2021_2021学年高中数学第一章导数及其应用1.3.3函数的最大小值与导数课时素养评价含解析新人教A版选修2_.doc

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1、课时素养评价七函数的最大(小)值与导数(15分钟30分)1.函数f(x)=x3-6x(|x|1)()A.有最大值,但无最小值B.有最大值,也有最小值C.无最大值,但有最小值D.既无最大值,也无最小值【解析】选D.f(x)=3x2-6=3(x+)(x-),因为x(-1,1),所以f(x)e时,y0;当0x0,所以y极大值=f(e)=e-1,在定义域内只有一个极值,所以ymax=e-1.4.函数f(x)=sin x-x,x的最大值是()A.-1B.C.-D.1-【解析】选A.因为f(x)=sin x-x,所以f(x)=cos x-1,易得当x时,f(x)0恒成立,所以f(x)在闭区间内单调递减,故

2、当x=-时,f(x)取最大值,即f(x)max=f=sin-=-1.5.若函数f(x)=x3-3x在区间(a,6-a2)上有最小值,求实数a的取值范围.【解析】由于函数f(x)在开区间(a,6-a2)上有最小值,则函数f(x)的极小值点在(a,6-a2)内,且在(a,6-a2)上的单调性是先减再增.f(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1),当-1x1时,f(x)1,f(x)0,所以函数f(x)的极小值为f(1).又函数f(x)=x3-3x在区间(a,6-a2)上有最小值,所以f(a)f(1),由解得-2ag(x0)成立,则实数a的取值范围为()A.B.(0,+)C.0,+)D.【解析】选B

3、.由题意得f(x)-g(x)0在1,e上有解,即ax-2ln x0在1,e上有解,所以a.设y=,则y=0,所以ymin=0,故得a0.4.已知函数f(x)=e2x-3,g(x)=+ln,若f(m)=g(n)成立,则n-m的最小值为()A.+ln 2B.ln 2C.+2ln 2D.2ln 2【解析】选A.设e2m-3=+ln=k(k0),则m=+,n=2,令h(k)=n-m=2-,所以h(k)=2-,又h(k)=2-在上为增函数,且h=0,当k时,h(k)0,所以h(k)=2-在上单调递减,在上单调递增.所以h(k)min=h=+ln 2,即n-m的最小值为+ln 2.5.已知函数f(x)=l

4、n x-2恰有两个零点,则实数m的取值范围是()A.(-e,0)B.(-e,+)C.(0,e)D.(-,e)【解析】选A.令f(x)=ln x-2=0,得m=xln x-2x,所以函数f(x)=ln x-2恰有两个零点等价于函数f(x)=m与f(x)=xln x-2x图象有两个不同的交点,对于f(x)=xln x-2x,f(x)=ln x-1,所以f(x)=xln x-2x在(0,e)上单调递减,在(e,+)上单调递增,所以f(x)min=eln e-2e=-e,故m-e,又当x(0,e)时f(x)=xln x-2x=x(ln x-2)0,所以m0,综上所述:-em0)的值域为_.【解析】f(

5、x)=-1+=,当f(x)00x1,当f(x)1,所以函数f(x)在区间(0,1)上单调递增,在区间(1,+)上单调递减,则f(x)max=f(1)=1-1-1=-1,即函数f(x)的值域为(-,-1.答案:(-,-17.已知函数f(x)=2x3+3x2-12x-1在m,1上的最大值为17,则m=_.【解析】函数f(x)=2x3+3x2-12x-1,所以f(x)=6x2+6x-12,令f(x)=0,得x=-2或x=1,所以x(-,-2)时,f(x)0,f(x)单调递增,x(-2,1)时,f(x)17,因为f(x)在x=m处取得最大值为17,所以-2m0,则(x)=,当x(0,+)时,ex-x-

6、10恒成立,令(x)0,得x1;令(x)0,得0x0时,S(t)=t3+6t+,S(t)=,令S(t)=0得t=2,-2(舍),t(0,2)2(2,+)S(t)-0+S(t)极小值所以S(t)有极小值也是最小值S(2)=32,又S(t)为偶函数,所以当t=2时,S(t)有最小值32.10.已知函数f(x)=x2-2aln x,g(x)=x2-x+2-2ln 2.(1)讨论函数f(x)的单调性.(2)当a=1时,判断g(x)-f(x)的零点个数.【解析】 (1)f(x)=2x-=,故当a0时,f(x)0,所以函数f(x)在上单调递增,当a0时,令f(x)0,得x,所以函数f(x)在上单调递增,令

7、f(x)0,得x0时,函数f(x)在上单调递增,在上单调递减.(2)设F(x)=g(x)-f(x)=2ln x-x+2-2ln 2,则F(x)=-1,令F(x)=0,解得x=2,当x时,F(x)0;当x时,F(x)0;故F(x)最大值为F=0,所以g(x)-f(x)有且只有一个零点2.1.设直线x=t与函数f(x)=x2,g(x)=ln x的图象分别交于点M,N,则当|MN|达到最小时t的值为_.【解析】|MN|的最小值,即函数h(x)=x2-ln x的最小值,h(x)=2x-=,显然x=是函数h(x)在其定义域内唯一的极小值点,也是最小值点,故t=.答案:2.已知函数f(x)=2x+aln

8、x,aR.(1)若函数f(x)在1,+)上单调递增,求实数a的取值范围.(2)记函数g(x)=x2,若g(x)的最小值是-6,求函数f(x)的解析式.【解题指南】已知函数在某区间单调递增,转化为导函数大于等于0恒成立,恒成立问题一般要分离参数,再构建新函数,然后利用导数求新函数的最值;含参数的函数求最值,注意分类讨论.【解析】(1)f(x)=2-+0,所以a-2x在1,+)上恒成立,令h(x)=-2x,x1,+),因为h(x)=-20,因为g(x)=6x2+a,当a0时, g(x)0恒成立,所以g(x)在(0,+)上单调递增,无最小值,不合题意,所以a0,令g(x)=0,则x= (舍负值),由此可得,g(x)在上单调递减,在上单调递增,则x=是函数的极小值点,g(x)最小=g=-6,解得a=-6,所以f(x)=2x+-6ln x.