2021_2021学年高中数学第四章复数4.1.1定积分的背景_面积和路程问题课时素养评价含解析北师大版选修2_.doc

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1、课时素养评价十七定积分的背景面积和路程问题(20分钟50分)一、选择题(每小题5分，共20分)1.把区间2，6n等分，所得n个小区间的长度均为()A.B.C.D.【解析】选D.区间2，6的长度为4，n等分后每个小区间的长度均为.2.当n的值很大时，函数f(x)=x2在区间上的值可以用下列函数值近似代替的是()A.fB.fC.fD.f(0)【解析】选C.区间上的任意一个函数值都可近似代替这个区间对应的函数值.3.对于汽车以v=v(t)在0，t内做直线运动经过的路程s，下列叙述正确的是()A.将0，tn等分，若以每个小区间左端点的速度近似替代时，求得的值是s的不足估计值B.将0，tn等分，若以每个

2、小区间右端点的速度近似替代时，求得的值是s的不足估计值C.将0，tn等分，n越大，求出的值近似替代s的精确度越高D.将0，tn等分，当n越大时，求出的值就是s的准确值【解析】选C.每个小区间左端点的速度不一定是该区间上速度的最小值，右端点的速度也不一定是该区间上速度的最大值，n越大，所得估计值近似替代准确值的精确度越高.4.已知自由落体运动的速度v=gt，则估计在时间区间0，6内，将时间区间10等分时，物体下落的距离的估计值可以为()A.14gB.15gC.16gD.17g【解析】选D.由其过剩估计值与不足估计值分别为19.8g、16.2g，则估计值应在16.2g，19.8g内.二、填空题(每

3、小题5分，共10分)5.由曲线y=与直线x=1，x=2及x轴所围成的曲边梯形的面积的过剩估计值为_(把区间1，25等分).【解析】把区间1，25等分，以每个小区间的左端点的函数值为小矩形的高，则过剩估计值为0.2=.答案：6.已知弹簧拉长0.02 m，需要98 N的力，则估计把弹簧拉长到0.1 m时所做的功的不足估计值为_，估计误差不超过_.(将弹簧拉长长度10等分)【解析】设拉弹簧所需的力F与弹簧拉长长度x之间的关系式为F=kx，因为98=k0.02，所以k=4 900(N/m)，所以F=4 900x(N)，把弹簧拉长长度的范围0，0.110等分，以每一小范围的左、右端点的力为小矩形的高，得

4、到功的不足估计值s1和过剩估计值S1如下：s1=4900(0+0.01+0.02+0.03+0.04+0.05+0.06+0.07+0.08+0.09)0.01=22.05(J)，S1=4900(0.01+0.02+0.03+0.04+0.05+0.06+0.07+0.08+0.09+0.1)0.01=26.95(J)，估计误差不会超过S1-s1=4.9(J).答案：22.05 J4.9 J三、解答题(每小题10分，共20分)7.物体在力F的作用下从静止开始运动，力F的大小与位移s(m)的关系是：F(s)=3s+1，试估计物体运动5 m的过程中力F所做的功，并写出估计值的误差.(将区间5等分)

5、【解析】将0，55等分，即插入4个分点，则将整个功分成5个小位移段内的功，若用F(1)，F(2)，F(3)，F(4)，F(5)分别近似替代F引起的物体在01 m，12 m，23 m，34 m，45 m段内运动时所受的力的平均大小.则得出功的过剩估计值为W1=(31+1)+(32+1)+(33+1)+(34+1)+(35+1)1=50(J).若用F(0)，F(1)，F(2)，F(3)，F(4)分别近似替代F引起的物体在01 m，12 m，23 m，34 m，45 m段内运动时所受的力的平均大小，则得出功的不足估计值为W2=(30+1)+(31+1)+(32+1)+(33+1)+(34+1)1=3

6、5(J).无论是过剩估计值还是不足估计值，误差都不超过15 J.8.有一辆汽车在笔直的公路上变速行驶，在时刻t的速度为v(t)=3t2+2(单位：km/h)，那么该汽车在0t2(单位：h)这段时间内行驶的路程s(单位：km)是多少？【解析】在时间区间0，2上等间隔地插入n-1个分点，将它分成n个小区间，记第i个小区间为(i=1，2，n)，其长度为t=-=.每个时间段上行驶的路程记为si(i=1，2，n)，则显然有s=si，取i=(i=1，2，n).于是sivt=，sn=si=+4=8+4.从而得到s的近似值：ssn.s=sn=8+4=12.所以这段时间内行驶的路程为12 km.(15分钟30分

7、)1.(5分)在求由直线x=a，x=b(ab)及曲线y=f(x)(f(x)0)围成的曲边梯形的面积S时，在区间a，b上等间隔地插入(n-1)个分点，分别过这些分点作x轴的垂线，把曲边梯形分成n个小曲边梯形的过程中，下列说法正确的是()A.n个小曲边梯形的面积和等于SB.n个小曲边梯形的面积和小于SC.n个小曲边梯形的面积和大于SD.n个小曲边梯形的面积与S之间的大小关系无法确定【解析】选A.由题意可知A正确.2.(5分)已知甲、乙两车由同一起点同时出发，并沿同一路线(假定为直线)行驶.甲车、乙车的速度曲线分别为v甲和v乙(如图所示).那么对于图中给定的t0和t1，下列判断中一定正确的是()A.

8、在t1时刻，甲车在乙车前面B.t1时刻后，甲车在乙车后面C.在t0时刻，两车的位置相同D.t0时刻后，乙车在甲车前面【解析】选A.由图可知，曲线v甲，直线t=t0和t轴所围成图形的面积大于曲线v乙，直线t=t0和t轴所围成图形的面积，则在t0时刻，甲车在乙车前面，故C，D错误；同理，在t1时刻，甲车在乙车前面，故A正确；t1时刻后，甲车会领先乙车一小段时间，但从两曲线的趋势可知某时刻乙车会超过甲车，故B错误.3.(5分)汽车以10米/秒的速度行驶，在某处需要减速停车，设汽车以加速度-2米/秒2刹车，若把刹车时间5等分，则从开始刹车到停车，汽车刹车距离的过剩估计值为_.【解析】由题意知v(t)=

9、v0+at=10-2t，令v(t)=0得t=5，即t=5时，汽车将停车.将区间0，55等分，用每个小区间的左端点的函数值近似代替每个小区间上的平均速度，可得汽车刹车距离的过剩估计值为S=10+(10-21)+(10-22)+(10-23)+(10-24)1=30(米).答案：30米4.(5分)已知某物体运动的速度为v=t，t0，10，若把区间10等分，则物体运动路程的过剩估计值为_.【解析】取每个小区间右端点处的函数值为近似小矩形的高，因为把区间0，1010等分后，每个小区间右端点处的函数值为n(n=1，2，10)，每个小区间的长度为1.所以物体运动路程的过剩估计值为S=1(1+2+10)=5

10、5.答案：555.(10分)求由曲线f(x)=2x，直线x=1，直线x=0及x轴所围成的平面图形的面积S时，将区间5等分，求过剩估计值.【解析】(1)分割：将区间0，15等分，即插入4个分点，在每个分点处作与y轴平行的直线段，将整个曲边梯形分成5个小曲边梯形.(2)近似替代：用f(0.2)，f(0.4)，f(0.6)，f(0.8)，f(1)分别表示这5个小曲边梯形的高，分别得到每个小曲边梯形的面积f(0.2)0.2，f(0.4)0.2，f(0.6)0.2，f(0.8)0.2，f(1)0.2.(3)求和：由上述方法得曲边梯形面积的过剩估计值为S1=(20.2+20.4+20.6+20.8+21)

11、0.21.55.1.一辆汽车的司机猛踩刹车，汽车滑行5 s后停下，在这一过程中，汽车的速度v(单位：m/s)是时间t的函数：v(t)=t2-10t+25(0t5).将滑行时间5 s平均分成5份，汽车在刹车过程中滑行距离的过剩估计值为_，不足估计值为_.【解析】分别用v(0)，v(1)，v(2)，v(3)，v(4)近似替代汽车在01 s，12 s，23 s，34 s，45 s内的平均速度，求出滑行距离s1：s1=v(0)+v(1)+v(2)+v(3)+v(4)1=55(m)，由于v是下降的，所以显然s1大于s，我们称它为汽车在5 s内滑行距离的过剩估计值.如果用v(1)，v(2)，v(3)，v(

12、4)，v(5)分别近似替代汽车在01 s，12 s，23 s，34 s，45 s内的平均速度，求出汽车在5 s内滑行距离的不足估计值s1：s1=v(1)+v(2)+v(3)+v(4)+v(5)1=30(m).答案：55 m30 m2.一辆汽车的速度-时间图像如图所示，求此汽车在这1 min内行驶的路程.【解题指南】根据变速运动物体路程的估计方法，本题所求的路程应为图像与x轴围成的图形的面积.【解析】由速度时间图像易知v(t)=当t0，10时，s1=SOAE=1030=150(m)，当t(10，40时，s2=S长方形ABDE=(40-10)30=900(m)，当t(40，60时，s3=SBDC=2030=300(m)，故S=s1+s2+s3=1 350(m).此汽车在这1 min内行驶的路程是1 350 m.