2021_2021学年新教材高中数学第七章复数单元素养检测含解析新人教A版必修第二册.doc

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1、单元素养检测(二)(第七章)(120分钟150分)一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求)1.若复数z-2+3i=1-i,则|z|=()A.3B.4C.5D.6【解析】选C.由z-2+3i=1-i,得z=3-4i,|z|=5.2.复数z=在复平面上对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【解析】选C.因为复数z=-1-i,所以复数在复平面上对应的点(-1,-1)位于第三象限.【补偿训练】在复平面上,复数对应的点在()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【解析】选A.由题意,复数=1+i,所以复数对

2、应的点的坐标为位于第一象限.3.若z(1+i)=2i,则z=()A.-1-iB.-1+iC.1-iD.1+i【解题指南】等式两边同除以(1+i),表示出z,再利用复数的除法计算.【解析】选D.z(1+i)=2i,z=i(1-i)=1+i.4.(2020吉安高一检测)设复数z满足z=-1+,则|z|=()A.-4B.C.-4-3iD.5【解析】选D.由复数运算得z=-1+=-1+=-4-3i,则|z|=5.5.已知a是实数,是纯虚数,则a=()A.B.-C.1D.-1【解析】选A.由于a是实数,且=+i是纯虚数,则2a-1=0,解得a=.6.若i为虚数单位,图中复平面内点Z表示复数z,则表示复数

3、的点是()A.EB.FC.GD.H【解析】选D.由图可知z=3+i,所以=2-i,对应复平面内的点H.7.已知aR,z=(a2-3a+2)+(a-1)i,则“a=2”是“z为纯虚数”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选C.若复数z=(a2-3a+2)+(a-1)i是纯虚数,则a2-3a+2=0,且a-10,得a=2.反之亦然.所以“a=2”是“z为纯虚数”的充要条件.【补偿训练】若复数z1z20,则“z1z2=”是z2=成立的()A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件【解析】选C.若z2=,则z1z2=z1=

4、成立;若z1z2=,不妨取z1=2,z2=1,则有z1z2=成立,但z2=不成立,所以z1z2=是z2=成立的必要不充分条件.8.已知复数z0=1+2i在复平面上的对应点为P0,则P0关于直线l:|z-2-2i|=|z|的对称点表示的复数是()A.-iB.iC.1-iD.1+i【解析】选B.如图,O为原点,A(2,2),直线l:|z-2-2i|=|z|是线段OA的垂直平分线,P0的对称点即是(0,1),其对应的复数为i.二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)9.(2020枣庄高一

5、检测)已知集合M=m|m=in,nN,其中i为虚数单位,则下列元素属于集合M的是()A.(1-i)(1+i)B.C.D.(1-i)2【解析】选BC.根据题意,M=m|m=in,nN中,n=4k(kN)时,in=1;n=4k+1(kN)时,in=i;n=4k+2(kN)时,in=-1;n=4k+3(kN)时,in=-i,所以M=-1,1,i,-i.选项A中,(1-i)(1+i)=2M;选项B中,=-iM;选项C中,=iM;选项D中,(1-i)2=-2iM.10.已知i为虚数单位,R为实数集,C为复数集,下列表示正确的是()A.i2RB.2 020iCRC.1+i2CRD.2 019iC【解析】选

6、ABC.已知i为虚数单位,R为实数集,C为复数集,CR为虚数集,得i2=-1R,2 020iCR,1+i2=0CR,2 019iC.11.已知复数z=,则下列结论正确的是()A.z的虚部为iB.|z|2=2C.z2为纯虚数D.=-1+i【解析】选BC.因为复数z=1+i,则z的虚部为1,A不正确.|z|2=2,B正确.z2=(1+i)2=2i为纯虚数,C正确.=1-i,D不正确.12.已知i为虚数单位,zC,下列命题为真命题的是()A.若z-(3+2i)=i,则z=3+3iB.若z(3+4i)=25i,则z=4+3iC.若z+|z|=2+i,则z=+iD.若z(2+i)=10-5i,则=3-4

7、i【解析】选ABC.若z-(3+2i)=i,则z=3+2i+i=3+3i,选项A是真命题.若z(3+4i)=25i,则z=4+3i,选项B是真命题.设z=x+yi(x,yR),则由z+|z|=2+i,得x+yi+=2+i,所以解得所以z=+i,所以选项C是真命题.若z(2+i)=10-5i,则z=3-4i,=3+4i,选项D是假命题.三、填空题(本大题共4个小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上)13.已知i为虚数单位,复数z=2+ai(aR)在复平面内对应的点在直线x-3y+1=0上,则z的共轭复数=_.【解析】复数z=2+ai(aR)在复平面内对应的点为(2,a),代入直线x-

8、3y+1=0,可得2-3a+1=0,解得a=1,故复数z=2+i,所以复数z的共轭复数=2-i.答案:2-i14.若(a-2i)i=b-i,其中a,bR,i是虚数单位,z=(a+bi)2,则=_.【解析】由(a-2i)i=b-i,得ai+2=b-i,即(2-b)+(a+1)i=0,得a=-1,b=2,所以z=(a+bi)2=(-1+2i)2=-3-4i,=5.答案:515.已知=b+i(a,bR),其中i为虚数单位,则a+b=_.【解析】因为=b+i,所以a+2i=bi-1,所以所以a+b=1.答案:116.已知2+i,2-i是实系数一元二次方程x2+px+q=0在复数范围内的两个根,则p=_

9、,q=_.【解析】由题意得:(2+i)+(2-i)=-p,(2+i)(2-i)=q,所以p=-4,q=5.答案:-45四、解答题(本大题共6个小题,共70分,解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)已知复数z1满足(z1-2)(1+i)=1-i(i为虚数单位),复数z2的虚部为2,且z1z2是实数,求z2.【解析】可以结合复数z2的虚部为2,设z2=a+2i,由已知复数z1满足(z1-2)(1+i)=1-i,得z1=2-i,又z1z2=(2-i)(a+2i)=(2a+2)+(4-a)i是实数,则虚部4-a=0,即a=4,即复数z2=4+2i.18.(12分)已知z是复数,

10、z+2i,均为实数(i为虚数单位),对于复数w=(z+ai)2,当a为何值时,w为:(1)实数;(2)虚数;(3)纯虚数.【解析】设z=x+yi(x,yR),z+2i=x+(y+2)i,由题意得y=-2,=(x-2i)(2+i)=(2x+2)+(x-4)i.由题意得x=4,所以z=4-2i.因为w=(z+ai)2=(12+4a-a2)+8(a-2)i,(1)当w为实数时,令a-2=0,所以a=2,(2)w为虚数,只要a-20,所以a2.(3)w为纯虚数,只要12+4a-a2=0且a-20,所以a=-2或a=6.19.(12分)已知复数z=(1+2m)+(3+m)i(mR).(1)若复数z在复平

11、面上所对应的点在第二象限,求m的取值范围;(2)求当m为何值时,|z|最小,并求|z|的最小值.【解析】(1)因为复数z=(1+2m)+(3+m)i(mR)在复平面上所对应的点在第二象限,所以解得-3m-,所以m的取值范围是.(2)|z|2=(1+2m)2+(3+m)2=5m2+10m+10=5(m+1)2+5,所以当m=-1时,|z|min=.20.(12分)已知z1=cos +isin 2,z2=sin +icos ,当为何值时:(1)z1=z2;(2)z1,z2对应点关于实轴对称;(3)|z2|.【解析】(1)因为z1=z2,所以即解得=2k+(kZ).(2)因为z1与z2对应点关于实轴

12、对称,所以即解得=2k+(kZ).(3)因为|z2|,所以,即3sin2+cos22,化简得sin2,解得-sin ,所以k-恒成立,试求实数a的取值范围.【解析】依题意,得|z1|=,|z2|=,|z1|z2|z1|2|z2|2x4+x2+1x4+a2x2+1a2-1a1.所以实数a的取值范围是(-1,1).22.(12分)已知关于x的方程x2-(tan +i)x-(i+2)=0(R,xC)(1)若此方程有实数根,求锐角的值;(2)求证:对任意的实数(+k),原方程不可能有纯虚数根.【解析】(1)设xR是方程x2-(tan +i)x-(i+2)=0的根,则x2-xtan -2-i(x+1)=0.所以由得x=-1,代入得tan =1,所以锐角=.(2)反证法.若方程有纯虚数根,设为x=ai(a0),代入原方程并整理得(-a2+a-2)-(atan +1)i=0.所以(*)因为方程-a2+a-2=0无实根,所以方程组(*)无解.故假设不成立,因此原方程无纯虚数根.