2017届高考数学大一轮复习第三章三角函数解三角形3.8正弦定理余弦定理应用举例课时规范训练理北师大版.doc

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1、【高考领航】2017届高考数学大一轮复习 第三章 三角函数、解三角形 3.8 正弦定理、余弦定理应用举例课时规范训练 理 北师大版A级基础演练1(2014高考新课标全国卷)钝角三角形ABC的面积是，AB1，BC，则AC()A5B.C2 D1解析：SABBCsin B1sin B，sin B，B或.当B时，根据余弦定理有AC2AB2BC22ABBCcos B1225，AC，此时ABC为钝角三角形，符合题意；当B时，根据余弦定理有AC2AB2BC22ABBCcos B1221，AC1，此时AB2AC2BC2，ABC为直角三角形，不符合题意故AC.答案：B2已知A、B两地间的距离为10 km，B、C

2、两地间的距离为20 km，现测得ABC120，则A、C两地间的距离为()A10 km B. kmC10 km D10 km解析：利用余弦定理AC2AB2BC22ABBCcos 12010220221020700，AC10(km)答案：D3据新华社报道，强台风“珍珠”在广东饶平登陆台风中心最大风力达到12级以上，大风、降雨给灾区带来严重的灾害，不少大树被大风折断某路边一树干被台风吹断后，折成与地面成45的角，树干也倾斜为与地面成75的角，树干底部与树尖着地处相距20米，则折断点与树干底部的距离是()A.米 B20米C.米 D10米解析：如图，设树干底部为O，树尖着地处为B，折断点为A，则ABO4

3、5，AOB75，OAB60.由正弦定理知，AO(米)答案：A4(2016潍坊模拟)如图，一艘船上午9：30在A处测得灯塔S在它的北偏东30处，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午10：00到达B处，此时又测得灯塔S在它的北偏东75处，且与它相距8 n mile.此船的航速是_n mile/h.解析：设航速为v n mile/h在ABS中ABv，BS8，BSA45，由正弦定理得：，v32.答案：325如图，在坡度一定的山坡A处测得山顶上一建筑物CD的顶端C对于山坡的斜度为15，向山顶前进100米到达B后，又测得C对于山坡的斜度为45，若CD50米，山坡对于地平面的坡角为，则cos _.解析：在AB

4、C中，BC50()，在BCD中，sinBDC1，又cos sinBDC，cos 1.答案：16如图，为测得河对岸塔AB的高，先在河岸上选一点C，使C在塔底B的正东方向上，测得点A的仰角为60，再由点C沿北偏东15方向走10米到位置D，测得BDC45，则塔AB的高是_米解析：在BCD中，CD10，BDC45，BCD1590105，DBC30，由正弦定理得，则BC10.在RtABC中，tan 60，所以ABBCtan 6010.答案：107(2016汕头模拟)为了立一块广告牌，要制造一个三角形支架三角形支架的形状如图所示，要求ACB60，BC的长度大于1米，且AC比AB长0.5米为了使广告牌稳固，

5、要求AC的长度越短越好，求AC最短为多少米？且当AC最短时，BC的长度为多少米？解：设BC的长度为x(x1)米，AC的长度为y米，则AB的长度为(y0.5)米在ABC中，由余弦定理得：AB2AC2BC22ACBCcosACB，即(y0.5)2y2x22yx，化简得y(x1)x2.x1，x10，因此y(x1)22.当且仅当x1时取等号，即x1时，y有最小值2.故AC最短为(2)米，此时，BC长为米8(2016天门模拟)如图，某人在塔的正东方向上的C处在与塔垂直的水平面内沿南偏西60的方向以每小时6千米的速度步行了1分钟以后，在点D处望见塔的底端B在东北方向上，已知沿途塔的仰角AEB，的最大值为6

6、0.(1)求该人沿南偏西60的方向走到仰角最大时，走了几分钟；(2)求塔的高AB.解：(1)依题意知：在DBC中，BCD30，DBC18045135，CD6 000100(m)，D1801353015，由正弦定理得，BC50(1)(m)在RtABE中，tan .AB为定长，当BE的长最小时，取最大值60，这时BECD，当BECD时，在RtBEC中，ECBCcosBCE50(1)25(3)(m)，设该人沿南偏西60的方向走到仰角最大时，走了t分钟，则t6060(分钟)(2)由(1)知当取得最大值60时，BECD，在RtBEC中，BEBCsinBCE，ABBEtan 60BCsinBCEtan 6

7、050(1)25(3)(m)，即所求塔高为25(3)m.B级能力突破1一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40的方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65，那么B，C两点间的距离是()A10海里B10海里C20海里 D20海里解析：如图所示，易知，在ABC中，AB20海里，CAB30，ACB45，根据正弦定理得，解得BC10(海里)答案：A2(2015鄂州模拟)某人在C点测得某塔在南偏西80，塔顶仰角为45，此人沿南偏东40方向前进10米到D，测得塔顶A的仰角为30，则塔高为()A15米 B5米C

8、10米 D12米解析：如图，设塔高为h，在RtAOC中，ACO45，则OCOAh.在RtAOD中，ADO30，则ODh，在OCD中，OCD120，CD10，由余弦定理得：OD2OC2CD22OCCDcosOCD，即(h)2h21022h10cos 120，h25h500，解得h10或h5(舍去)答案：C3如图所示，为测一树的高度，在地面上选取A、B两点，从A、B两点分别测得树尖的仰角为30，45，且A、B两点间的距离为60 m，则树的高度为()A(3030)m B(3015)mC(1530)m D(1515)m解析：在PAB中，PAB30，APB15，AB60 m，sin 15sin(4530

9、)sin 45cos 30cos 45sin 30，由正弦定理得：，PB30()，树的高度为PBsin 4530()(3030)m.答案：A4(2014高考重庆卷)已知ABC的内角A，B，C满足sin 2Asin(ABC)sin(CAB)，面积S满足1S2，记a，b，c分别为A，B，C所对的边，则下列不等式一定成立的是()Abc(bc)8 Bab(ab)16C6abc12 D12abc24解析：由sin 2Asin(ABC)sin(CAB)，得sin 2Asin(ABC)sin(CAB)，即sin 2AsinA(CB)sinA(BC)，即2sin Acos A2sin Acos(BC)，即si

10、n Acos Acos(BC)，即sin Acos(BC)cos(BC).化简，得sin Asin Bsin C.设ABC外切圆的半径为R，由1S2，得1absin C2，即12Rsin A2Rsin Bsin C2，故12.因为R0，所以2R2.故abc2Rsin A2Rsin B2Rsin CR38,16，即8abc16，从而可以排除选项C和D.对于选项A：bc(bc)abc8，即bc(bc)8，故A正确；对于选项B：ab(ab)abc8，即ab(ab)8，故B错误故选A.答案：A5某人站在60米高的楼顶A处测量不可到达的电视塔高，测得塔顶C的仰角为30，塔底B的俯角为15，已知楼底部D和

11、电视塔的底部B在同一水平面上，则电视塔的高为_米解析：如图，用AD表示楼高，AE与水平面平行，E在线段BC上，设塔高为h，因为CAE30，BAE15，ADBE60，则AE12060，在RtAEC中，CEAEtan 30(12060)6040，所以塔高为604060(12040)米答案：120406如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50 m/min.在甲出发2 min后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1 min后，再从B匀速步行到C.假设缆车匀速

12、直线运动的速度为130 m/min，山路AC长为1 260 m，经测量，cos A，cos C.(1)求索道AB的长(2)问：乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？(3)为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？解：(1)在ABC中，因为cos A，cos C，所以sin A，sin C.从而sin Bsin(AC)sin(AC)sin Acos Ccos Asin C.由正弦定理，得ABsin C1 040(m)所以索道AB的长为1 040 m.(2)假设乙出发t min后，甲、乙两游客距离为d，此时，甲行走了(10050t)m，乙距离A处130t

13、m，所以由余弦定理得d2(10050t)2(130t)22130t(10050t)200(37t270t50)由于0t，即0t8，故当t(min)时，甲、乙两游客距离最短(3)由正弦定理，得BCsin A500(m)乙从B出发时，甲已走了50(281)550(m)，还需走710 m才能到达C.设乙步行的速度为v m/min，由题意得33，解得v，所以为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3 min，乙步行的速度应控制在(单位：m/min)范围内7(2016广东肇庆一模)如图，某测量人员为了测量西江北岸不能到达的两点A，B之间的距离，她在西江南岸找到一个点C，从C点可以观察到点A，B；找到一个点

14、D，从D点可以观察到点A，C；找到一个点E，从E点可以观察到点B，C；并测量得到数据：ACD90，ADC60，ACB15，BCE105，CEB45，DCCE1百米(1)求CDE的面积；(2)求A，B之间的距离解：(1)在CDE中，DCE3609015105150，SCDEDCCEsin 150sin 30(平方百米)(2)连接AB，依题意知，在RtACD中，ACDCtanADC1tan 60，在BCE中，CBE180BCECEB1801054530，由正弦定理，得BCsinCEBsin 45.cos 15cos(6045)cos 60cos 45sin 60sin 45，在ABC中，由余弦定理AB2AC2BC22ACBCcosACB，可得AB2()2()222，AB(百米)9