2021_2022学年高中数学第一章解三角形1.2第3课时三角形中的几何计算课后巩固提升含解析新人教A版必修5.docx

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1、第一章解三角形1.2应用举例第3课时三角形中的几何计算课后篇巩固提升基础巩固1.已知ABC的面积S=,则角C的大小是()A.B.C.D.解析由S=absinC=,得sinC=cosC.又因为C(0,),所以C=.答案A2.某市在“旧城改造”工程中计划在如图所示的一块三角形空地上种植草皮以美化环境.已知这种草皮的价格为a元/m2,则购买这种草皮需要()A.450a元B.225a元C.150a元D.300a元解析由已知可求得草皮的面积为S=2030sin150=150(m2),则购买草皮的费用为150a元.答案C3.在ABC中,a,b,c分别为角A,B,C的对边,若2b=a+c,B=30,ABC的

2、面积为,则b=()A.1+B.C.D.2+解析由acsin30=,得ac=6.由余弦定理,得b2=a2+c2-2accos30=(a+c)2-2ac-ac=4b2-12-6,得b=+1.答案A4.在ABC中,若AC=BC,C=,SABC=sin2A,则SABC=()A.B.C.D.2解析因为AB2=BC2+3BC2-2BCBC=BC2,所以A=C=,所以SABC=sin2A=,故选A.答案A5.已知ABC的面积为,AC=,ABC=,则ABC的周长等于()A.3+B.3C.2+D.解析由已知得ABBCsin,ABBC=2.由余弦定理得,AC2=AB2+BC2-2ABBCcosABC=AB2+BC

3、2-ABBC=(AB+BC)2-3ABBC=(AB+BC)2-6.又AC=,AB+BC=3.AB+BC+AC=3+.答案A6.已知ABC的三边分别为a,b,c,且面积S=,则角C=.解析在ABC中,SABC=,而SABC=absinC,absinC.由余弦定理,得c2=a2+b2-2abcosC,cosC=sinC,C=45.答案457.已知三角形的面积为,其外接圆面积为,则这个三角形的三边之积等于.解析设三角形的外接圆半径为R,则由R2=,得R=1.由S=absinC=,故abc=1.答案18.在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,求证:=c.证明由余弦定理的推论,得cosB=,

4、cosA=,代入等式右边,得右边=c=左边,故原式得证.9.如图,在ABC中,BC=5,AC=4,cosCAD=,且AD=BD,求ABC的面积.解设CD=x,则AD=BD=5-x.在CAD中,由余弦定理,得cosCAD=,解得x=1.CD=1,AD=BD=4.在CAD中,由正弦定理,得,则sinC=4.SABC=ACBCsinC=45,故ABC的面积为.10.若ABC的三边长分别为a,b,c,面积为S,且S=c2-(a-b)2,a+b=2,求面积S的最大值.解S=c2-(a-b)2=c2-a2-b2+2ab=2ab-(a2+b2-c2).由余弦定理,得a2+b2-c2=2abcosC,c2-(

5、a-b)2=2ab(1-cosC),即S=2ab(1-cosC).S=absinC,sinC=4(1-cosC).又sin2C+cos2C=1,17cos2C-32cosC+15=0,解得cosC=或cosC=1(舍去).sinC=,S=absinC=a(2-a)=-(a-1)2+.a+b=2,0aC,C为锐角,且cosC=.由c2=a2+b2-2abcosC,得b2-11b+24=0,解得b=3或b=8.当b=8时,角B是钝角,cosB=0,b=8舍去.同理验证可知b=3符合条件.SABC=absinC=73.答案C2.设ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且3acos C=4c

6、sin A,若ABC的面积S=10,b=4,则a的值为()A.B.C.D.解析由3acosC=4csinA,得.又由正弦定理,得,tanC=,sinC=.又S=bcsinA=10,b=4,csinA=5.根据正弦定理,得a=,故选B.答案B3.在ABC中,AC=,BC=2,B=60,则BC边上的高等于()A.B.C.D.解析设AB=c,由余弦定理,得AC2=AB2+BC2-2ABBCcosB,即7=c2+4-22c,即c2-2c-3=0,所以c=3或c=-1(负值舍去).设BC边上的高等于h,由三角形面积公式SABC=ABBCsinB=BCh,即32sin60=2h,解得h=.故选B.答案B4

7、.在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知ABC的面积为3,b-c=2,cos A=-,则a的值为.解析SABC=bcsinA=bcbc=3,bc=24.又b-c=2,a2=b2+c2-2bccosA=(b-c)2+2bc-2bc=4+224+24=64.a为ABC的边,a=8.答案85.如图,四边形ABCD中,B=C=120,AB=4,BC=CD=2.则该四边形的面积等于.解析连接BD(图略),在BCD中,由余弦定理得BD2=22+22-222cos120=12,则BD=2.BC=CD=2,C=120,CBD=30,ABD=90.S四边形ABCD=SABD+SBCD=42si

8、n90+22sin120=5.答案56.如图所示,已知圆内接四边形ABCD 的边长分别为AB=2,BC=6,CD=DA=4,求四边形ABCD的面积.解连接BD,则四边形ABCD的面积S=SABD+SCDB=ABADsinA+BCCDsinC.A+C=180,sinA=sinC,S=(ABAD+BCCD)sinA=(24+64)sinA=16sinA.在ABD中,由余弦定理,得BD2=AB2+AD2-2ABADcosA=22+42-224cosA=20-16cosA.在CDB中,由余弦定理,得BD2=CB2+CD2-2CBCDcosC=62+42-264cosC=52-48cosC.20-16c

9、osA=52-48cosC.cosC=-cosA,64cosA=-32,cosA=-.又A(0,180),A=120,S=16sin120=8.7.已知ABC的外接圆半径为R,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足2R(sin2A-sin2C)=(a-b)sin B,求ABC面积的最大值.解由正弦定理,得a2-c2=(a-b)b,即a2+b2-c2=ab.由余弦定理的推论,得cosC=.C(0,),C=.S=absinC=2RsinA2RsinB=R2sinAsinB=R2sinA=R2(sinAcosA+sin2A)=R2sin2A+=R2.A.2A-,sin,S,ABC面积的最大值为R2.4