2021_2021学年新教材高中数学第五章数列5.2.2.1等差数列的前n项和课时素养评价含解析新人教B版选择性必修第三册.doc

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1、课时素养评价五等差数列的前n项和 (25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共20分)1.(2018全国卷)记Sn为等差数列an的前n项和,若3S3=S2+S4,a1=2,则a5=()A.-12B.-10C.10D.12【解析】选B.设等差数列an的公差为d,由3S3=S2+S4,得3(3a1+3d)=2a1+d+4a1+6d,即3a1+2d=0.将a1=2代入上式,解得d=-3,故a5=a1+(5-1)d=2+4(-3)=-10.2.等差数列an的前n项和为Sn,S5=12,S10=48,则S15为()A.84B.108C.144D.156【解析】选B.由等差数列的性质知S5,S10-S5,

2、S15-S10也构成等差数列,所以2(S10-S5)=S5+S15-S10,所以2(48-12)=12+S15-48,解得S15=108.【加练固】在等差数列an中,若S4=1,S8=4,则a17+a18+a19+a20的值为()A.9B.12C.16D.17【解析】选A.由等差数列的性质知S4,S8-S4,S12-S8,也构成等差数列,不妨设为bn,且b1=S4=1,b2=S8-S4=3,于是求得b3=5,b4=7,b5=9,即a17+a18+a19+a20=b5=9.3.(2020徐州高二检测)等差数列an的前n项和为Sn,若a14=-8,S9=-9,则S18=()A.-162B.-1C.

3、3D.-81【解析】选D.根据题意,等差数列an中,S9=9a5=-9,解可得a5=-1,又由a14=-8,则S18=-81.4.若等差数列an满足a5=11,a12=-3,an的前n项和Sn的最大值为M,则lg M=()A.1B.2C.10D.100【解析】选B.设等差数列an的公差为d,则7d=a12-a5=-3-11=-14,故d=-2,所以an=a12+(n-12)d=-3-2(n-12)=21-2n,所以当1n10时,an0;当n11时,anS7S5,则下列结论中不正确的是()A.d0C.S120D.S13S7S5,则d0且a70,S13=S5,所以a6+a70,所以S120,故选项

4、C错误.二、填空题(每小题5分,共10分)5.(2020全国卷)记Sn为等差数列的前n项和.若a1=-2,a2+a6=2,则S10=_.【解析】设等差数列的公差为d.因为是等差数列,且a1=-2,a2+a6=2,根据等差数列通项公式:an=a1+d,可得a1+d+a1+5d=2,即-2+d+5d=2,整理可得:6d=6,解得:d=1.根据等差数列前n项和公式:Sn=na1+d,nN+,可得:S10=10+=-20+45=25,所以S10=25.答案:256.(2020南京高二检测)已知等差数列an中,a3-2a4=-1,a3=0,则an的前10项和是_.【解析】设等差数列an的公差为d,因为a

5、3-2a4=-1,a3=0,所以0-2(0+d)=-1,a1+2d=0,解得d=,a1=-1,则an的前10项和S10=-10+=.答案:三、解答题(每小题10分,共20分)7.等差数列an中,已知a1+a2=5,S4=14.(1)求an的通项公式.(2)求an的前n项和Sn.【解析】(1)设等差数列an的公差为d,则由a1+a2=5,S4=14得,即解得a1=2,d=1,所以an=2+(n-1)=n+1.(2)由(1)可知,Sn=a1+a2+an=na1+=.8.已知数列an是一个等差数列,且a2=1,a5=-5.(1)求an的通项an.(2)求an前n项和Sn的最大值及相应的n的值.【解析

6、】(1)设等差数列an的公差为d,因为a2=1,a5=-5,所以解得所以an=3-2(n-1)=5-2n.(2)由an0,解得n2.5,数列an的前2项和最大,且最大值为3+1=4. (15分钟30分)1.(5分)在等差数列an中,前四项之和为20,最后四项之和为60,前n项之和是100,则项数n为()A.9B.10C.11D.12【解析】选B.因为a1+a2+a3+a4=20,an+an-1+an-2+an-3=60,又因为a1+an=a2+an-1=a3+an-2=a4+an-3,所以+得4(a1+an)=80,所以a1+an=20.Sn=100.将代入中得n=10.2.(5分)(多选题)

7、设等差数列an的前n项和为Sn,公差为d.已知a3=12,S120,a70B.-d-3C.Sn0,即S12=6(a6+a7)0,又a70,A正确;已知a3=12,且a60,a70,则有,解可得-d-3,B正确;根据题意,S13=13a70,故Sn0时,n的最小值为13,C正确;数列中,由上面分析可知d0;当n7时,an0;当n13时,Sn0;当7n12时,0,故数列中的最小项不是第六项,D错误.3.(5分)(2019全国卷)记Sn为等差数列an的前n项和,a10,a2=3a1,则=_.【解析】设该等差数列的公差为d,因为a2=3a1,所以a1+d=3a1,故d=2a1(a10,d0),所以=4

8、.答案:4【加练固】设等差数列an的前n项和为Sn,且Sm=-2,Sm+1=0,Sm+2=3,则m=_.【解析】因为Sn是等差数列an的前n项和,所以数列是等差数列,所以+=,即+=0,解得m=4.答案:44.(5分)若等差数列an的前n项和为Sn,且S10=4S5=100,则数列an的通项公式为_.【解析】设公差为d,由S10=4S5=100,可得,解得a1=1,d=2,故an=2n-1(nN+).答案:an=2n-1(nN+)5.(10分)已知等差数列an的前n项和为Sn,且a3=10,S6=72,bn=an-30.(1)求通项an.(2)求数列bn的前n项和Tn的最小值.【解析】(1)由

9、a3=10,S6=72,得所以an=4n-2.(2)由(1)得bn=an-30=2n-31.由得n,因为nN+,所以n=15.所以bn的前15项为负值,所以T15最小,可知b1=-29,d=2,所以T15=-225.1.已知数列an是等差数列,且an0,若a1+a2+a100=500,则a50a51的最大值为_.【解析】a1+a2+a100=500=,a50+a51=10.又an0.则a50a51=25,当且仅当a50=a51=5时取等号.答案:252.已知Sn是等差数列an的前n项和,S2=2,S3=-6.(1)求数列an的通项公式和前n项和Sn;(2)是否存在正整数n,使Sn,Sn+2+2n,Sn+3成等差数列?若存在,求出n的值;若不存在,请说明理由.【解析】(1)设数列an的公差为d,则所以所以an=4-6(n-1)=10-6n,Sn=na1+d=7n-3n2.(2)由(1)知Sn+Sn+3=7n-3n2+7(n+3)-3(n+3)2=-6n2-4n-6,2(Sn+2+2n)=2(-3n2-5n+2+2n)=-6n2-6n+4,若存在正整数n使得Sn,Sn+2+2n,Sn+3成等差数列,则-6n2-4n-6=-6n2-6n+4,解得n=5,所以存在n=5,使Sn,Sn+2+2n,Sn+3成等差数列.