2021_2021学年新教材高中数学第六章平面向量及其应用6.4.3.4余弦定理正弦定理应用举例_高度角度问题课时素养检测含解析新人教A版必修第二册.doc

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1、课时素养检测 十四余弦定理、正弦定理应用举例高度、角度问题(30分钟60分)一、选择题(每小题4分,共24分)1.若点A在点C的北偏东30,点B在点C的南偏东60,且AC=BC,则点A在点B的()A.北偏东15B.北偏西15C.北偏东10D.北偏西10【解析】选B.如图所示,ACB=90.又AC=BC,所以CBA=45,而=30,所以=90-45-30=15,所以点A在点B的北偏西15.2.如图所示,为测一树的高度,在地上选取A,B两点,从A,B两点分别测得望树尖的仰角为30,45,且A,B两点之间的距离为60 m,则树的高度为()A.(30+30)mB.(30+15)mC.(15+30)mD

2、.(15+3)m【解析】选A.设树高为x m,则BP=x m.在ABP中,AB=60,BP=x,A=30,APB=15.由正弦定理得=,即=,解得x=30(1+).3.要测量底部不能到达的电视塔AB的高度,在C点测得塔顶A的仰角是45,在D点测得塔顶A的仰角是30,并测得水平面上的BCD=120,CD=40 m,则电视塔的高度为()A.10 m.20 mC.20 m.40 m【解析】选D.设AB=x m,则BC=x m,BD=x m,在BCD中,由余弦定理,得BD2=BC2+CD2-2BCCDcos 120,所以x2-20x-800=0,所以x=40(m).4.如图,为测得河对岸塔AB的高,先

3、在河岸上选一点C,使C在塔底B的正东方向上,测得点A的仰角为60,再由点C沿北偏东15方向走10米到位置D,测得BDC=45,则塔AB的高是()A.5 mB.10 mC.5 mD.10 m【解题指南】在BCD中,由正弦定理求出BC在RtABC中求得AB.【解析】选B.在BCD中,CD=10,BDC=45,BCD=15+90=105,DBC=30,由正弦定理,得=,BC=10.在RtABC中,tan 60=,AB=BCtan 60=10(m).5.飞机沿水平方向飞行,在A处测得正前下方地面目标C的俯角为30,向前飞行10 000 m到达B处,此时测得正前下方目标C的俯角为75,这时飞机与地面目标

4、的水平距离为()A.2 500(-1) mB.5 000 mC.4 000 mD.4 000 m【解析】选A.如图,BAC=30,DBC=75,AB=10 000,所以ACB=45.由正弦定理,得=,又cos 75=,所以BD=cos 75=2 500(-1)(m).6.如图,为测量出山高MN,选择A和另一座山的山顶C为测量观测点,从A点测得M点的仰角MAN=60,C点的仰角CAB=45以及MAC=75,从C点测得MCA=60,已知山高BC=100 m,则山高MN为()A.100 mB.150 mC.200 mD.250 m【解析】选B.在RtABC中,CAB=45,BC=100 m,所以AC

5、=100 m.在AMC中,MAC=75,MCA=60,从而AMC=45由正弦定理得=,因此,AM=100 m.在RtMNA中,AM=100 m,MAN=60,由=sin 60,得MN=100=150 m.二、填空题(每小题4分,共8分)7.在高出海平面200 m的小岛顶上A处,测得位于正西和正东方向的两船的俯角分别是45与30,此时两船间的距离为_ m.【解析】过点A作AHBC于点H,由图易知BAH=45,CAH=60,AH=200 m,则BH=AH=200 m,CH=AHtan 60=200 m.故两船距离BC=BH+CH=200(+1)m.答案:200(+1)8.甲船在岛A的正南B处,以4

6、 km/h的速度向正北航行,AB=10 km,同时乙船自岛A出发以6 km/h的速度向北偏东60的方向驶去,当甲、乙两船相距最近时,它们所航行的时间为_.【解析】如图,当两船航行t h时,甲船到D处,乙船到C处,则AD=10-4t,AC=6t,CAD=120,若AD=4t-10,AC=6t,CAD=60,所以CD2=(6t)2+(10-4t)2-26t(10-4t)=28t2-20t+100,所以当t= h时,CD2最小,即两船最近,t= h= min.答案: min【补偿训练】如图,当甲船位于A处时获悉,在其正东方向相距10海里的B处有一艘渔船遇险等待营救.甲船立即前往营救,同时把消息告知在

7、甲船的南偏西30,相距6海里的C处的乙船,乙船立即朝北偏东(+30)的方向沿直线前往B处营救,则sin 的值为_.【解析】连接BC,由已知得AC=6,AB=10,BAC=120,由余弦定理得BC2=AB2+AC2-2ABACcos 120=100+36-2106=196,所以BC=14,由正弦定理得=,即=,解得sin C=,所以sin =.答案:三、解答题(每小题14分,共28分)9.如图,为测量竖直旗杆CD高度,在旗杆底部C所在水平地面上选取相距4 m的两点A,B,在A处测得旗杆底部C在西偏北20的方向上,旗杆顶部D的仰角为60;在B处测得旗杆底部C在东偏北10方向上,旗杆顶部D的仰角为4

8、5,求旗杆CD高度.【解析】设CD=x,在RtBCD,CBD=45,所以BC=x,在RtACD,CAD=60,所以AC=,在ABC中,CAB=20,CBA=10,所以ACB=180-20-10=150,由余弦定理可得AB2=AC2+BC2-2ACBCcos 150,又AB=4,即(4)2=x2+x2+2x=x2,解得x=12.所以旗杆高12米.10.某海岛周围38 n mile有暗礁,一轮船由西向东航行,初测此岛在北偏东60方向,航行30 n mile后测得此岛在东北方向,若不改变航向,试问此船是否有触礁的危险?说明理由.【解析】如图所示,由题意知,在ABC中,AB=30,BAC=30,ABC

9、=135,所以ACB=15,由正弦定理,得BC=15(+).在RtBDC中,CD=BC=15(+1)38.所以此船无触礁的危险.(25分钟50分)一、选择题(每小题4分,共16分,多选题全部选对得4分,选对但不全对的得2分,有选错的得0分)1.某人在C点测得某塔在南偏西80,塔顶仰角为45,此人沿南偏东40方向前进10米到D点测得塔顶A的仰角为30,则塔高为()A.15米B.5米C.10米D.12米【解析】选C.如图,设塔高为h,在RtAOC中,ACO=45,则OC=OA=h.在RtAOD中,ADO=30,则OD=h,在OCD中,OCD=120,CD=10,由余弦定理,得OD2=OC2+CD2

10、-2OCCDcosOCD,即(h)2=h2+102-2h10cos 120,所以h2-5h-50=0,解得h=10或h=-5(舍).2.2018年国庆节期间,某数学教师进行了一次“说走就走”的登山活动,从山脚A处出发,沿一个坡角为45的斜坡直行,走了100 m后,到达山顶B处,C是与B在同一铅垂线上的山底,从B处测得另一山顶M点的仰角为60,与山顶M在同一铅垂线上的山底N点的俯角为30,两山BC,MN的底部与A在同一水平面,则山高MN=()A.200 mB.250 mC.300 mD.400 m【解析】选D.如图,由题可知,AB=100,A=45,M=30,MBN=90,MNB=60,所以BC

11、=100,BN=200,MN=400.【解后反思】解三角形的实际应用题型,首先是模型的建立,本题要根据题目条件,画出正确的几何图形模型,再根据题目的条件,利用解三角形的知识,进行目标的求解.在本题中,可以根据条件的特殊性,直接利用三角形的几何特征求解.3.(多选题)一船向正北航行,看见正西方向有相距10 n mile的两个灯塔恰好与它在一条直线上,继续航行半小时后,看见一灯塔在船的南偏西60方向上,另一灯塔在船的南偏西75方向上,此时离最近的灯塔为a n mile,设这艘船的速度是每小时v n mile,则()A.a=5B.a=10C.v=10D.v=10【解析】选BC.如图,依题意有BAC=

12、60,BAD=75,所以CAD=CDA=15,从而CD=CA=10,在RtABC中,求得AB=5,BC=5,所以这艘船的速度是=10(n mile/h),即v=10.4.如图是一个斜拉桥示意图的一部分,AC与BD表示两条相邻的钢缆,A,B与C,D分别表示钢缆与桥梁与主塔上的铆点,两条钢缆的仰角分别为,为了便于计算,在点B处测得C的仰角为,若AB=m,则CD=()A.B.C.D.【解析】选D.在ABC中,由正弦定理,可得=,可得BC=,在BCD中,由正弦定理,可得=,CD=BC=.二、填空题(每小题4分,共8分)5.(2020广州高一检测)如图所示,位于A处的信息中心获悉:在其正东方向相距30海

13、里的B处有一艘渔船遇险,在原地等待营救.信息中心立即把消息告知在其南偏西45、相距20海里的C处的乙船,现乙船朝北偏东的方向沿直线CB前往B处救援,则cos 的值为_.【解析】如图所示,在ABC中,AB=30,AC=20,BAC=135,由余弦定理得BC2=AB2+AC2-2ABACcos 135=3 400,所以BC=10,由正弦定理得sinACB=sinBAC=,由BAC=135知ACB为锐角,故cosACB=,故cos =cos(ACB+45)=cosACBcos 45-sinACBsin 45=-=.答案:6.有一长为10 m的斜坡,它的倾斜角是75,在不改变坡高和坡顶的前提下,通过加

14、长坡面的方法将它的倾斜角改为30,则坡底要延伸_m.【解析】如图,在ABC中,由正弦定理,得=,所以x=10(m).答案:10三、解答题(共26分)7.(12分)在地面上某处,测得塔顶的仰角为,由此处向塔走30 m,测得塔顶的仰角为2,再向塔走10 m,测得塔顶的仰角为4,试求角的度数.【解题指南】如图所示,求角,必须把角,2,4和边长30,10尽量集中在一个三角形中,利用方程求解.【解析】方法一:因为PAB=,PBC=2,所以BPA=,所以BP=AB=30.又因为PBC=2,PCD=4,所以BPC=2,所以CP=BC=10.在BPC中,根据正弦定理,得=,即=,所以=.由于sin 20,所以

15、cos 2=.因为0290,所以2=30,所以=15.方法二:在BPC中,根据余弦定理,得PC2=PB2+BC2-2PBBCcos 2,把PC=BC=10,PB=30代入上式得,300=302+(10)2-23010cos 2,化简得:cos 2=.因为0290,所以2=30,所以=15.方法三:如图,过顶点C作CEPB,交PB于E,因为BPC为等腰三角形,所以PE=BE=15.在RtBEC中,cos 2=.因为0290,所以2=30,所以=15.8.(14分)某海轮以30海里/时的速度航行,在点A测得海上面油井P在南偏东60,向北航行40分钟后到达B点,测得油井P在南偏东30,海轮改为北偏东

16、60的航向再行驶40分钟到达C点.(1)求PC间的距离;(2)在点C测得油井的方位角是多少?【解题指南】(1)在ABP中,根据正弦定理,求BP,再利用勾股定理算出PC的长,即可算出P,C两地间的距离;(2)根据内错角相等可证明CPAB,从而可得出结论.【解析】(1)在ABP中,AB=30=20,APB=30,BAP=120,根据正弦定理得:=BP=20,在PBC中,BC=30=20,由已知PBC=90PC=40.(2)在PBC中,PBC=90,BC=20,PC=40,所以sinBPC=,所以BPC=30.因为ABP=BPC=30,所以CPAB.所以在点C测得油井P在C的正南40海里处.【补偿训

17、练】位于A处的雷达观测站,发现其北偏东45,与A相距20海里的B处有一货船正以匀速直线行驶,20分钟后又测得该船只位于观测站A北偏东45+(045)的C处,AC=5.在离观测站A的正南方某处E,cosEAC=-. (1)求cos .(2)求该船的行驶速度v(海里/小时).【解题指南】(1) 先根据同角三角函数关系得sinEAC,再根据=-EAC,并利用两角差余弦公式得结果.(2)根据余弦定理求BC,再除以时间得速度.【解析】(1)因为cosEAC=-,所以sinEAC=,cos=cos=coscosEAC+sinsinEAC=-+=.(2)利用余弦定理BC2=AB2+AC2-2ABACcos=125,所以BC=5,该船以匀速直线行驶了20分钟的路程为5海里,该船的行驶速度v=15(海里/小时).