2021_2022版高中数学第二章数列2.3.2等差数列习题课素养评价检测含解析新人教A版必修.doc

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1、等差数列习题课 (20分钟35分)1.(2020汉中检测)数列an的前n项的平均值是n+1,则这个数列的第18项是()A.13B.33C.36D.37【解析】选C.由数列an的前n项的平均值是n+1,所以Sn=n(n+1)=n2+n,所以Sn-1=n(n-1)=n2-n,n2,所以an=Sn-Sn-1=2n,n2,所以这个数列的第18项是a18=218=36.【补偿训练】已知等差数列an的前n项和Sn=n2+n,则过P(1,a1),Q(2,a2)两点的直线的斜率是()A.1B.2C.3D.4【解析】选B.因为Sn=n2+n,所以a1=S1=2,a2=S2-S1=6-2=4.所以过P,Q两点直线

2、的斜率k=2.2.数列an的通项公式是an=,若前n项和为10,则项数为()A.11B.99C.120D.121【解析】选C.因为an=-,所以Sn=a1+a2+an=(-1)+(-)+(-)=-1,令-1=10,得n=120.3.据科学计算,运载“嫦娥”号探月飞船的“长征”二号系列火箭,在点火后1分钟通过的路程为2 km,以后每分钟通过的路程增加2 km,在达到离地面240 km的高度时,火箭与飞船分离,则这一过程大约需要的时间是()A.10分钟B.13分钟C.15分钟D.20分钟【解析】选C.由题意知火箭在这个过程中路程随时间的变化成等差数列,设第n分钟后通过的路程为an,则a1=2,公差

3、d=2,an=2n,Sn=n=240,解得n=15或n=-16(舍去).4.已知数列an的前n项和为Sn,且满足Sn=2n+2-3,则an=.【解析】根据题意,数列an满足Sn=2n+2-3,当n2时,有an=Sn-Sn-1=(2n+2-3)-(2n+1-3)=2n+1,当n=1时有a1=S1=8-3=5,不符合an=2n+1,故an=.答案:5.(2020大庆高一检测)已知在数列an中,若a1=-60,an+1=an+3,则|a1|+|a2|+|a30|=.【解析】由已知可以判断数列an是以-60为首项,3为公差的等差数列,因此an=3n-63.因为a10,a21=0,a220,所以数列前3

4、0项的绝对值之和为S30-2S21=30(-60)+3-2=765.答案:7656.已知等差数列an的前n项的和为Sn,a3=5,S10=100.(1)求数列an的通项公式.(2)设bn=,求数列bn的前n项和Tn.【解析】(1)设等差数列an的公差为d,由题意知解得a1=1,d=2.所以数列an的通项公式为an=2n-1.(2)bn=所以Tn=-. (30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.已知公差不为0的等差数列an满足=a1a4,Sn为数列an的前n项和,则的值为()A.-2B.-3C.2D.3【解析】选C.因为公差d0的等差数列an满足=a1a4,所以(a1+2d)2=a

5、1(a1+3d),即a1=-4d,则=2.2.数列an的通项公式为an=(-1)n-1(4n-3),则它的前100项之和S100等于()A.200B.-200C.400D.-400【解析】选B.由题意可得数列an的通项公式为an=(-1)n-1(4n-3),所以a1=1,a2=-5,a3=9,a4=-13,a99=393,a100=-397.所以S100=(a1+a2)+(a3+a4)+(a99+a100)=-450=-200.3.(2020大庆高一检测)中国古代词中,有一道“八子分绵”的数学名题:“九百九十六斤绵,赠分八子做盘缠,次第每人多十七,要将第八数来言”.题意是:把996斤绵分给8个

6、儿子作盘缠,按照年龄从大到小的顺序依次分绵,年龄小的比年龄大的多17斤绵,那么第8个儿子分到的绵是()A.174斤B.184斤C.191斤D.201斤【解析】选B.用a1,a2,a8表示8个儿子按照年龄从大到小得到的绵数,由题意得数列a1,a2,a8是公差为17的等差数列,且这8项的和为996,所以8a1+17=996,解得a1=65.所以a8=65+717=184.4.已知数列an:,+,+,+,那么数列bn=的前n项和Sn为()A.4B.4C.1-D.-【解析】选A.因为an=,所以bn=4.所以Sn=41-+-+-+-=4.5.正项数列an,a1=1,前n项和Sn满足Sn-Sn-1=2(

7、n2),则a10=()A.72B.80C.90D.82【解析】选A.由Sn-Sn-1=2(n2),两边同除以,得-=2;而S1=a1=1,所以=1+2(n-1)=2n-1,所以Sn=4n2-4n+1;再根据an=Sn-Sn-1,得an=8n-8,所以a10=810-8=72.【补偿训练】已知数列an的前n项和Sn=n2-4n+1,则|a1|+|a2|+|a10| 的值为()A.61B.62C.65D.67【解析】选D.对n分情况讨论当n=1时,S1=a1=-2.当n2时,an=Sn-Sn-1=(n2-4n+1)-(n-1)2-4(n-1)+1=2n-5,所以an=由通项公式得a1a20a3a4

8、1,nN*,满足Sn+1+Sn-1=2(Sn+1),则S10=.【解析】当n=2时,S3+S1=2(S2+1),即2a1+a2+a3 =2(a1+a2+1),又a1=1,a2=2,解得a3=4.当n1,nN*时,Sn+1+Sn-1=2(Sn+1),Sn+2+Sn=2(Sn+1+1),两式相减得an+2+an=2an+1,故数列an从第二项起是首项为2,公差为2的等差数列,所以S10=1+29+2=91.答案:91三、解答题(每小题10分,共20分)9.数列an满足an=6-(nN*,n2).(1)求证:数列是等差数列.(2)若a1=6,求数列lg an的前999项的和S.【解析】(1)数列an

9、满足,an=6-(nN*,n2),所以-=-=,所以数列是等差数列.(2)因为a1=6,所以=.由(1)知:=+=,所以an=,所以lg an=lg 3+lg(n+1)-lg n.所以数列lg an的前999项和S=999lg 3+(lg 2-lg 1+lg 3-lg 2+lg 1 000-lg 999)=999lg 3+lg 1 000=999lg 3+3.10.设Sn为数列an的前n项和,Sn=an-1(为常数,n=1,2,3,).(1)若a3=,求的值;(2)是否存在实数,使得数列an是等差数列?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.【解析】(1)因为Sn=an-1,所以a1=a1-1

10、,a2+a1=a2-1,a3+a2+a1=a3-1.由a1=a1-1,可知1,所以a1=,a2=,a3=.因为a3=,所以=,解得=0或=2.(2)假设存在实数,使得数列an是等差数列,则2a2=a1+a3,由(1)可得=+,所以=+,即=0,显然不成立,所以不存在实数,使得数列an是等差数列.1.已知数列an的前n项和为Sn,a1=1,an+an+1=2n+1(nN*),则S21的值为.【解析】将n=1代入an+an+1=2n+1得a2=3-1=2,由an+an+1=2n+1,可以得到an+1+an+2=2n+3,-得an+2-an=2,所以数列an的奇数项、偶数项都是以2为公差的等差数列,则a21=1+102=21,a20=2+92=20,所以S21=(a1+a3+a5+a21)+(a2+a4+a6+a20)=+=231.答案:2312.在如图所示的数表中,已知每行、每列中的数都构成等差数列,设表中第n行第n列的数为an,求数列的前100项和S100.【解析】由题意可知,第1列的数是首项为2,公差为2的等差数列,所以第1列第n行的数为2+2(n-1)=2n,第n行是首项为2n,公差为n的等差数列,所以第n行第n列的数为an=2n+n(n-1)=n2+n,所以=-,所以数列的前100项和S100=1-+-+-=1-=.