2021_2021学年新教材高中数学第六章导数及其应用6.2.2.1函数的导数与极值课时素养评价含解析新人教B版选择性必修第三册.doc

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1、课时素养评价十八函数的导数与极值 (25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共20分,多选题全部选对的得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)1.如图是函数y=f(x)的导函数y=f(x)的图象,则下列说法正确的是()A.x=a是函数y=f(x)的极小值点B.当x=-a或x=b时,函数f(x)的值为0C.函数y=f(x)关于点(0,c)对称D.函数y=f(x)在(b,+)上单调递增【解析】选D.结合导数与函数单调性的关系可知,A中,在x=a附近,f(x)b时,f(x)0,函数f(x)单调递增.2.(2020张家界高二检测)函数f(x)=(x2-3x+1)ex的极大值是()A.-3eB.-e

2、2C.2e2D.【解析】选D.f(x)=(x2-3x+1)ex,xR.f(x)=(2x-3)ex+(x2-3x+1)ex=(x2-x-2)ex= (x-2)(x+1)ex.令f(x)=0,解得x=-1,2.令f(x)0,解得x2,或x-1.令f(x)0,解得-1x0,得x2或x0;令f(x)=3x2-6x0,得0x0;当x(1,2)时, f(x)0,所以f(x)有两个极值点1和2,且当x=2时函数取得极小值,当x=1时函数取得极大值.只有不正确.答案:6.f(x)=x(x-c)2在x=2处有极大值,则常数c的值为_.【解析】因为x=2是f(x)的极大值点,又f(x)=x(x2-2cx+c2),

3、所以f(x)=x(2x-2c)+x2-2cx+c2=3x2-4cx+c2.所以f(2)=c2-8c+12=0.得c=2或c=6.当c=2时,不能取极大值,故c=6.答案:6三、解答题(每小题10分,共20分)7.设a为实数,函数f(x)=ex-2x+2a,xR,求f(x)的单调区间与极值.【解析】由f(x)=ex-2x+2a,xR知f(x)=ex-2,xR.令f(x)=0,得x=ln 2.于是当x变化时,f(x),f(x)的变化情况如下表:x(-,ln 2)ln 2(ln 2,+)f(x)-0+f(x)2(1-ln 2+a)故f(x)的单调递减区间是(-,ln 2),单调递增区间是(ln 2,

4、+);且f(x)在x=ln 2处取得极小值.极小值为f(ln 2)=eln 2-2ln 2+2a=2(1-ln 2+a),无极大值.8.设函数y=x3+ax2+bx+c的图象如图所示,且与y=0在原点相切,若函数的极小值为-4.(1)求a,b,c的值.(2)求函数的递减区间.【解析】(1)因为函数的图象经过点(0,0),易得c=0.又图象与x轴相切于点(0,0),且y=3x2+2ax+b,故0=302+2a0+b,解得b=0.所以y=x3+ax2,则y=3x2+2ax.令y=0,解得x=0或x=-a,即x=0和x=-a是极值点.由图象知函数在x=0处取极大值,故在x=-a处取极小值.当x=-a

5、时,函数有极小值-4,所以+a=-4,整理得a3=-27,解得a=-3.故a=-3,b=0,c=0.(2)由(1)得y=x3-3x2,则y=3x2-6x,令y0,即3x2-6x0,解得0x2,所以函数的递减区间是(0,2). (15分钟30分)1.(5分)如图是函数f(x)=x3+bx2+cx+d的大致图象,则+等于()A.B.C.D.【解析】选C.函数f(x)=x3+bx2+cx+d的图象过点(0,0),(1,0),(2,0),得d=0,b+c+1=0,4b+2c+8=0,则b=-3,c=2,f(x)=3x2+2bx+c=3x2-6x+2,且x1,x2是函数f(x)=x3+bx2+cx+d的

6、两个极值点,即x1,x2是方程3x2-6x+2=0的实根,所以+=(x1+x2)2-2x1x2=4-=.2.(5分)设函数f(x)在R上可导,其导函数为f(x),且函数f(x)在x=-2处取得极小值,则函数y=xf(x)的图象可能是()【解析】选C.由题意可得f(-2)=0,而且当x(-,-2)时,f(x)0;当x(-2,+)时,f(x)0,此时若x(-2,0),xf(x)0,所以函数y=xf(x)的图象可能是C.3.(5分)(2020福州高二检测)设a0,若函数y=ex+2ax,xR有小于零的极值点,则实数a的取值范围是_.【解析】因为y=ex+2ax,a0,所以y=ex+2a.由题意知ex

7、+2a=0有小于0的实根,令y1=ex,y2=-2a,则两曲线交点在第二象限,结合图象:易得0-2a1-a-时,y0,函数递增;当x-时,y0,函数递减.所以当x=-时函数取极小值.答案:-【加练固】三次函数当x=1时有极大值4,当x=3时,有极小值0,且函数过原点,则此函数是()A.y=x3+6x2+9xB.y=x3-6x2+9xC.y=x3-6x2-9xD.y=x3+6x2-9x【解析】选B.三次函数过原点,结合选项,可设f(x)=x3+bx2+cx,f(x)=3x2+2bx+c,由题设知,f(1)=3+2b+c=0,f(3)=27+6b+c=0,解得b=-6,c=9.所以f(x)=x3-

8、6x2+9x;f(x)=3x2-12x+9=3(x-1)(x-3).当x=1时,f(x)极大值=4;当x=3时,f(x)极小值=0,满足条件.5.(10分)已知函数f(x)=x2-2ln x,h(x)=x2-x+a.(1)求函数f(x)的极值.(2)设函数k(x)=f(x)-h(x),若函数k(x)在1,3上恰有两个不同零点,求实数a的取值范围.【解析】(1)f(x)的定义域是(0,+).令f(x)=2x-=0,得x=1.当x(0,1)时,f(x)0,f(x)单调递增;所以f(x)在x=1处取得极小值,又f(1)=1,所以f(x)的极小值为1,无极大值.(2)k(x)=f(x)-h(x)=x-

9、2ln x-a(x0),所以k(x)=1-,令k(x)0,得x2,令k(x)0,得0x2,所以k(x)在(0,2)上单调递减,在(2,+)上单调递增.要使函数k(x)在1,3上恰有两个不同零点,则需解得2-2ln 2a3-2ln 3.1.若函数f(x)=aln x-ex有极值点,则实数a的取值范围是()A.(-e,+)B.(1,e)C.(1,+)D.(0,+)【解析】选D.因为函数f(x)=aln x-ex,x(0,+),所以f(x)=-ex,当a0时,f(x)0时,根据y=与y=ex的图象,如图所示,设两个函数在第一象限的交点的横坐标为x0,当x(0,x0)时,ex,f(x)0,函数f(x)

10、在区间(0,x0)上单调递增;当x(x0,+)时,ex,f(x)0时,函数f(x)有一个极大值点.2.设f(x)=xln x-ax2+(2a-1)x,aR.(1)令g(x)=f(x),求g(x)的单调区间.(2)已知f(x)在x=1处取得极大值,求实数a的取值范围.【解析】(1)由f(x)=ln x-2ax+2a,可得g(x)=ln x-2ax+2a,x(0,+),则g(x)=-2a=,当a0,x(0,+)时,g(x)0,函数g(x)单调递增;当a0,x时,g(x)0,函数g(x)单调递增,x时,g(x)0时,g(x)的单调递增区间为,单调递减区间为.(2)由(1)知,f(1)=0.当a0时,f(x)单调递增.所以当x(0,1)时,f(x)0,f(x)单调递增.所以f(x)在x=1处取得极小值,不合题意.当0a1,由(1)知f(x)在内单调递增,可得当x(0,1)时,f(x)0,所以f(x)在(0,1)内单调递减,在内单调递增,所以f(x)在x=1处取得极小值,不合题意.当a=时,=1,f(x)在(0,1)内单调递增,在(1,+)内单调递减,所以当x(0,+)时,f(x)0,f(x)单调递减,不合题意.当a时,00,f(x)单调递增,当x(1,+)时,f(x)0,f(x)单调递减,所以f(x)在x=1处取得极大值,符合题意.综上可知,实数a的取值范围为.