2021_2021学年高中数学第二章变化率与导数2.3计算导数课时素养评价含解析北师大版选修2_.doc

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1、课时素养评价九计 算 导 数(20分钟50分)一、选择题(每小题5分，共20分)1.下列四组函数中导数相等的是()A.f(x)=1与f(x)=xB.f(x)=sin x与f(x)=-cos xC.f(x)=1-cos x与f(x)=-sin xD.f(x)=1-2x2与f(x)=-2x2+5【解析】选D.D选项中的两个函数的导数都是-4x.2.函数f(x)=，其导函数为f(x)，则有()A.f(x)=-f(x)B.f(x)=-f2(x)C.-1D.f(x)=f2(x)【解析】选B.f(x)=(x-1)=-x-2=-=-f2(x).3.已知曲线y=x3在点P处的切线斜率为k，则当k=3时的P点坐

2、标为()A.(-2，-8)B.(-1，-1)或(1，1)C.(2，8)D.【解析】选B.因为y=3x2，k=3，所以3x2=3，所以x=1.故P点坐标为(-1，-1)或(1，1).4.设曲线y=ax2在点(2，4a)处的切线与直线4x-y+4=0垂直，则a等于()A.-B.C.-D.【解析】选C.由题意知切线的斜率是-，因为y=2ax，所以4a=-，得a=-.二、填空题(每小题5分，共10分)5.已知f(x)=x2，g(x)=ln x，若f(x)-g(x)=1，则x=_.【解析】因为f(x)=x2，g(x)=ln x，所以f(x)=2x，g(x)=且x0，f(x)-g(x)=2x-=1，即2x

3、2-x-1=0，解得x=1或x=-(舍去).故x=1.答案：16.函数y=ln x在x=2处的切线斜率为_.【解析】因为y=ln x，所以y=，所以当x=2时，y=.答案：三、解答题(每小题10分，共20分)7.求下列函数的导数：(1)y=8.(2)y=.(3)y=-2sin .【解析】(1)y=8=0.(2)y=-.(3)因为y=-2sin =2sin =2sin cos =sin x，所以y=(sin x)=cos x.8.求与曲线f(x)=在点P(8，4)处的切线垂直于点P的直线方程.【解析】因为y=，所以f(x)=()=，所以f(8)=.即在点P(8，4)处的切线的斜率为.所以符合题意

4、的切线的斜率为-3.从而符合题意的直线方程为y-4=-3(x-8)，即3x+y-28=0.(15分钟30分)1.(5分)在曲线f(x)=上切线的倾斜角为的点的坐标为()A.(1，1)B.(-1，-1)C.(-1，1)D.(1，1)或(-1，-1)【解析】选D.切线的斜率k=tan =-1，设切点为(x0，y0)，则f(x0)=-1，又f(x)=-，所以-=-1，所以x0=1或-1，所以切点坐标为(1，1)或(-1，-1).【加练固】设曲线y=ex在点(0，1)处的切线与曲线y=(x0)上点P处的切线垂直，则P的坐标为_.【解析】因为y=ex，所以曲线y=ex在点(0，1)处的切线的斜率k1=e

5、0=1.设P(m，n)，y=(x0)的导数为y=- (x0)，曲线y=(x0)在点P处的切线斜率k2=-(m0).因为两切线垂直，所以k1k2=-1，所以m=1，n=1，点P的坐标为(1，1).答案：(1，1)2.(5分)若曲线y=在点(a，)处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18，则a=()A.64B.32C.16D.8【解析】选A.因为y=-，所以曲线y=在点(a，)处的切线方程为：y-=-(x-a)，由x=0得y=，由y=0得x=3a，所以3a=18，解得a=64.3.(5分)直线y=x+b是曲线y=ln x(x0)的一条切线，则实数b=_.【解析】设切点为(x0，y0)，因为y=

6、，所以=，所以x0=2，所以y0=ln 2，ln 2=2+b，所以b=ln 2-1.答案：ln 2-14.(5分)已知函数f(x)=-1(a0)的图像在x=1处的切线为l，则l与两坐标轴围成的三角形面积的最小值为_.【解题指南】求面积的表达式，然后求其最小值.【解析】由已知可得f(x)=，即f(1)=.由题意知f(1)=-1，所以f(x)在x=1处的切线l的方程是y-+1=(x-1).所以切线l与两坐标轴的交点分别为，.所以l与坐标轴围成的三角形的面积S=(2+2)=1.当且仅当a=，即a=1时，直线l与两坐标轴围成的三角形的面积最小，最小值为1.答案：15.(10分)点P是曲线y=ex上任意

7、一点，求点P到直线y=x的最小距离.【解析】如图，当曲线y=ex在点P(x0，y0)处的切线与直线y=x平行时，点P到直线y=x的距离最近.则曲线y=ex在点P(x0，y0)处的切线斜率为1，又y=(ex)=ex，所以=1，得x0=0，代入y=ex，得y0=1，即P(0，1).利用点到直线的距离公式得最小距离为.1.设函数f(x)在(0，+)内可导，且f(ex)=x+ex，则f(1)等于()A.1B.2C.3D.4【解析】选B.设ex=t，则x=ln t(t0)，所以f(t)=ln t+t，所以f(t)=+1，所以f(1)=2.2.已知函数f(x)=，g(x)=aln x，aR，若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交，且在交点处有相同的切线，求a的值.【解析】设两曲线的交点为(x0，y0)，由题意知，f(x0)=g(x0)，即=，即a=，因为点(x0，y0)为两曲线的交点，所以=aln x0，由可得x0=e2，将x0=e2代入得a=.