例例5 改变改变积分积分 的次序的次序. . 1100()xdxf x,y dy 原

14、式原式1100()ydyf x,y dx 11解解积分区域如图积分区域如图212220010()()x xxdxf x,y dydxf x,y dy 原式原式212011()yydyf x,y dx 6例改变积分次序例改变积分次序例例8 求由柱面求由柱面x2+y2=R2及及x2+z2=R2所围成的立体体积所围成的立体体积.解解 由对称性知，其体积为由对称性知，其体积为第一卦限部分的第一卦限部分的8倍倍.220,0.yRxDxR 228DVRx d 2222008RRxdxRx dy 2208RRxdx 3163R 解解01xy,xyxy,1100()xdxxyxy dy 1301 (1)(1)

15、 2xxxdx 724. 例例9 求由下列曲面所围成的立体体积求由下列曲面所围成的立体体积, ,zxy, zxy, 1xy,0 x, 0y. 所围立体在所围立体在 面上的投影是面上的投影是 xoy所求体积所求体积()DVxyxy d y=x2-11例例1010解解2.: 11,01.Dyx dDxy 计算其中先去掉绝对值符号，如图先去掉绝对值符号，如图2Dyx d 2211122101()()xxdxxy dydxyxdy11.15 12322()()DDDxy dyx d 三、在极坐标系中的计算三、在极坐标系中的计算由二重积分的定义可知；由二重积分的定义可知； 01,lim(,).niiii

16、Dfx y df 现在用一族同心圆现在用一族同心圆r=常数以及从极点出发的一族常数以及从极点出发的一族射线射线 常数将常数将D划分为任意的划分为任意的n个小闭区域。个小闭区域。小闭区域的面积小闭区域的面积i 为：为：2211()22iiiiiirrr 21,2iiiiirrr ，iir 当与充分小时不当与充分小时不计一个更高阶的无穷小计一个更高阶的无穷小 21，2iir 量有量有.iiiir r cos ,sin .xryr 又又 1(,)cos, sin.nniiiiiiiiiiiiff rrr r 设设 f (x,y)在在D上连续，所以二重积分存在，上连续，所以二重积分存在，上式两端令上式

17、两端令0,： 取极限, 得取极限, 得( , )( cos , sin ).DDf x y dxdyf rrrdrd 这就是直角坐标系的二重积分变换到极坐标系的这就是直角坐标系的二重积分变换到极坐标系的二重积分的公式。二重积分的公式。.ddxdyrdrd注: 面积元素注: 面积元素下面研究在极坐标系中，二重积分化为二次积分。下面研究在极坐标系中，二重积分化为二次积分。1 极点在积分区域极点在积分区域D的外部时的外部时21( )( )( cos , sin ).rrdf rrrdr ( cossin )Df r,rrdrd 12,( )( ).Drrr 1rr 2rr 2 极点在积分区域极点在积

18、分区域D的内部时的内部时( cossin )Df r,rrdrd 2( )00( cos , sin ).rdf rrrdr 02 ,0( ).Drr 3 极点在积分区域极点在积分区域D的边界时的边界时( )0( cos , sin ).rdf rrrdr ,0( ).Drr ( cos , sin )Df rrrdrd 极坐标系下区域的面积极坐标系下区域的面积.Drdrd r=aroD解解D：ar 0， 20. 22xyDedxdy 2200arderdr 2(1).ae 注注: : 极坐标系下能解决直角坐标系下极坐标系下能解决直角坐标系下某些某些“积不出来积不出来”的二重积分的二重积分.

19、.例例1 计算计算 ，其中其中D 是由中心在原点是由中心在原点，22xyDedxdy 半径为半径为a的圆周所围成的闭区域的圆周所围成的闭区域.xyz例例2 求圆柱体求圆柱体 220 xyRx R2222xyzR被球面被球面 所割下的立体 称为维维安尼所割下的立体 称为维维安尼 Viviani体 体积.体 体积.解解 由于所求立体关于由于所求立体关于xoy面、面、zox面对称，其体积面对称，其体积为第一卦为第一卦 限部分体积的限部分体积的4倍。倍。 第一卦限部分是一个曲顶柱第一卦限部分是一个曲顶柱体，其顶为上半球面体，其顶为上半球面222,zRxy22,0.xyRxDy 0cos ,0.2rRD

20、 2224DVRxy dxdy cos222004RdRr rdr 332041sin3Rd 342.323R DRcosrR 解解2222sin()Dxydxdyxy 2201sin4rdrdrr 4. 1D例例3 计算二重积分计算二重积分 2222sin(),Dxydxdyxy 22( , )|14Dx yxy其中积分区域为其中积分区域为12222sin()4Dxydxdyxy 14DD 1:0, 12.2Dr 由对称性由对称性 解解22 2222()2()xya xy2cos2ra, 222xya1D2cos2r a ra 根据对称性有根据对称性有 14DD 例例5 求曲线求曲线 22 2222()2()xya xy222xya和和 所围成的图形的面积所围成的图形的面积.在极坐标系下在极坐标系下 ra,1D2cos2r a ra 6 14Ddxdy 62cos204aadrdr 2( 3).3a 2cos2rara 由由得交点得交点 ()6Aa, 所求面积所求面积 Ddxdy