与抛物线有关的结论【可编辑范本】.doc

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1、与抛物线有结论抛物线中有一些常见、常用的结论,了解这些结论后在做选择题、填空题时可迅速解答相关问题，在做解答题时也可迅速打开思路。结论一:若A是抛物线的焦点弦(过焦点的弦)，且，,则：，。证明：因为焦点坐标为F（,0)，当AB不垂直于x轴时,可设直线A的方程为：，由得:，。当A轴时，直线AB方程为,则,，同上也有:。例:已知直线AB是过抛物线焦点F,求证:为定值。证明：设,由抛物线的定义知：，又+，所以+=-p,且由结论一知:。则:=（常数）结论二：(1)若B是抛物线的焦点弦,且直线AB的倾斜角为,则(0).(2)焦点弦中通径（过焦点且垂直于抛物线对称轴的弦)最短。证明：（1）设,设直线AB:

2、由得:,，,。易验证，结论对斜率不存在时也成立。（2)由(1):AB为通径时,的值最大，最小.例：已知过抛物线的焦点的弦AB长为1,则直线A倾斜角为.解：由结论二，1=(其中为直线B的倾斜角）, 则,所以直线B倾斜角为或.结论三:两个相切:（1）以抛物线焦点弦为直径的圆与准线相切。 （)过抛物线焦点弦的两端点向准线作垂线，以两垂足为直径端点的圆与焦点弦相切。已知A是抛物线的过焦点F的弦，求证：（1)以AB为直径的圆与抛物线的准线相切。BAMNQPyxOF（2)分别过A、B做准线的垂线,垂足为M、N,求证:以MN为直径的圆与直线A相切。证明:(1）设AB的中点为，过A、Q、B向准线作垂线,垂足分

3、别为M、P、N,连结A、BP.由抛物线定义：,，,以AB为直径为圆与准线l相切OAMNPyxF（2)作图如(1),取中点P,连结P、MF、NF,，AMOF，AMF=FM，A=MO，AFM=MO。同理，FN=NFO,MFN=(AFM+FO+N+NFO）=0,B,PFM=FPAFPAM+FMFMA+FMP=MA=，FPB以MN为直径为圆与焦点弦B相切结论四：若抛物线方程为,过(,0）的直线与之交于、B两点,则OB。反之也成立。证明：设直线B方程为:,由得， ,AOBO,将,代入得,。直线AB恒过定点（0，1).当且仅当k=时,取最小值1。结论五(了解)：对于抛物线,其参数方程为设抛物线上动点坐标为

4、,为抛物线的顶点,显然,即的几何意义为过抛物线顶点的动弦的斜率.例 直线与抛物线相交于原点和点，为抛物线上一点,和垂直，且线段长为,求的值.解析:设点分别为,则，的坐标分别为.练习:1. 过抛物线的焦点作一直线交抛物线于两点，若线段与的长分别是，则=【解析：化为标准方程,得,从而.取特殊情况，过焦点的弦垂直于对称轴,则为通径,即，从而，故】2.设抛物线的焦点为，经过点的直线交抛物线于两点.点在抛物线的准线上，且轴证明直线经过原点【证明：抛物线焦点为设直线的方程为，代入抛物线方程,得若设,则. 轴，且点在准线; 又由，得,故，即直线经过原点】3。已知抛物线的焦点是,准线方程是,求抛物线的方程以及

5、顶点坐标和对称轴方程.【解:设是抛物线上的任意一点，由抛物线的定义得. 整理，得，此即为所求抛物线的方程. 抛物线的对称轴应是过焦点且与准线垂直的直线，因此有对称轴方程设对称轴与准线的交点为，可求得,于是线段的中点就是抛物线的顶点,坐标是】4。抛物线的顶点坐标是,准线的方程是，试求该抛物线的焦点坐标和方程. 解:依题意,抛物线的对称轴方程为. 设对称轴和准线的交点是,可以求得设焦点为,则的中点是,故得焦点坐标为 再设是抛物线上的任一点，根据抛物线的定义得,化简整理得,即为所求抛物线的方程.。已知为抛物线上两点，且，求线段中点的轨迹方程.解析：设,据的几何意义,可得.设线段中点，则消去参数得点的轨迹方程为.4