2021_2022学年新教材高中数学第三章空间向量与立体几何§5数学探究活动一正方体截面探究课后篇巩固提升训练含解析北师大版选择性必修第一册.docx

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1、第三章空间向量与立体几何5数学探究活动(一):正方体截面探究课后篇巩固提升合格考达标练1.我国南北朝时期的数学家祖暅提出了著名的祖暅原理:“幂势既同,则积不容异”.意思是如果两等高的几何体在同高处截得两几何体的截面积恒等,那么这两个几何体的体积相等.现有同高的圆锥和棱锥满足祖暅原理的条件,若棱锥的体积为3,圆锥的侧面展开图是半圆,则圆锥的母线长为()A.33B.1C.3D.23答案D解析现有同高的圆锥和棱锥满足祖暅原理的条件,棱锥的体积为3,圆锥的体积为3.圆锥的侧面展开图是半圆,设半径是R,即圆锥的母线长是R,半圆的弧长是R,圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长,设圆锥的底面半径是r,则得

2、到2r=R,R=2r,圆锥的高h=(2r)2-r2=3r,圆锥的体积V=13r23r=3,解得r=3,则圆锥的母线长为R=2r=23.故选D.2.已知三棱锥P-ABC满足PA底面ABC,在ABC中,AB=6,AC=8,ABAC,D是线段AC上一点,且AD=3DC,球O为三棱锥P-ABC的外接球,过点D作球O的截面,若所得截面圆的面积的最小值与最大值之和为44,则球O的表面积为()A.72B.86C.112D.128答案D解析如图,设M是BC边中点,E是AC边中点,ABAC,M是ABC的外心.作OMPA,PA平面ABC,OM平面ABC,OMAM,OMMD.取OM=12PA,易得OA=OP,又OA

3、=OM=OC,O是三棱锥P-ABC的外接球的球心.E是AC中点,MEAB,MEAC,AD=3DC,ED=14AC=2,又ME=12AB=3,MD=ME2+ED2=32+22=13.设PA=2a,则OM=a,OD2=OM2+MD2=a2+13,又AM=12BC=1262+82=5,OA2=OM2+AM2=a2+25.设过D且与OD垂直的截面圆半径为r,则r=OA2-OD2=23,这是最小的截面圆半径,最大的截面圆半径等于球半径OA,OA2+r2=(a2+25)+12=44,解得a2=7,S球=4OA2=128.故选D.3.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的一个截面经过顶点A,C及棱A1D1

4、上一点K,且将正方体分成体积之比为1341的两部分,则D1KKA1的值为()A.1B.22C.12D.13答案C解析过K作KEAC,交C1D1于点E,连接CE,设正方体棱长为a,设D1KKA1=1(0),则D1K=D1E=a1+.截面将正方体分成体积之比为1341的两部分,VKED1-ACD=13a12a1+2+12a2+12a1+212a2=1313+41a3,解得=2(负值舍去),D1KKA1=12.故选C.4.已知圆柱的底面半径为2,高为3,垂直于圆柱底面的平面截圆柱所得截面为矩形ABCD(如图).若底面圆的弦AB所对的圆心角为3,则圆柱被分成两部分中较大部分的体积为()A.10+33B

5、.10C.103+3D.2-33答案A解析由题可得,圆柱被分成两部分中较小部分的底面积为S=3222-1222sin3=23-3,圆柱被分成两部分中较小部分的体积为V小=23-33=2-33,则圆柱被分成两部分中较大部分的体积为V大=223-(2-33)=10+33.故选A.5.在棱长为1的正四面体ABCD中,E是BD上一点,BE=3ED,过点E作该四面体的外接球的截面,则所得截面面积的最小值为()A.8B.316C.4D.516答案B解析将四面体ABCD放置于正方体中,如图所示,可得正方体的外接球就是四面体ABCD的外接球.正四面体ABCD的棱长为1,正方体的棱长为22,可得外接球半径R满足

6、2R=322=62,R=64.E是BD上一点,BE=3ED,当球心O到截面的距离最大时,截面圆的面积取最小值,此时球心O到截面的距离等于OE.cosODB=162=63,OD=64,DE=14,OE2=642+142-2641463=316,则所得截面半径最小值为616-316=34.所得截面面积的最小值为342=316.故选B.等级考提升练6.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,则与平面A1C1B平行的平面截此正方体所得截面面积的最大值为()A.334B.233C.324D.32答案A解析如图所示,分别取边AB,AA1,A1D1,D1C1,C1C,CB的中点M,N,E,F,G,H

7、,显然平面MNEFGH平面A1C1B,易知当截面为平面MNEFGH时,截面面积最大,此时,平面MNEFGH为正六边形,边长为22,故正六边形面积为S=612222232=334.故选A.7.已知球O与棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1的各面都相切,则平面ACB1截球O所得的截面圆与球心O所构成的圆锥的体积为()A.239B.318C.2327D.354答案C解析由题意,球心O与点B的距离为1223=3,B到平面ACB1的距离为1323=233,球的半径为1,球心到平面ACB1的距离为3-233=33,平面ACB1截此球所得的截面的圆的半径为1-13=63,平面ACB1截此球所得的截面的

8、面积为632=23,平面ACB1截球O所得的截面圆与球心O所构成的圆锥的体积V=132333=2327.故选C.8.如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,N为CC1的中点,M为线段BC上的动点(不含端点),若过点A,M,N的平面截该正方体所得截面为四边形,则线段BM长度的取值范围是()A.(0,1B.1,2)C.0,32D.32,2答案A解析当点M为线段BC的中点时,截面为四边形AMND1,又正方体的棱长为2,当01时,截面与正方体的上底面也相交,截面为五边形,故线段BM的取值范围为(0,1.故选A.新情境创新练9.如图所示,在棱长为6的正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E,F分别是棱C1D1,B1C1的中点,过A,E,F三点作该正方体的截面,则截面的周长为()A.18+32B.613+32C.65+92D.10+32+410答案B解析如图所示,延长EF,A1B1相交于点M,连接AM交BB1于点H,延长FE,A1D1相交于点N,连接AN交DD1于点G,可得截面五边形AHFEG.几何体ABCD-A1B1C1D1是棱长为6的正方体,且E,F分别是棱C1D1,B1C1的中点,EF=32,AG=AH=62+42=213,EG=FH=32+22=13.截面的周长为613+32.故选B.- 5 -