直线与椭圆的位置关系公开课(详案).docx

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1、 直线与椭圆的位置关系高三级：罗怀军一、教学目标：1、掌握判断直线与椭圆位置关系的方法，体会曲线方程的解与曲线上点的坐标之间的关系；2、领会中点坐标公式和弦长公式及韦达定理在解题中的灵活应用；3、理解“点差法”在解决直线与圆锥曲线位置关系中的解题技巧；4、培养学生运用方程思想、分类讨论、数形结合思想解决问题的能力，激发提出问题和解决问题的勇气。二、重点难点：重点：直线与圆锥曲线的位置关系的判定及方程思想、分类讨论思想、数形结合思想运用；难点：等价转换、“点差法”设而不求在解题中的灵活应用。三、教学方法导学讨论式，多媒体课件辅助教学.四、教学过程（一）设置情境 导入新课直线与圆锥曲线联系在一起的

2、综合问题在高考中多以中、高档题出现，主要涉及位置关系的判定、弦长问题、对称问题、最值问题、轨迹问题、定点定值问题等。突出考察了数形结合、分类讨论、函数与方程、等价转化等数学思想方法。其中，直线与椭圆的位置关系又是重中之重。本节内容是直线与圆锥曲线的位置关系的第一节课，着重是教会学生如何判断直线与椭圆的位置关系，体会运用方程思想、数形结合、分类讨论、类比归纳等数学思想方法，优化学生的解题思维，提高学生解题能力。这为后面解决直线与圆锥曲线的综合问题打下良好的基础。所以是承上启下的一节课。（二）探索研究问题 1：前面我们预习了圆锥曲线，其中椭圆是最基础的，那么直线与椭圆有哪些位置关系呢？师生合作交流

3、：相离没有公共点。结论： 相交有两个公共点；相切有一个公共点；问题 2：如何具体判定直线与椭圆的三种位置关系？有什么样的方法？请大家完成学案第一题。x y22+ =1的位置关系是( A )= kx - k +1题 1：直线 y与椭圆9 4A.相交B.相切C.相离D.不确定师生合作探讨：方法总结：代数法（方程思想）联立方程组，消元，得到一个一元二次方程，直线： + + = 0ax by c即Ax2 + Bx + C = 0 (或 2 + + = 0)A y B y C曲线：f (x, y) = 0D 0 ，方程有两个不等的实数根 有两个公共点D = 0 ，方程有两个相等的实数根 有一个公共点相交

4、；相切； D 0 ，方程没有实数根 没有公共点相离。：几何法（数形结合思想）x y22+ =1恒有公共点，则m 的取值范围是（ Cy = kx +1变式应用：直线与椭圆（或圆）9 mA.(0,k)(0,91,+)1,9D.B.C.学生先训练、讨论后个别展示，教师总结：x y22+ =1A B,问题 3：（学案第 3题）已知斜率为 2的直线经过椭圆的右焦点 F ,与椭圆交于两点，5 42求弦 AB 的长。分析：利用弦长公式：充分利用“韦达定理”，体会解析几何中“设而不求，整体代换”的思想。AB = 1+ k x - x = 1+ k (x + x ) - 4x x22212121 2xy22+=

5、 1内一点 M(2，1)作椭圆的弦，点 M恰为该弦的中点，求该弦所在直线 l 的问题 4：过椭圆16 4y方程。师生合作探讨：lAMx方法一：（常规法）O设 l：y-1=k(x-2)交椭圆于点 A(x，y)、B(x，y)，B1122将直线方程代入椭圆方程化为 x-8(2k -k)x+4(2k-1)-16=0.22则由韦达定理得，故所求直线方程为 x+2y-4=0.结论：这个方法是最基本、最常规、最通用，也是最重要的方法，必须熟练掌握.韦达定理在这里发挥出很大的作用，以后我们还可以发现它的更大的作用.知识就是要做到前后连贯，并组成一个有机的整体.方法二：（点差法）同上所设，因为点 A、B都在椭圆

6、上，则得x + 4y = 162121x + 4y = 162222经观察知这两个式子除了字母的下标不同外，其余都相同，将两式相减，看能得到什么结果：(x+x) (x-x)+4(y+y) (y-y)=012121212可以知道式中的 x+ x=4，y+y=2，那么得 4 (x-x)+8 (y-y)=0.12121212根据上式能得到什么呢？得到直线 l的斜率，则.、两式被称为同构式，就是除了字母的下标不同外，其余的结构都相同.第一次用同构式来解题，觉得非常新颖和奇妙，甚至觉得不可思议，怎么想起来的呢？这是探索尝试的结果.可是当你掌握了这个方法，并熟练地解决了几道题后，你就会觉得不新鲜了.许多技

7、能技巧都是这样，一个生，二回熟，熟能生巧嘛！ 方法三：（公共弦的思想）设 A(x，y)，则得 x+4y=16又 M(2，1)是 AB的中点，所以 B(4-x，2-y)，又点 B也在椭圆上，则得 (4-x) +4(2-y) =162222、两式当然不是同构式，怎么办？回顾在研究求相交两圆的公共弦所在直线方程时，用过什么方法，那么在这里能不能用呢？大胆尝试！-化得没有想到在圆中曾用过的技巧在这里又发挥了它的威力。方法四：（特殊法）椭圆的上顶点和右顶点分别是(0，2)、(4，0)，M(2，1)恰为连结这两点的线段的中点，故所求直线即为连结这两点的直线由巧妙的发现得到巧妙的解法.虽然这里有一定的偶然性

8、，但这是一种机遇，解数学题时若发现和利用题中的某些隐含条件，充分题目给的机遇，可使解答大大简捷.不过，这到底不是一种通用的常规解法.（三）课堂练习：见学案 2、3.（四）提炼总结：（学生总结，教师补充）1、直线和椭圆的位置关系及判定方法（两种方法）；2、与弦长有关的知识：弦长公式及中点弦问题（点差法）；3、“数”与“形”之间的互相转换思想；4、做到“细”字当头。（五）作业布置：书面作业：见学案 7、8题。预习：直线与双曲线、抛物线的位置关系（类比“直线与椭圆的位置关系”）（六）板书设计直线与椭圆的位置关系三、例题解析问题 1 问题 2 问题 3 2判定方法：2韦达定理的应用D 0 ，方程没有实

9、数根 没有公共点相离。：几何法（数形结合思想）x y22+ =1恒有公共点，则m 的取值范围是（ Cy = kx +1变式应用：直线与椭圆（或圆）9 mA.(0,k)(0,91,+)1,9D.B.C.学生先训练、讨论后个别展示，教师总结：x y22+ =1A B,问题 3：（学案第 3题）已知斜率为 2的直线经过椭圆的右焦点 F ,与椭圆交于两点，5 42求弦 AB 的长。分析：利用弦长公式：充分利用“韦达定理”，体会解析几何中“设而不求，整体代换”的思想。AB = 1+ k x - x = 1+ k (x + x ) - 4x x22212121 2xy22+= 1内一点 M(2，1)作椭圆

10、的弦，点 M恰为该弦的中点，求该弦所在直线 l 的问题 4：过椭圆16 4y方程。师生合作探讨：lAMx方法一：（常规法）O设 l：y-1=k(x-2)交椭圆于点 A(x，y)、B(x，y)，B1122将直线方程代入椭圆方程化为 x-8(2k -k)x+4(2k-1)-16=0.22则由韦达定理得，故所求直线方程为 x+2y-4=0.结论：这个方法是最基本、最常规、最通用，也是最重要的方法，必须熟练掌握.韦达定理在这里发挥出很大的作用，以后我们还可以发现它的更大的作用.知识就是要做到前后连贯，并组成一个有机的整体.方法二：（点差法）同上所设，因为点 A、B都在椭圆上，则得x + 4y = 16

11、2121x + 4y = 162222经观察知这两个式子除了字母的下标不同外，其余都相同，将两式相减，看能得到什么结果：(x+x) (x-x)+4(y+y) (y-y)=012121212可以知道式中的 x+ x=4，y+y=2，那么得 4 (x-x)+8 (y-y)=0.12121212根据上式能得到什么呢？得到直线 l的斜率，则.、两式被称为同构式，就是除了字母的下标不同外，其余的结构都相同.第一次用同构式来解题，觉得非常新颖和奇妙，甚至觉得不可思议，怎么想起来的呢？这是探索尝试的结果.可是当你掌握了这个方法，并熟练地解决了几道题后，你就会觉得不新鲜了.许多技能技巧都是这样，一个生，二回熟

12、，熟能生巧嘛！ 方法三：（公共弦的思想）设 A(x，y)，则得 x+4y=16又 M(2，1)是 AB的中点，所以 B(4-x，2-y)，又点 B也在椭圆上，则得 (4-x) +4(2-y) =162222、两式当然不是同构式，怎么办？回顾在研究求相交两圆的公共弦所在直线方程时，用过什么方法，那么在这里能不能用呢？大胆尝试！-化得没有想到在圆中曾用过的技巧在这里又发挥了它的威力。方法四：（特殊法）椭圆的上顶点和右顶点分别是(0，2)、(4，0)，M(2，1)恰为连结这两点的线段的中点，故所求直线即为连结这两点的直线由巧妙的发现得到巧妙的解法.虽然这里有一定的偶然性，但这是一种机遇，解数学题时若发现和利用题中的某些隐含条件，充分题目给的机遇，可使解答大大简捷.不过，这到底不是一种通用的常规解法.（三）课堂练习：见学案 2、3.（四）提炼总结：（学生总结，教师补充）1、直线和椭圆的位置关系及判定方法（两种方法）；2、与弦长有关的知识：弦长公式及中点弦问题（点差法）；3、“数”与“形”之间的互相转换思想；4、做到“细”字当头。（五）作业布置：书面作业：见学案 7、8题。预习：直线与双曲线、抛物线的位置关系（类比“直线与椭圆的位置关系”）（六）板书设计直线与椭圆的位置关系三、例题解析问题 1 问题 2 问题 3 2判定方法：2韦达定理的应用