2002年全国高中数学联赛试题及解答.doc

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1、2002年全国高中数学联赛试题及解答 一、选择题（本题满分36分，每小题6分） 1设全集是实数集，若0，10，则是（ ） 2 1 2 2设0，0，且，则的取值范围是（ ） （26，23）， （236，233）， （256，2）， （24，23）（256，2）， 3已知点A为双曲线221的左顶点，点B和点C在双曲线的右分支上，是等边三角形，则的面积是（ ） 3 32 3 6 4给定正数，其中若，是等比数列，是等差数列，则一元二次方程220（ ） 无实根 有两个相等实根 有两个同号相异实根 有两个异号实根 5平面上整点（纵、横坐标都是整数的点）到直线5345的距离中的最小值是（ ） 170 85

2、120 130 6设，则以，3，7，9为根的方程是（ ） 43210432104321043210 二、填空题（本题满分54分，每小题9分） 7（2000）_ 8设是（3）的展开式中项的系数（2，3，4，），则 _ 9等比数列23，43，83的公比是_ 10在椭圆22221（0）中，记左焦点为F，右顶点为A，短轴上方的端点为B若该椭圆的离心率是，则_ 11一个球与正四面体的六条棱都相切，若正四面体的棱长为，则这个球的体积是_ 12如果：（1），都属于1，2，3，4； （2），； （3）是，中的最小值，那么，可以组成的不同的四位数的个数是_ 三、解答题（本题满分60分，每小题20分） 13设12

3、3，求（）的最大值 14若函数（）122132在区间，上的最小值为2，最大值为2，求， 15已知0：221和1：22221（0），那么，当且仅当，满足什么条件时，对1上任意一点P，均存在以P为顶点、与C0外切、与1内接的平行四边形？并证明你的结论 参考答案或提示 一、1；2；3；4；5；6 提示：1易得2，1，2， 则 2由222， 得23/6233（） 又由， 得24254（） （24，23）（256，）（） 3不妨设点在轴上方，则：33，代入221，得（2，） 同理可得（2，）故3 4由2，2，得23，23于是 从而4240，方程无实根 5整点（0，0）到直线53120的距离为250150

4、125因250150是5的倍数，所以250150122，当01、01时等号成立故85即为所求 6由知，2，3，10（1）是1的10个十次方根，则 （）（2）（3）（10）101 又2，4，6，8，10是1的5个五次方根，则 （2）（4）（6）（8）（10）51 后，再两边同除以5（1），得（）（3）（7）（9）4321 二、79；818；913；1090；113；1228 提示：7原式（9）9 8232， 318（） 原式1818 9公比，由等比定理，得 10由，得220 又222，22， 故22322 而2（）232222，故90 11易知球心O为正四面体的中心，O点与棱的中点连线成为球的半

5、径，则，故球的体积为 12按中所含不同数字的个数分三类：（1）恰有2个不同的数字时，组成6个数；（2）恰有3个不同数字时，组成16个数；（3）恰有4个不同数字时，组成6个数故符合要求的四位数共有616624（个） 三、13 ，当且仅当64，即8时，上式等号成立，故（）150 14分三种情况讨论：（1）当0时，（）2，（）2解得，1，3 （2）当0时，（0）2，（）2或（）2解得，2，134 （3）当0时，（）2，（）2无解 综上，1，3或2，134 15所求条件为12121证明如下： 必要性：易知，圆外切平行四边形一定是菱形，圆心即菱形中心 假设结论成立，则对点（，0），有（，0）为顶点的棱形与1内接，与0外切（，0）的相对顶点为（，0），由于菱形的对角线互相垂直平分，另外两个顶点必在轴上，为（0，）和（0，）菱形一条边的方程为1，即由于菱形与0外切，故必有，整理得12121必要性得证 充分性：设12121，P是1上任意一点，过P、O作C1的弦P，再过O作与垂直的弦，则PQRS为与1内接的菱形设1，2，则点P的坐标为（1，1），点的坐标为（2（），2（），代入椭圆方程，得 又在中，设点O到PQ的距离为，则 同理，点到，的距离也为1，故菱形PQRS与0外切充分性得证 说明：今年高中数学联赛第4题由陕西省永寿县中学安振平老师提供，第6题和第10题由西安市西光中学刘康宁老师提供