2021_2021学年新教材高中数学第八章向量的数量积与三角恒等变换8.1.3向量数量积的坐标运算课时素养检测含解析新人教B版必修第三册.doc

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1、课时素养检测十六向量数量积的坐标运算(30分钟60分)一、选择题(每小题4分,共24分,多选题全部选对得4分,选对但不全对的得2分,有选错的得0分)1.已知向量a=(1,-1),b=(2,x),若ab=1,则x等于()A.1B.C.-D.-1【解析】选A.由向量a=(1,-1),b=(2,x),ab=1,得ab=(1,-1)(2,x)=2-x=1x=1.2.已知点A(-1,1),B(1,2),C(-2,-1),D(3,4),则向量在方向上投影的数量是()A.-3B.-C.3D.【解析】选A.依题意得,=(-2,-1),=(5,5),=(-2,-1)(5,5)=-15,|=,因此向量在方向上投影

2、的数量是=-3.3.(2020新高考全国卷)已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点,则的取值范围是()A.(-2,6)B.(-6,2)C.(-2,4)D.(-4,6)【解析】选A.设P(x,y),建立如图所示的平面直角坐标系,则A(0,0),B(2,0),=(x,y),=(2,0),所以=2x,由题意可得点C的横坐标为3,点F的横坐标为-1,所以-1x3,所以-211,则m的取值范围为.【解析】=m+411,解得m7.答案:(7,+)8.已知矩形ABCD的中心为O,AD=2,若=8,则AOB=,向量与的夹角为.【解题指南】先计算AB的长,再建立平面直角坐标系,转化为向量的坐标公式计算.

3、【解析】因为矩形ABCD的中心为O,AD=2,得=0,由=8,得(+)(+)=8,所以+-+=-4=8,即=12,|=2.如图,以O为原点,建立平面直角坐标系,则A(-,-1),B(,-1),C(,1),D(-,1),得=(2,0),=(2,2),=(-,-1),=(,-1),=(0,2),=(-,-1),得=12,|=2,|=4,所以cosBAC=,因为0BAC,所以BAC=,所以AOB=.因为cos=-,且0,所以向量与的夹角为.答案:三、解答题(每小题14分,共28分)9.在平面直角坐标系xOy中,已知点A(-1,-2),B(2,3),C(-2,-1).(1)求以线段AB,AC为邻边的平

4、行四边形的两条对角线的长.(2)设实数t满足(-t)=0,求t的值.【解析】(1)由题设知=(3,5),=(-1,1),则+=(2,6),-=(4,4),所以|+|=2,|-|=4.故两条对角线的长分别为2,4.(2)由题设知=(-2,-1),-=(3+2t,5+t).由(-)=0,得(3+2t,5+t)(-2,-1)=0,从而5t=-11,故t=-.10.(2019孝感高一检测)设a=(1,2),b=(m,6)(m0),a与b的夹角为.(1)求b.(2)若c与b同向,a-c与a垂直,求|c|.【解析】(1)因为a=(1,2),b=(m,6),=,所以cos=cos=,所以=,所以=2(m+1

5、2),所以10(m2+36)=4(m+12)2,所以m2-16m-36=0,所以(m-18)(m+2)=0,所以m=-2或m=18(舍)(m0),所以a-c=(1+2,2-6),因为(a-c)a,所以(a-c)a=0,所以1+2+4-12=0,所以=,所以c=(-1,3),所以|c|=.(35分钟70分)一、选择题(每小题4分,共16分,多选题全部选对得4分,选对但不全对的得2分,有选错的得0分)1.已知向量a=(1,2),b=(-2,-3),则(a+b)(b-a)=()A.8B.18C.-8D.-18【解析】选A.方法一:因为a=(1,2),b=(-2,-3),则(a+b)(b-a)=b2-

6、a2=13-5=8.方法二:因为a=(1,2),b=(-2,-3),则a+b=(-1,-1),b-a=(-3,-5),所以(a+b)(b-a)=(-1)(-3)+(-1)(-5)=8.2.设x,yR,向量a=(x,1),b=(1,y),c=(2,-4),且ac,bc,则|a+b|等于 ()A.B.C.2D.10【解析】选B.因为a=(x,1),b=(1,y),c=(2,-4),由ac得ac=0,即2x-4=0,所以x=2.由bc,得1(-4)-2y=0,所以y=-2.所以a=(2,1),b=(1,-2).所以a+b=(3,-1),所以|a+b|=.3.(多选题)已知向量a=(3,4),b=(-

7、4,-3),则下列说法正确的是()A.a与b的夹角是直角B.a与b的夹角是平角C.a+b与a-b的夹角是直角D.a在b上投影的数量等于b在a上投影的数量【解析】选CD.由向量a=(3,4),b=(-4,-3),得ab=-240,所以a与b的夹角是钝角.(a+b)(a-b)=a2-b2=0,所以a+b与a-b的夹角是直角.a在b上投影的数量为|a|cos=-,b在a上投影的数量为|b|cos=-.4.函数y=tan的部分图像如图所示,则(+)=()A.-6B.-4C.4D.6【解析】选D.由y=tan的图像可知A(2,0),B(3,1),所以+=(5,1),=(1,1),所以=6.【补偿训练】已

8、知,|=,|=t.若点P是ABC所在平面内的一点,且=+,则的最大值等于()A.13B.15C.19D.21【解析】选A.如图,以点A为原点,所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系.则A(0,0),B,C(0,t),所以=(1,0),=(0,1),所以=+=(1,0)+4(0,1)=(1,4),所以点P的坐标为(1,4),=,=(-1,t-4),所以=1-4t+16=-+17-4+17=13.当且仅当=4t,即t=时取“=”,所以的最大值为13.二、填空题(每小题4分,共16分)5.已知向量a=(1,-),b=(-,1),则a与b夹角的大小为.【解析】因为向量a=(1,-),b=(-,1)

9、,所以a与b夹角满足cos =-=-,又因为0,所以=.答案:6.已知平面向量a,b的夹角为60,a=(2,0),|a+2b|=2,则|b|=.【解析】因为a=(2,0),所以|a|=2,把|a+2b|=2两边平方可得a2+4ab+4b2=12,即|a|2+4|a|b|cos+4|b|2=12,代入数据可得22+42|b|+4|b|2=12,整理可得|b|2+|b|-2=0,解得|b|=1.答案:17.如图,在ABC中,D是BC的中点,E,F是AD上的两个三等分点,=4,=-1,则的值是.【解析】方法一:以D为坐标原点,BC所在直线为x轴,线段BC的中垂线为y轴建立平面直角坐标系,设B(-a,

10、0),C(a,0),A(b,c),则E,F,=(b+a,c),=(b-a,c),=,=,=,=,由=b2-a2+c2=4,=-a2+=-1,解得b2+c2=,a2=,则=(b2+c2)-a2=.方法二:设=a,=b,则=(a+3b)(-a+3b)=9|b|2-|a|2=4,=(a+b)(-a+b)=|b|2-|a|2=-1,解得|a|2=,|b|2=,则=(a+2b)(-a+2b)=4|b|2-|a|2=.答案:【补偿训练】在等腰梯形ABCD中,已知ABDC,AB=2,BC=1,ABC=60.点E和F分别在线段BC和DC上,且=,=,则的值为.【解析】方法一:取,为一组基底,则=-=-,=+=

11、-+=-+,所以=|2-+|2=4-21+=.方法二:以AB所在直线为x轴,A为原点建立如图所示的坐标系.由于AB=2,BC=1,ABC=60,所以CD=1,等腰梯形ABCD的高为,所以A(0,0),B(2,0),D,C,所以=,=(1,0),又因为=,=,所以E,F,因此=+=+=.答案:8.设平面向量a=(-2,1),b=(,-1)(R),则|a|=.若a与b的夹角为钝角,则的取值范围是.【解析】由题意得|a|=.因为a与b的夹角为钝角,所以ab=-2-1-.又当=2时,向量a=(-2,1),b=(2,-1)共线反向,满足ab0,但此时向量的夹角不是钝角,故=2不合题意.综上的取值范围是(

12、2,+).答案:(2,+)三、解答题(共38分)9.(12分)求与向量a=(,-1)和b=(1,)夹角相等,且模为的向量c的坐标.【解析】方法一:代数法设c=(x,y),由|c|=,得x2+y2=2,又|a|=|b|=2,向量c=(x,y)与向量a=(,-1)和b=(1,)夹角相等,得=,即y=(2-)x,代入x2+y2=2,整理得x2=,解得x1=,x2=-,故y1=,y2=-,所以c=或c=.方法二:几何法因为|a|=|b|=2,ab=0,所以AOB为等腰直角三角形,如图,因为|=,AOC=BOC,所以C为AB中点,所以C,即c=.依题意,c=也符合题意,所以c=或c=.10.(12分)已

13、知平面上三点A,B,C,满足=(2,4),=(2-k,3).(1)如果A,B,C三点不能构成三角形,求实数k满足的条件.(2)如果A,B,C三点构成直角三角形,求实数k的值.【解题指南】(1)由A,B,C三点共线,建立向量坐标的方程求解.(2)讨论直角三角形的顶点位置,由向量的数量积的坐标公式求解.【解析】(1)因为A,B,C三点不能构成三角形,所以A,B,C三点共线,即,得4(2-k)=6,解得k=.(2)因为=(2-k,3),所以=(k-2,-3),所以=+=(k,1).由于A,B,C三点构成直角三角形,当A是直角时,所以=0,得2k+4=0,解得k=-2;当B是直角时,所以=0,得k2-

14、2k-3=0,解得k=3或k=-1;当C是直角时,所以=0,16-2k=0,解得k=8.综上所述,实数k的值为-2,-1,3,8.【补偿训练】在ABC中,=(2,3),=(1,k),若ABC是直角三角形,求k的值.【解析】因为=(2,3),=(1,k),所以=-=(-1,k-3).若A=90,则=21+3k=0,所以k=-;若B=90,则=2(-1)+3(k-3)=0,所以k=;若C=90,则=1(-1)+k(k-3)=0,所以k=.故所求k的值为-或或.11.(14分)已知向量a=(1,2),b=(-3,4),c=a+b,R.(1)为何值时,|c|最小?此时b与c的位置关系如何?(2)为何值时,a与c的夹角最小?此时a与c的位置关系如何?【解析】(1)由a=(1,2),b=(-3,4),得c=a+b=(1-3,2+4),|c|2=c2=(1-3)2+(2+4)2=5+10+252=25+4,当=-时,|c|最小,此时c=,bc=0,所以bc.(2)设向量a与c的夹角为,则cos =,要使向量a与c的夹角最小,则cos 最大,由于0,所以cos 的最大值为1,此时=0,=1,解得=0,c=(1,2).所以当=0时,a与c的夹角最小,此时a=c.