2021_2021学年高中数学第一章导数及其应用1.4生活中的优化问题举例跟踪训练含解析新人教A版选修2_.doc

《2021_2021学年高中数学第一章导数及其应用1.4生活中的优化问题举例跟踪训练含解析新人教A版选修2_.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2021_2021学年高中数学第一章导数及其应用1.4生活中的优化问题举例跟踪训练含解析新人教A版选修2_.doc（8页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、生活中的优化问题举例 A组学业达标1正三棱柱体积为V，则其表面积最小时，底面边长为()A. B C2 D.解析：设底面边长为a，高为h，则VSha2h，所以h，则表面积为S3ah2a2a2，则Sa，令Sa0，可得a，即a.答案：D2要做一个圆锥形漏斗，其母线长为20 cm，要使其体积最大，则高应为()A. cm B100 cm C20 cm D. cm解析：设高为h，体积为V，则底面半径r2202h2400h2，所以Vr2h(400hh3)，V(4003h2)，令V0，得h或h(舍去)故选A.答案：A3在半径为r的半圆内作一内接梯形，使其下底边为直径，其他三边为半圆的弦，则梯形面积最大时，梯形

2、的上底为()A. Br C.r Dr解析：如图所示为半圆及其内接梯形，设COB，则CD2rcos ，hrsin ，所以S，rsin r2sin (1cos )，所以Sr2cos (1cos )sin2r2(2cos2cos 1)令S0，得cos 1(舍去)或cos .即当cos 时，梯形面积最大，此时上底CD2rcos r.故选D.答案：D4某商场从生产厂家以每件20元的价格购进一批商品，若该商品零售价定为P元，销量为Q，销量Q(单位：件)与零售价P(单位：元)有如下关系：Q8 300170PP2，则最大毛利润为(毛利润销售收入进货支出)()A30元 B60元 C28 000元 D23 000

3、元解析：设毛利润为L(P)，由题意知L(P)PQ20Q(8 300170PP2)(P20)P3150P211 700P166 000所以L(P)3P2300P11 700.令L(P)0，解得P30或P130(舍去)此时，L(30)23 000.根据实际问题的意义知，L(30)是最大值，即零售价定为每件30元时，最大毛利润为23 000元答案：D5某工厂要建造一个长方体状的无盖箱子，其容积为48 m3，高为3 m，如果箱底每平方米的造价为15元，箱壁每平方米的造价为12元，则箱子的最低总造价为()A900元 B840元 C818元 D816元解析：设箱底一边的长度为x m，箱子的总造价为l元，根

4、据题意，得l1512224072(x0)，l72.令l0，解得x4或x4(舍去)当0x4时，l0；当x4时，l0.故当x4时，l有最小值816.因此，当箱底是边长为4 m的正方形时，箱子的总造价最低，最低总造价为816元故选D.答案：D6要做一个底面为长方形的带盖的盒子，其体积为72 cm3，其底面两邻边长之比为12，则它的长为_cm，宽为_cm，高为_cm时，可使表面积最小解析：设底面两邻边长分别为x cm,2x cm，则高h(cm)所以表面积S4x22(x2x)(x0)所以S8x.令S0，解得x3，则S在(0，)内的唯一可能的极值点为x3，所以当x3时S取极值，且是S的最小值答案：6347

5、.一个帐篷，它下部的形状是高为1 m的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3 m的正六棱锥(如图所示)当帐篷的顶点O到底面中心O1的距离为_时，帐篷的体积最大解析：设OO1为x m(1x4)，底面正六边形的面积为S m2，帐篷的体积为V m3.则由题设可得正六棱锥底面边长为 m，于是底面正六边形的面积为S6()2(82xx2)帐篷的体积为V(82xx2)(x1)(82xx2)(82xx2)(1612xx3)，则V(123x2)令V0，解得x2或x2(不合题意，舍去)当1x2时，V0；当2x4时，V0.所以当x2时，V最大答案：2 m8一艘轮船在航行时的燃料费和它的速度的立方成正比，已知速度为每小时1

6、0千米时的燃料费是每小时6元，而其他与速度无关的费用是每小时96元，问此轮船以何种速度航行时，能使行驶每千米的费用总和最小？解析：设轮船速度为x(x0)千米/时的燃料费用为Q元，则Qkx3，由6k103，可得k.所以Qx3.所以总费用yx2.y，令y0，得x20.所以当x(0,20)时，y0，此时函数单调递减，当x(20，)时，y0，此时函数单调递增所以当x20时，y取得最小值所以此轮船以20千米/时的速度行驶每千米的费用总和最小9某商场为了获得更大的利润，每年要投入一定的资金用于广告促销经调查，每年投入广告费t(百万元)，可增加的销售额为t25t(百万元)(0t3)(1)若该商场将当年的广告

7、费控制在三百万元以内，则应投入多少广告费，才能使公司由广告费而产生的收益最大(注：收益销售额投入费用)(2)现在该商场准备投入三百万元，分别用于广告促销和技术改造经预算，每投入技术改造费x(百万元)，可增加的销售额约为x3x23x(百万元)，请设计一个资金分配方案，使该商场由这两项共同产生的收益最大解析：(1)设投入广告费t(百万元)后由此增加的收益为f(t)(百万元)，则f(t)t25ttt24t(t2)24(0t3)所以当t2时，f(t)max4，即当商场投入两百万元广告费时，才能使商场由广告费而产生的收益最大(2)设用于技术改造的资金为x(百万元)，则用于广告促销的费用为(3x)(百万元

8、)，则由此两项所增加的收益为g(x)x3x23x(3x)25(3x)3x34x3(0x3)对g(x)求导，得g(x)x24，令g(x)x240，得x2或x2(舍去)当0x2时，g(x)0，即g(x)在0,2)上单调递增；当2x3时，g(x)0，即g(x)在(2,3上单调递减，所以当x2时，g(x)maxg(2).故在三百万资金中，两百万元用于技术改造，一百万元用于广告促销，这样商场由此所增加的收益最大，最大收益为百万元B组能力提升10某公司生产某种产品，固定成本为20 000元，每生产一单位产品，成本增加100元，已知总收益R与年产量x的关系式R(x)则总利润最大时，每年生产的产品数量是()A

9、100 B150 C200 D300解析：由题意，总成本为C20 000100x，所以总利润为PRCP令P0，当0x400时，得x300；当x400时，P0恒成立，易知当x300时，总利润最大答案：D11某公司在甲乙两地销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L15.06x0.15x2和L22x，其中x为销售量(单位：辆)，该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为()A45.6万元 B43.6万元C43.2万元 D42.15万元解析：设甲地销售x辆，则乙地销售(15x)辆总利润LL1L20.15x23.06x30，x0,15L(x)0.3x3.06，令L(x)0，解得x10.2.所以

10、当x10时，L有最大值45.6万元答案：A12如图，圆形纸片的圆心为O，半径为5 cm，该纸片上的等边三角形ABC的中心为O.D，E，F为圆O上的点，DBC，ECA，FAB分别是以BC，CA，AB为底边的等腰三角形沿虚线剪开后，分别以BC，CA，AB为折痕折起DBC，ECA，FAB，使得D，E，F重合，得到三棱锥当ABC的边长变化时，所得三棱锥体积(单位：cm3)的最大值为_解析：连接OB，连接OD，交BC于点G，由题意得，ODBC，OGBC，设OGx，则BC2x，DG5x，三棱锥的高h，SABC2x3x3x2，则VSABChx2，令f(x)25x410x5，x，f(x)100x350x4，令

11、f(x)0，即x42x30，x2，则f(x)f(2)80，则V4，所以体积最大值为4 cm3.答案：4 cm313将边长为1 m的正三角形薄铁皮，沿一条平行于某一边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记s，则s的最小值是_解析：如图所示，设DEx，则梯形的周长为：3x，梯形的面积为：(x1)(1x)(1x2)，所以s，x(0,1)，设h(x)，则h(x).令h(x)0，得：x或x3(舍)所以h(x)minh8，所以smin8.答案：14如图，某工厂拟建一座平面图为矩形，且面积为200 m2的三级污水处理池，由于地形限制，长、宽都不能超过16 m，如果池外周壁建造单价为每米400元，中间两条隔墙建造

12、单价为每米248元，池底建造单价为每平方米80元(池壁厚度忽略不计，且池无盖)(1)写出总造价y(元)与污水处理池长x(m)的函数关系式，并指出其定义域；(2)污水处理池的长和宽各为多少时，污水处理池的总造价最低？并求出最低总造价解析：(1)设长为x m，则宽为 m.据题意解得x16，y40024816 000800x16 000.(2)由y8000，解得x18.当x(0,18)时，函数y为减函数；当x(18，)时，函数y为增函数又因为x16，所以当x16时，ymin45 000，12.5.所以当且仅当长为16 m、宽为12.5 m时，总造价y最低为45 000元15网校教学越来越受广大学生的

13、喜爱，它已经成为学生们课外学习的一种趋势假设某网校的套题每日的销售量y(单位：千套)与销售价格x(单位：元/套)满足关系式y4(x6)2，其中2x6，m为常数已知销售价格为4元/套时，每日可售出21千套(1)求m的值；(2)假设网校的员工工资、办公等所有开销折合为每套题2元(只考虑销售出的套数)，试确定销售价格x的值，使网校每日销售套题所获得的利润最大(结果保留1位小数)解析：(1)因为x4时，y21，所以1621，所以m10.(2)由(1)可知，该套题每日的销售量y4(x6)2，所以网校每日销售套题所获得的利润f(x)(x2)104(x2)(x6)2，f(x)4(x6)22(x2)(x6)4(x6)(3x10)，令f(x)0得x(x6舍去)知在上f(x)0，在上f(x)0，所以x3.3时，f(x)有最大值故当销售价格为3.3元/套时，网校每日销售套题所获得的利润最大