2021_2022学年新教材高中数学第二章平面向量及其应用2.6.1第4课时余弦定理与正弦定理的应用课后素养落实含解析北师大版必修第二册.doc

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1、课后素养落实(二十四)余弦定理与正弦定理的应用(建议用时：40分钟)一、选择题1从A处望B处的仰角为，从B处望A处的俯角为，则，的关系为()A BC90D180B根据题意和仰角、俯角的概念画出草图，如图知，故选B.2.如图所示，在河岸AC测量河的宽度BC，图中所标的数据a，b，c，是可供测量的数据下面给出的四组数据中，对测量河宽较适宜的是()Ac和 Bc和bCc和 Db和Db在岸上比较好测量，和任选其一测量即可3一艘船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P的南偏西75距塔68 n mile的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处，则这只船的航行速度为()A n mile/h B34 n

2、 mile/hC n mile/h D34 n mile/hA如图所示，在PMN中，MN34，v(n mile/h).故选A.4在地面上点D处，测量某建筑物的高度，测得此建筑物顶端A与底部B的仰角分别为60和30，已知建筑物底部高出地面D点20 m，则建筑物高度为()A20 m B30 m C40 m D60 mC如图，设O为建筑物顶端在地面的射影，在RtBOD中，ODB30，OB20，BD40，OD20.在RtAOD中，OAODtan 6060.ABOAOB40.故选C.5一艘船以4 km/h的速度与水流方向成120的方向航行，已知河水流速为2 km/h，则经过 h，该船实际航程为()A2

3、km B6 kmC2 km D8 kmB如图所示，在ACD中，AC2，CD4，ACD60，AD2124822436.AD6.即该船实际航程为6 km.故选B.二、填空题6某人从A处出发，沿北偏东60行走3 km到B处，再沿正东方向行走2 km到C处，则A，C两地的距离为_km.7如图所示，由题意可知AB3，BC2，ABC150.由余弦定理，得AC2274232cos 15049，AC7.则A，C两地的距离为7 km.7如图，小明同学在山顶A处观测到一辆汽车在一条水平的公路上沿直线匀速行驶，小明在A处测得公路上B，C两点的俯角分别为30，45，且BAC135.若山高AD100 m，汽车从C点到B

4、点历时14 s，则这辆汽车的速度为_m/s.(精确到0.1，参考数据：1.414，2.236)22.6由题意，AB200 m，AC100 m，由余弦定理可得BC316.2(m)，这辆汽车的速度为316.21422.6(m/s).8我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作数书九章卷五“田域类”里记载了这样一个题目：“今有沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里里法三百步欲知为田几何”这道题讲的是有一块三角形的沙田，三边长分别为13里，14里，15里，假设1里按500米计算，则该沙田的面积为_平方千米21设在ABC中，a13里，b14里，c15里，所以cos C，所以sin C，故A

5、BC的面积为1314500221(平方千米).三、解答题9.如图所示，在ABC中，ABAC2，BC2，点D在BC边上，ADC45，求AD的长度. 解在ABC中，由余弦定理，有cos C，则C30.在ACD中，由正弦定理，有，AD，即AD的长度等于.10济南泉城广场上的泉标是隶书“泉”字，其造型流畅别致，成了济南的标志和象征小明同学想测量泉标的高度，于是他在广场的A点测得泉标顶端的仰角为60，他又沿着泉标底部方向前进15.2 m，到达B点，又测得泉标顶端的仰角为80.你能帮小明同学求出泉标的高度吗？(精确到1 m)解如图所示，点C，D分别为泉标的底部和顶端依题意，得BAD60，CBD80，AB1

6、5.2 m，则ABD100，故ADB180(60100)20.在ABD中，根据正弦定理，得，BD38.5(m).在RtBCD中，CDBD sin 8038.5sin 8038(m)，即泉城广场上泉标的高约为38 m11.如图所示，为了测量某湖泊两侧A，B间的距离，李宁同学首先选定了与A，B不共线的一点C，然后给出了三种测量方案(ABC的角A，B，C所对的边分别记为a，b，c)：测量A，B，b；测量a，b，C；测量A，B，a.则一定能确定A，B间距离的所有方案的个数为()A3 B2 C1 D0A对于，利用内角和定理先求出CAB，再利用正弦定理解出c；对于，直接利用余弦定理c2a2b22ab co

7、s C即可解出c；对于，先利用内角和定理求出CAB，再利用正弦定理解出c.故选A.12甲船在湖中B岛的正南A处，AB3 km，甲船以8 km/h的速度向正北方向航行，同时乙船从B岛出发，以12 km/h的速度向北偏东60方向驶去，则行驶15 min时，两船的距离是()A km B kmC km D kmB由题意知AM82，BN123，MBABAM321，所以由余弦定理，得MN2MB2BN22MBBN cos 12019213()13，所以MN km.故选B.13.如图，某市在进行城市环境建设中，要把一个四边形ABCD区域改造成公园，经过测量得到AB1 km，BC2 km，CD3 km，AD4

8、km，且ABC120，则这个区域的面积是_km2.连接AC(图略)，在ABC中，AB1 km，BC2 km，ABC120，利用余弦定理得AC2BC2AB22ABBC cos ABC412127，即AC km.在ACD中，因为AC km，CD3 km，AD4 km，所以AC2CD2AD2，则ACD为直角三角形，且ACD90.故S四边形ABCDSABCSACDABBCsin ABCACCD12sin 1203(km2).14.某班设计了一个八边形的班徽，它由腰长为1，顶角为的四个等腰三角形，及其底边构成的正方形组成该八边形的面积为_2sin 2cos 2 三角形的底边长为x，S4S三角形S正方形4

9、11sin x22sin 22cos 2sin 2cos 2.15为保障高考的公平性，高考时每个考点都要安装手机屏蔽仪，要求在考点周围1 km处不能收到手机信号检查员抽查青岛市一考点，在考点正西 km有一条北偏东60方向的公路，在此处检查员用手机接通电话，以每小时12 km的速度沿公路行驶，问最长需要多少分钟检查员开始收不到信号，并至少持续多长时间该考点才算合格？解如图所示，考点为A，检查开始处为B，设检查员行驶到公路上C，D两点之间时收不到信号，即公路上C，D两点到考点的距离为1 km.在ABC中，ABkm，AC1 km，ABC30，由正弦定理，得sin ACBAB，ACB120(ACB60不合题意)，BAC30，BCAC1 km.在ACD中，ACAD1 km，ACD60，ACD为等边三角形，CD1 km.605(min)，在BC上需5 min，CD上需5 min.最长需要5 min检查员开始收不到信号，并持续至少5 min才算合格- 6 -