2021_2022学年新教材高中数学第三章空间向量与立体几何4.1直线的方向向量与平面的法向量课后篇巩固提升训练含解析北师大版选择性必修第一册.docx

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1、第三章空间向量与立体几何4向量在立体几何中的应用4.1直线的方向向量与平面的法向量课后篇巩固提升合格考达标练1.若A(-1,0,1),B(1,4,7)在直线l上,则直线l的一个方向向量为()A.(1,2,3)B.(1,3,2)C.(2,1,3)D.(3,2,1)答案A2.若u=(2,-3,1)是平面的一个法向量,则下列向量能作为平面的法向量的是()A.(0,-3,1)B.(2,0,1)C.(-2,-3,1)D.(-2,3,-1)答案D3.若平面,则下面选项中可以是这两个平面法向量的是()A.n1=(1,2,3),n2=(-3,2,1)B.n1=(1,2,2),n2=(-2,2,1)C.n1=(

2、1,1,1),n2=(-2,2,1)D.n1=(1,1,1),n2=(-2,-2,-2)答案D解析因为平面,所以两个平面的法向量应该平行,只有D项符合.4.下列各组向量中不平行的是()A.a=(1,2,-2),b=(-2,-4,4)B.c=(1,0,0),d=(-3,0,0)C.e=(2,3,0),f=(0,0,0)D.g=(-2,3,5),h=(16,24,40)答案D5.已知向量a=(2,4,5),b=(3,x,y)分别是直线l1,l2的方向向量,若l1l2,则()A.x=6,y=15B.x=3,y=152C.x=3,y=15D.x=6,y=152答案D解析由题意,有ab,则32=x4=y

3、5,得x=6,y=152.6.在直三棱柱ABC-A1B1C1中,以下向量可以作为平面ABC法向量的是.(填序号)ABAA1B1BA1C1答案7.在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,求平面ACD1的一个法向量n.解如图,建立空间直角坐标系,则A(1,0,0),C(0,1,0),D1(0,0,1).设平面ACD1的法向量n=(x,y,z).AC=(-1,1,0),AD1=(-1,0,1),又n为平面ACD1的一个法向量,nAC=0,nAD1=0,(x,y,z)(-1,1,0)=0,(x,y,z)(-1,0,1)=0,化简,即x=y,x=z.令x=1,得y=z=1.平面ACD1的一个法向

4、量n=(1,1,1).8.在三棱锥O-ABC中,OA=OB=1,OC=2,OA,OB,OC两两垂直,试找出一点D,使BDAC,DCAB.解建立如图所示的空间直角坐标系,则A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,2),设所求点D(x,y,z).由BDAC,DCAB,可得BDAC,DCAB,因此(x,y-1,z)=k1(-1,0,2),(-x,-y,2-z)=k2(-1,1,0),解得x=-1,y=1,z=2.即点D的坐标为(-1,1,2).等级考提升练9.已知平面内两向量a=(1,1,1),b=(0,2,-1)且c=ma+nb+(4,-4,1).若c为平面的法向量,则m,n的值分别为()

5、A.-1,2B.1,-2C.1,2D.-1,-2答案A解析c=ma+nb+(4,-4,1)=(m,m,m)+(0,2n,-n)+(4,-4,1)=(m+4,m+2n-4,m-n+1),由c为平面的法向量,得ca=0,cb=0,即3m+n+1=0,m+5n-9=0,解得m=-1,n=2.10.在三棱锥P-ABC中,CP,CA,CB两两垂直,AC=CB=1,PC=2,在如图所示的坐标系下,下列向量是平面PAB的法向量的是()A.1,1,12B.(1,2,1)C.(1,1,1)D.(2,-2,1)答案A解析PA=(1,0,-2),AB=(-1,1,0).设平面PAB的一个法向量为n=(x,y,1),

6、则x-2=0,-x+y=0,解得x=2,y=2,n=(2,2,1).又1,1,12=12n,A正确.11.(多选题)已知直线l过点P(1,0,-1)且平行于向量a=(2,1,1),平面过直线l与点M(1,2,3),则平面的法向量可能是()A.(1,-4,2)B.14,-1,12C.-14,1,-12D.(0,-1,1)答案ABC解析因为PM=(0,2,4),直线l平行于向量a,若n是平面的一个法向量,则必须满足na=0,nPM=0,把选项代入验证,只有选项D不满足,故选ABC.12.已知向量a=(1,3,5),b=(2,4,6),若n与x轴垂直,且an=12,nb=14,则n=()A.(0,-

7、1,3)B.(0,1,3)C.(0,-1,-3)D.(0,1,-3)答案A解析设n=(0,y,z),由题意得3y+5z=12,4y+6z=14,解得y=-1,z=3.故n=(0,-1,3).13.(多选题)在如图所示的空间直角坐标系中,ABCD-A1B1C1D1为棱长是1的正方体,下列结论正确的是()A.直线DD1的一个方向向量为(0,0,1)B.直线BC1的一个方向向量为(0,1,1)C.平面ABB1A1的一个法向量为(0,1,0)D.平面B1CD的一个法向量为(1,1,1)答案ABC解析DD1AA1,AA1=(0,0,1);BC1AD1,AD1=(0,1,1);直线AD平面ABB1A1,A

8、D=(0,1,0);C1点坐标为(1,1,1),AC1与平面B1CD不垂直,D错误,ABC正确.14.在空间直角坐标系O-xyz中,已知平面的一个法向量是n=(1,-1,2),且平面过点A(0,3,1).若P(x,y,z)是平面上任意一点,则点P的坐标满足的方程是.答案x-y+2z+1=0解析由题意知APn=0,即x-y+2z+1=0.15.若向量a=(x,2,1),b=(1,y,3)都是直线l的方向向量,则x+y=.答案193解析根据题意可知ab,故存在实数,使a=b,即(x,2,1)=(1,y,3),即x=,2=y,1=3,解得=13,y=6,x=13,x+y=13+6=193.16.四边

9、形ABCD是直角梯形,ADBC,ABC=90,SA平面ABCD,SA=AB=BC=2,AD=1,求平面SCD和平面SAB的法向量.解AD,AB,AS是三条两两垂直的线段,以A为原点,以AD,AB,AS的方向分别为x轴,y轴,z轴的正方向建立空间直角坐标系如图所示,则A(0,0,0),D(1,0,0),C(2,2,0),S(0,0,2),AD=(1,0,0)是平面SAB的法向量.设平面SCD的一个法向量为n=(1,y,z),则nDC=(1,y,z)(1,2,0)=1+2y=0,y=-12.又nDS=(1,y,z)(-1,0,2)=-1+2z=0,z=12.n=1,-12,12即为平面SCD的法向

10、量.新情境创新练17.已知M为长方体ABCD-A1B1C1D1的棱BC的中点,点P在长方体ABCD-A1B1C1D1的面CC1D1D内,且PM平面BB1D1D,试探讨点P的确切位置.解以D为坐标原点,以DA,DC,DD1所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标系.根据题意可设PA=a,DC=b,DD1=c,则A(a,0,0),B(a,b,0),D1(0,0,c),P(0,y,z),C(0,b,0),则M12a,b,0.又PM平面BB1D1D,根据空间向量基本定理知,必存在实数对(m,n),使得PM=mDB+nDD1,即12a,b-y,-z=(ma,mb,nc),即12a=ma,b-y=mb,-z=nc,解得m=12,y=12b,z=-nc,nR,则点P的坐标为0,b2,-nc.所以点P在平面DCC1D1的边DC的垂直平分线EF上.6