2021_2022版高中数学第二章数列2.4.1等比数列素养评价检测含解析新人教A版必修.doc

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1、等 比 数 列 (20分钟35分)1.在等比数列an中,若a6=8a3=8,则an=()A.2n-1 B.2nC.3n-1 D.3n【解析】选A.若a6=8a3=8,所以a1q5=8a1q2=8q2,即q=2,a1=1,所以an=12n-1=2n-1.2.已知a是1,2的等差中项,b是-1,-16的等比中项,则ab等于()A.6B.-6C.6D.12【解析】选C.因为a=,b2=(-1)(-16)=16,所以b=4,所以ab=6.3.某家庭决定要进行一项投资活动,预计每年收益5%.该家庭2020年1月1日投入10万元,按照复利(复利是指在每经过一个计息期后,都将所得利息加入本金,以计算下期的利

2、息)计算,到2030年1月1日,该家庭在此项投资活动的资产总额大约为()参考数据:1.0581.48,1.0591.55,1.05101.63,1.05111.71A.14.8万B.15.5万C.16.3万D.17.1万【解析】选C.由题意知,该家庭2021年1月1日本金加收益和为10(1+5%)=101.05,2022年1月1日本金加收益和为101.052,2023年1月1日本金加收益和为101.053,2030年1月1日本金加收益和为101.0510101.63=16.3.所以到2030年1月1日,该家庭在此项投资活动的资产总额大约为16.3万元.4.正项等比数列an,若3a1,a3,2a

3、2成等差数列,则an的公比q=.【解析】因为正项等比数列an,3a1,a3,2a2成等差数列,所以,解得q=3.所以an的公比q=3.答案:35.在等比数列an中,a2-a1=2,且2a2为3a1和a3的等差中项,则a4=.【解析】根据题意,设等比数列an的公比为q,若2a2为3a1和a3的等差中项,则有22a2=3a1+a3,变形可得4a1q=3a1+a1q2,即q2-4q+3=0,解得q=1或3;又a2-a1=2,即a1(q-1)=2,则q=3,a1=1,则an=3n-1,则有a4=33=27.答案:276.在等比数列an中,(1)若它的前三项分别为5,-15,45,求a5;(2)若a4=

4、2,a7=8,求an.【解析】(1)因为a5=a1q4,而a1=5,q=-3,所以a5=405.(2)因为所以由得q3=4,从而q=,而a1q3=2,于是a1=,所以an=a1qn-1=. (30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.已知各项均为正数的等比数列an中,公比q=2,a2a4=4,则a1=()A.B.C.1D.2【解析】选B.各项均为正数的等比数列an中,公比q=2,a2a4=4,所以24=4,所以a1=.2.若a,2a+2,3a+3成等比数列,则实数a的值为()A.-1B.-4C.1D.4【解析】选B.因为a,2a+2,3a+3成等比数列,所以(2a+2)2=a(3a

5、+3),即a2+5a+4=0,解得a=-1或a=-4,又a=-1时,这三个数为-1,0,0,不是等比数列,故舍去.所以a=-4.3.在等比数列an中,a1+a3=,a4+a6=3,则其公比为()A.-B.C.2D.4【解析】选C.设等比数列an的公比为q,因为a1+a3=,a4+a6=3,所以q3(a1+a3)=q3=3,解得q=2.4.已知等比数列an的首项为1,且a6+a4=2(a3+a1),则a1a2a3a7=()A.16B.64C.128D.256【解析】选C.设等比数列an的公比为q,因为a6+a4=2(a3+a1),所以q5+q3=2(q2+1),解得q3=2.则a1a2a3a7=

6、q0+1+6=q21=27=128.5.放射性物质的半衰期T定义为每经过时间T,该物质的质量会衰减到原来的一半,铅制容器中有两种放射性物质A,B,开始记录时容器中物质A的质量是物质B的质量的2倍,而120小时后两种物质的质量相等,已知物质A的半衰期为7.5小时,则物质B的半衰期为()A.10小时B.8小时C.12小时D.15小时【解析】选B.=16.设mB=1.则mA=2.设物质B的半衰期为t小时.由题意可得:2=,解得t=8.二、填空题(每小题5分,共15分)6.已知等比数列an的前三项依次为a-1,a+1,a+4,则an=.【解析】由已知可知(a+1)2=(a-1)(a+4),解得a=5,

7、所以a1=4,a2=6,所以q=,所以an=4.答案:47.在数列an中,a2=,a3=,且数列nan+1是等比数列,则an=.【解析】因为数列an中,a2=,a3=,且数列nan+1是等比数列,2a2+1=3+1=4,3a3+1=7+1=8,所以数列nan+1是首项为2,公比为2的等比数列,所以nan+1=2n,解得an=.答案:【补偿训练】等比数列an中,a4=2,a5=4,则数列lg an的通项公式为.【解析】因为a5=a4q,所以q=2,所以a1=,所以an=2n-1=2n-3,所以lg an=(n-3)lg 2.答案:lg an=(n-3)lg 28.已知等比数列an,an0,nN*

8、,且2a1+3a2=33,9=a2a6,则a2 020=.【解析】设等比数列an的公比为q0,因为2a1+3a2=33,9=a2a6,an0,nN*,所以a1(2+3q)=33,9q4=q6,解得a1=q=3.所以an=3n.则a2 020=32 020.答案:32 020三、解答题(每小题10分,共20分)9.已知数列an是一个等差数列且a2=1,a5=-5.(1)求an的通项an和前n项和Sn;(2)设cn=,bn=,证明数列bn是等比数列.【解析】(1)设an的公差为d,由已知条件得,解得a1=3,d=-2,所以an=a1+(n-1)d=-2n+5,Sn=na1+d=-n2+4n.(2)

9、因为an=-2n+5,所以cn=n;所以bn=2n.因为=2(常数),所以数列bn是等比数列.10.已知数列an的前n项和为Sn,且an+Sn=n,(1)设cn=an-1,求证:cn是等比数列;(2)求数列an的通项公式.【解析】(1)因为an+Sn=n,所以an+1+Sn+1=n+1,两式相减得:an+1-an+an+1=1整理得:an+1-1=(an-1).又因为cn=an-1,所以cn+1=cn,又因为a1+a1=1,即a1=,所以c1=a1-1=-1=-,所以数列cn是以-为首项,为公比的等比数列;(2)由(1)可知cn=an-1=-=-,所以an=1-.【补偿训练】 数列an中,a1

10、=2,a2=3,且anan+1是以3为公比的等比数列,记bn=a2n-1+a2n(nN*).(1)求a3,a4,a5,a6的值;(2)求证:bn是等比数列.【解析】(1)因为anan+1是公比为3的等比数列,所以anan+1=a1a23n-1=23n,所以a3=6,a4=9,a5=18,a6=27.(2)因为anan+1是公比为3的等比数列,所以anan+1=3an-1an,即an+1=3an-1,所以a1,a3,a5,与a2,a4,a6,a2n,都是公比为3的等比数列.所以a2n-1=23n-1,a2n=33n-1,bn=a2n-1+a2n=53n-1,所以=3.故bn是以5为首项,3为公比

11、的等比数列.1.已知数列an是等比数列,有下列四个命题:数列|an|是等比数列;数列anan+1是等比数列;数列是等比数列;数列lg 是等比数列.其中正确的命题是.(填序号)【解析】由an是等比数列可得=q(q为常数,q0).=|q|为常数,故是等比数列;=q2为常数,故是等比数列;=为常数,故是等比数列;数列an=1是等比数列,但是lg =0不是等比数列.答案:2.已知an是等差数列,满足a1=2,a4=14,数列bn满足b1=1,b4=6,且an-bn是等比数列.(1)求数列an和bn的通项公式;(2)若任意nN*,都有bnbk成立,求正整数k的值.【解析】(1)设an的公差为d,则d=4,所以an=2+(n-1)4=4n-2,故an的通项公式为an=4n-2(nN*).设cn=an-bn,则cn为等比数列.c1=a1-b1=2-1=1,c4=a4-b4=14-6=8,设cn的公比为q,则q3=8,故q=2.则cn=2n-1,即an-bn=2n-1.所以bn=4n-2-2n-1(nN*).故bn的通项公式为bn=4n-2-2n-1(nN*).(2)由题意,bk应为数列bn的最大项.由bn+1-bn=4(n+1)-2-2n-4n+2+2n-1=4-2n-1(nN*).当n0,bnbn+1,即b1b23时,bn+1-bnbn+1,即b4b5b6,所以k=3或k=4.