2021_2021学年高中数学第二章数列2.3.2等差数列习题课同步作业含解析新人教A版必修.doc

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1、等差数列习题课(45分钟75分)一、选择题(每小题5分,共30分)1.若数列an为等差数列,Sn为其前n项和,且a2=3a4-6,则S9等于()A.54B.50C.27D.25【解析】选C.设an公差为d,则a4=a2+2d,所以a2=3(a2+2d)-6,2a2+6d-6=0,a2+3d=3,即a5=3,所以S9=9a5=27.2.已知等差数列an的公差d0,Sn是其前n项和,若a1+a3+a5=-15,a2+a4+a6=-21,则S3的值是()A.-5B.-C.-D.-【解析】选C.由等差数列性质知3a3=-15,3a4=-21,故a3=-5,a4=-7,则a2=-3.则S3=-.3.设a

2、n(nN*)是等差数列,Sn是其前n项的和,且S5S8,则下列结论错误的是()A.dS5D.S6和S7均为Sn的最大值【解析】选C.因为S5S8,所以a7=0且S6与S7均是Sn的最大值,因此d3时,an0,bn=|an|=an=2n-6,即b4=2,b5=4,b6=6,b7=8.所以数列bn的前7项和为4+2+0+2+4+6+8=26.5.在数列an中,an=,其前n项和为,则在平面直角坐标系中,直线(n+1)x+y+n=0在y轴上的截距为()A.-10B.-9C.10D.9【解析】选B.an的前n项和为+=1-+-+-=1-=,所以n=9,直线(n+1)x+y+n=0即为10x+y+9=0

3、,所以其在y轴上的截距为-9.6.数列an,bn满足anbn=1,an=n2+3n+2,则bn的前10项和为()A.B.C.D.【解析】选B.由已知,bn=-,所以bn的前10项和为S10=+=-=.二、填空题(每小题5分,共15分)7.(2019北京高考)设等差数列an的前n项和为Sn,若a2=-3,S5=-10,则a5=_,Sn的最小值为_.【解析】设公差为d,a2=a1+d=-3,S5=5a1+d=-10,即a1+2d=-2,解得a1=-4,d=1,所以a5=a1+4d=0,Sn=na1+d=,当n=4或5时,Sn最小,为-10.答案:0-108.已知某等差数列共有10项,其奇数项之和为

4、15,偶数项之和为30,则其公差为_.【解析】S奇=a1+a3+a5+a7+a9=15,S偶=a2+a4+a6+a8+a10=30,所以S偶-S奇=5d=15,d=3.答案:39.已知数列an满足an=11-2n则,|a1|+|a2|+|a3|+|a8|=_.【解析】原式=(a1+a2+a3+a4+a5)-(a6+a7+a8)=(9+7+5+3+1)-(-1-3-5)=34.答案:34三、解答题(每小题10分,共30分)10.已知数列bn满足bn=,求bn的前n项和Sn.【解析】因为bn=-所以Sn=b1+b2+bn=1-+-+-=1-=11.(2019杭州高一检测)已知数列an中,a7=6,

5、a10=-3,Sn为等差数列an的前n项和.(1)求数列an的通项公式及Sn的最大值.(2)求|a1|+|a2|+|a3|+|a19|+|a20|.【解析】(1)因为a7=6,a10=-3,故:,解得a1=24,d=-3,则an=-3n+27,数列的前n项和公式为:Sn=n24+(-3)=-n2+n,注意到数列an单调递减,且a80,a9=0,所以Sn的最大值=S8=S9=108.(2)因为|a1|+|a2|+|a3|+|a19|+|a20|=a1+a2+a3+a9-(a10+a11+a20),所以a1+a2+a3+a9-(a10+a11+a20)=2S9-S20,由于S9=108,S20=-

6、90,即|a1|+|a2|+|a3|+|a19|+|a20|=306.12.已知Sn为各项均为正数的数列an的前n项和,a1(0,2),+3an+2=6Sn.(1)求an的通项公式.(2)设bn=,数列bn的前n项和为Tn,若对任意nN*,t4Tn恒成立,求实数t的最大值.【解析】(1)当n=1时,+3a1+2=6S1=6a1,即-3a1+2=0,又因为a1(0,2),解得a1=1.对任意nN*,由+3an+2=6Sn知+3an+1+2=6Sn+1,两式相减,得-+3(an+1-an)=6an+1,即(an+1+an)(an+1-an-3)=0,由an0得an+1-an-3=0,即an+1-a

7、n=3,所以an是首项为1,公差为3的等差数列,所以an=1+3(n-1)=3n-2.(2)由an=3n-2得bn=,所以Tn=b1+b2+bn=.因为Tn+1-Tn=-=0,所以Tn+1Tn,即数列Tn是递增数列,所以t4Tn,Tn,T1=,t1,所以实数t的最大值是1.(45分钟85分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.等差数列an的前n项和为Sn,已知a1=13,S3=S11,当Sn最大时,n的值是()A.5B.6C.7D.8【解析】选C.方法一:由S3=S11得a4+a5+a11=0,由等差数列性质得a7+a8=0,由首项等于13可知数列递减,所以a70,a80,所以n=7时Sn最

8、大.方法二:由S3=S11得3a1+3d=11a1+55d,把a1=13代入,得d=-2,所以Sn=13n-n(n-1)=-n2+14n,由二次函数的性质知当n=7时Sn最大.2.(2019大庆高一检测)已知数列an是等差数列,a10,a8a90的n的最小值为()A.8B.9C.15D.16【解析】选D.因为等差数列an,首项a10,a8a90,所以a80,由Sn=n(a1+an),可得S15=15a80,所以使前n项和Sn0成立的最小自然数n的值为16.3.已知在数列an中,an=,若an的前n项和为,则项数n为()A.2 015B.2 016C.2 017D.2 018【解析】选D.设Sn

9、为an的前n项和,因为an=-,故Sn=a1+a2+an=+=1-=,令Sn=,故n=2 018.4.已知函数f(x)是(-1,+)上的单调函数,且函数y=f(x-2)的图象关于直线x=1对称,若数列an是公差不为0的等差数列,且f(a50)=f(a51),则数列an的前100项的和为()A.-200B.-100C.0D.-50【解析】选B.因为函数y=f(x-2)的图象关于直线x=1对称,则函数f(x)的图象关于直线x=-1对称,又因为函数f(x)是(-1,+)上的单调函数,an是公差不为0的等差数列,f(a50)=f(a51),所以a50+a51=-2,S100=50(a50+a51)=-

10、100.5.在等差数列an中,a1000,且|a100|a101|,Sn为其前n项和,则使Sn0,因为a1000,且|a100|a101|,所以-a1000.所以S200=0,S199=199a1000,所以使Sn0,所以a3=9,a4=13,所以d=4,a1=1,所以an=4n-3.(2)由(1)知Sn=na1+=2n2-n=2-,所以当n=1时,Sn最小,最小值为S1=a1=1.(3)由(1)知Sn=na1+d=2n2-n,所以bn=.因为为等差数列,所以b1+b3=2b2,所以+=2,所以2c2+c=0,所以c=0 (舍)或c=-.当c=-时,bn=2n,此时bn-bn-1=2,故为等差数列,故c=-.13.数列an满足a1=,an+1=(nN*).(1)求证:为等差数列,并求出an的通项公式.(2)设bn=-1,数列bn的前n项和为Bn,对任意n2都有B3n-Bn成立,求正整数m的最大值.【解析】(1)因为an+1=,所以=-1+,即-=-1,所以是首项为-2,公差为-1的等差数列,=-2+(n-1)(-1)=-(n+1),所以an=.(2)bn=-1=,令Cn=B3n-Bn=+,所以Cn+1-Cn=+-=-+=-+-=0,所以Cn+1-Cn0,Cn为单调递增数列,又因为n2,所以(B3n-Bn)min=B6-B2=+=,m19.又因为mN*,所以m的最大值为18.