2021_2021学年新教材高中数学第六章计数原理六二项式定理课时素养评价含解析新人教A版选择性必修第三册.doc

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1、六二项式定理(25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共20分)1.2n+2n-1+2n-k+等于()A.2nB.2n-1C.3nD.1【解析】选C.原式=(2+1)n=3n.2.(2017全国卷)(1+x)6展开式中x2的系数为()A.15B.20C.30D.35【解析】选C.(1+x)6展开式中含x2的项为1x2+x4=30x2,故x2的系数为30.【类题通】对于两个二项式乘积的问题,用第一个二项式中的每项乘以第二个二项式的每项,分析含x2的项共有几项,进行相加即可.这类问题的易错点主要是未能分析清楚构成这一项的具体情况,尤其是两个二项展开式中的r不同.3.在(+)12的展开式中,含x的正

2、整数次幂的项共有()A.4项B.3项C.2项D.1项【解析】选B.(+)12的展开式的通项为Tr+1=()12-r()r=(0r12),6-(0r12)为正整数,有3项,即r=0,r=6,r=12.4.(2020广州高二检测)若的展开式中常数项等于-20,则a=()A.B.-C.1D.-1【解析】选C.的展开式的通项公式为Tk+1=(ax)6-k=(-1)ka6-kx6-2k.当k=3时,常数项为(-1)3a3=-20,解得a=1.二、填空题(每小题5分,共10分)5.(2020全国卷)的展开式中常数项是_(用数字作答).【解析】因为Tr+1=x2(6-r)2rx-r=2rx12-3r,由12

3、-3r=0,得r=4,所以的展开式中常数项是:24=16=1516=240,故常数项为240.答案:2406.(2020天津高二检测)的展开式中,项的系数为_.【解析】因为二项式展开式的通项公式为Tk+1=(2)6-k=(-1)k26-kx3-k;令3-k=-1,所以k=4;故展开式中含项的系数为22=60.答案:60三、解答题(每小题10分,共20分)7.已知在的展开式中,第5项的二项式系数与第3项的二项式系数的比是143.(1)求n;(2)求展开式中所有的有理项.【解析】(1)依题意有=143,化简,得(n-2)(n-3)=56,解得n=10或n=-5(不合题意,舍去),所以n的值为10.

4、(2)通项公式为Tk+1=(-1)k=(-1)k,由题意得解得k=2,5,8,所以第3项、第6项与第9项为有理项,它们分别为x2,x-2.8.设f(x)=(1+x)m+(1+x)n的展开式中含x项的系数是19(m,nN*).(1)求f(x)的展开式中含x2项的系数的最小值.(2)当f(x)的展开式中含x2项的系数取最小值时,求f(x)的展开式中含x7项的系数.【解析】(1)由题设知m+n=19,所以m=19-n,含x2项的系数为+=+=+=n2-19n+171=(n-)2+.因为nN*,所以当n=9或n=10时,x2项的系数的最小值为+=81.(2)当n=9,m=10或n=10,m=9时,x2

5、项的系数取最小值,此时x7项的系数为+=+=156.(15分钟30分)1.(5分)(2020昆明高二检测)的展开式中,常数项为()A.1B.3C.4D.13【解析】选D.由于表示4个因式的乘积,故展开式中的常数项可能有以下几种情况:所有的因式都取1;有2个因式取,一个因式取1,一个因式取;故展开式中的常数项为1+=13.2.(5分)(多选题)若的展开式中存在常数项,则n的取值可以是()A.3B.4C.5D.6【解析】选BD.的展开式中通项公式:Tk+1=xn-k=(-1)kxn-2k.因为存在常数,所以n-2k=0,即n=2k,n,kN*.则n的值可以是4,6.3.(5分)(2020天津高二检

6、测)将(3+x)n的展开式按照x的升幂排列,若倒数第三项的系数是90,则n的值是_.【解析】将(3+x)n的展开式按照x的升幂排列,则倒数第三项的系数是32=90,求得n=5(负值舍去).答案:54.(5分)(2019浙江高考)在二项式(+x)9的展开式中,常数项是_,系数为有理数的项的个数是_.【解析】展开式通项是:Tr+1=()9-rxr,所以常数项是T1=()9=16,若系数为有理数,则9-r为偶数,所以r为奇数,所以r可取1,3,5,7,9.答案:1655.(10分)已知f(x)=(1+x)m,g(x)=(1+2x)n(m,nN*).(1)若m=3,n=4,求f(x)g(x)的展开式含

7、x2的项.(2)令h(x)=f(x)+g(x),h(x)的展开式中x的项的系数为12,那么当m,n为何值时,含x2的项的系数取得最小值?【解析】(1)当m=3,n=4时,f(x)g(x)=(1+x)3(1+2x)4.(1+x)3展开式的通项为xr,(1+2x)4展开式的通项为(2x)r,f(x)g(x)的展开式含x2的项为1(2x)2+x(2x)+x21=51x2.(2)h(x)=f(x)+g(x)=(1+x)m+(1+2x)n.因为h(x)的展开式中x的项的系数为12,所以+2=12,即m+2n=12,所以m=12-2n.x2的系数为+4=+4=(12-2n)(11-2n)+2n(n-1)=

8、4n2-25n+66=4+,nN*,所以n=3,m=6时,x2的项的系数取得最小值.1.若(x+a)2的展开式中常数项为-1,则a的值为_.【解析】由于(x+a)2=x2+2ax+a2,而的展开式通项为Tk+1=(-1)kxk-5,其中k=0,1,2,5.于是的展开式中x-2的系数为(-1)3=-10,x-1项的系数为(-1)4=5,常数项为-1,因此(x+a)2的展开式中常数项为1(-10)+2a5+a2(-1)=-a2+10a-10,依题意-a2+10a-10=-1,解得a2-10a+9=0,即a=1或a=9.答案:1或92.设=a0+a1x+a2x2+arxr+anxn,其中qR,nN*

9、.(1)当q=1时,化简:.(2)当q=n时,记An=,Bn=ar,试比较An与Bn的大小.【解题指南】(1)当q=1时,ar=,从而得到结果.(2)当q=n时,由二项式定理可得An=nn+1,Bn=,猜想、归纳,用数学归纳法加以证明即可.【解析】(1)当q=1时,ar=,由于=,其中r=0,1,2,n.所以原式=(+)=.(2)当q=n时,ar=nn-r,所以a0=nn,a1=nn,所以An=nn+1,令x=1,得Bn=,当n=1,2时,nn+1,即n.下面先用数学归纳法证明:当n3时,n,()当n=3时,3=,()式成立;设n=k3时,()式成立,即k,则n=k+1时,()式右边=k=+k

10、.所以,当n=1,2时,AnBn.【一题多解】当q=n时,ar=nn-r,所以a0=nn,a1=nn,所以An=nn+1,令x=1,得Bn=,要比较An与Bn的大小,即可比较与的大小,设f=,则f=,由f0,得0xe,所以f在上递增,由fe,所以f在上递减,所以当n=1,2时,An,即lnnnln,即lnnn+1ln,即AnBn,综上所述,当n=1,2时,AnBn.【一题多解】当q=n时,ar=nn-r,所以a0=nn,a1=nn,所以An=nn+1,令x=1,得Bn=,当n=1,2时,nn+1.下面用数学归纳法证明:nn+1,n3,nN*,(*)当n=3时,33+1=81,=64,因为8164,所以(*)式成立;设n=k3时,(*)式成立,即有kk+1,所以1(因为0).又因为k,即,所以=1,即,所以,当n=k+1时,(*)式也成立.综合,对任何n3,nN*,nn+1都成立.所以,当n=1,2时,AnBn.