2021_2021学年高中数学第三讲柯西不等式与排序不等式二一般形式的柯西不等式课时作业含解析新人教A版选修4_.doc

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1、第三讲 柯西不等式与排序不等式 课时作业A组基础巩固1已知x2y2z21，则x2y2z的最大值为()A1B2C3 D4解析：由柯西不等式得(x2y2z)2(122222)(x2y2z2)9，所以3x2y2z3.当且仅当x时，等号成立所以x2y2z的最大值为3.答案：C2n个正数的和与这n个正数的倒数和的乘积的最小值是()A1 BnCn2 D解析：设n个正数为x1，x2，xn，由柯西不等式，得(x1x2xn)2(111)2n2.当且仅当x1x2xn时取等号答案：C3设a、b、c为正数，则(abc)()的最小值为()A11 B121C49 D7解析：(abc)2121.答案：B4设a，b，c均为正

2、数且abc9，则的最小值为()A81 B9C7 D49解析：考虑以下两组向量：u，v(，)由(uv)2|u|2|v|2得2(abc)，当且仅当，即a2，b3，c4时取等号，可得9(234)281，所以9.答案：B5设非负实数1，2，n满足12n1，则yn的最小值为()A. BC. D解析：为了利用柯西不等式，注意到(21)(22)(2n)2n(12n)2n1，所以(2n1)(21)(22)(2n)2n2，所以yn，yn.等号当且仅当12n时成立，从而y有最小值.答案：A6同时满足2x3yz13,4x29y2z22x15y3z82的实数x、y、z的值分别为_，_，_.解析：可令x12x，x23y

3、3，x3z2，则x1x2x318且xxx108，由此及柯西不等式得182(x1x2x3)2(xxx)(121212)1083，上式等号成立的充要条件是x1x2x36x3，y1，z4.所以3,1,4是所求实数x，y，z的值答案：3147已知实数a，b，c，d，e满足abcde8，a2b2c2d2e216，则e的取值范围为_解析：4(a2b2c2d2)(1111)(a2b2c2d2)(abcd)2，即4(16e2)(8e)2，即644e26416ee2.5e216e0，故0e.答案：8设a，b，c，x，y，z都是正数，且a2b2c225，x2y2z236，axbycz30，则_.解析：由柯西不等式

4、知：2536(a2b2c2)(x2y2z2)(axbycz)23022536，当且仅当k时取等号由k2(x2y2z2)22536，解得k.所以k.答案：9已知x，y，zR，且x2y3z4，求x2y2z2的最小值解析：由柯西不等式，得x(2)y(3)z212(2)2(3)2(x2y2z2)，即(x2y3z)214(x2y2z2)，即1614(x2y2z2)所以x2y2z2，当且仅当x，即当x，y，z时，x2y2z2的最小值为.10在ABC中，设其各边长分别为a，b，c，外接圆半径为R，求证：(a2b2c2)36R2.证明：由正弦定理知2R，(a2b2c2)236R2.B组能力提升1已知x，y，z

5、R，且xyz1，则x2y2z2的最小值是()A1 BC. D2解析：根据柯西不等式，x2y2z2(121212)(x2y2z2)(1x1y1z)2(xyz)2.答案：B2若2ab0，则a的最小值为()A1 B3C8 D12解析：2ab0，2ab0.a(2ab)b3 3.当且仅当2abb，即ab2时等号成立当ab2时，a有最小值3.答案：B3若a，b，c为正数，则的最小值为_解析：由柯西不等式可知，()()( )2329.答案：94已知x，y，zR，且xyz1，则的最小值为_解析：利用柯西不等式由于(xyz)236，所以36.当且仅当x2y2z2，即x，y，z时，等号成立的最小值为36.答案：365已知正数x，y，z满足xyzxyz，且不等式恒成立，求的取值范围解析：(1 1 1 )(121212)()，故的取值范围是，)6已知函数f(x)m|x2|，mR，且f(x2)0的解集为1,1(1)求m的值；(2)若a，b，cR，且m，求证：a2b3c9.解析：(1)因为f(x2)m|x|，所以f(x2)0等价于|x|m，由|x|m有解，得m0，且其解集为x|mxm又f(x2)0的解集为1,1，故m1.(2)由(1)知1，又a，b，cR，由柯西不等式得a2b3c(a2b3c)()()29.