八年级数学全等三角形与动点问题.doc

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1、一、解题思路1、利用图形想到三角形全等，相似及三角函数；2、分析题目，了解有几个动点，动点的路程，速度（动点怎么动）；3、结合图形和题目，得出已知或能间接求出的数据；4、分情况讨论，把每种可能情况列出来，不要漏；5、动点一般在中考都是压轴题，步骤不重要，重要的是思路；6、动点类题目一般都有好几问，前一问大都是后一问的提示，就像几何探究类题一样，如果后面的题难了，可以反过去看看前面问题的结论。二、三角形全等之动点问题（题型讲解）例题1、如图，AB=18 cm，动点 P 从点 A 出发，沿 AB 以2 cm/s 的速度向点 B 运动，动点 Q 从点 B 出发，沿 BA 以1 cm/s 的速度向点

2、A 运动。P，Q 两点同时出发，当点 P 到达点 B 时，点 P，Q 同时停止运动。设点 P 运动的时间为 t 秒，请回答下列问题：（1）AP=2t ，QB=t （含t的式子表达）；（2）在 P，Q 相遇之前，若 P，Q 两点相距 6 cm，则此时 t 的值为 4s 。例题1图知识点总结：由点 速度已知 的运动产生的几何问题称为 动点 问题，这类问题的解决方法如下：1、 研究 背景图形 ，标注；2、分析 运动过程 ，分段；3、表达 线段长度 ，建立等式 。例题2、如图，在矩形 ABCD 中，AB=4，AD=10，点 E 为边 AD 上一点，且 AE=7。动点 P 从点 B 出发，以每秒 2 个

3、单位的速度沿 BC 向点 C 运动，连接 AP，DP。设点 P 运动时间为 t 秒。（1）当 t=1.5 时，ABP 与 CDE 是否全等？请说明理由；（2）当 t 为何值时，DCP CDE 。例题2图解：（1）当 t=1.5 时，ABP CDE；理由如下：如图，由题意得 BP=2t当 t=1.5 时，BP=3AE=7，AD=10 DE=3 BP=DE在矩形ABCD中 AB=CD，B=CDE在 ABP 和 CDE 中 AB=CD，B=CDE ， BP=DE ABP CDE（SAS）（2）如图，由题意得 BP=2tBC=10 CP=10 - 2t若使DCPCDE，则需CP=DE即10-2t=3，

4、t=3.5 当 t=3.5 时，DCP CDE 。例题3、如图，在等腰 RtABC中，ACB=90，AC=CB，F 是 AB 边上的中点，点 D、E 分别在 AC、BC 边上运动，且始终保持AD=CE。连接 DE、DF、EF。（1）求证：ADF CEF ；（2）试证明 DFE 是等腰直角三角形 。例题3图证明：（1） 在 RtABC 中，ACB=90，AC=CB ，F 是 AB 边上的中点 CF AB , CF 平分 ACB （等腰三角形中角平分线、中线、高 三线合一） AF=CF , A=FCB=45在 ADF 和 CEF 中 AF=CF , A=FCB=45 ， AD=CE ADF CEF

5、 （SAS）（2）由（1）知 ADF CEF 得 DF=EF ，AFD=CFE AFD + DFC=AFC=90 CFE + DFC=DFE=90 DFE是等腰直角三角形例题4、如图，在梯形 ABCD 中，ADBC，ABC=90，AD=12，BC=24，动点 P 从点 A 出发以每秒1个单位的速度沿 AD 向点 D运动，动点 Q 从点 C 出发以每秒 2 个单位的速度沿 CB 向点 B 运动，P，Q 同时出发，当点 P 停止运动时，点 Q 也随之停止，连接PQ，DQ 。设点 P 运动时间为 t 秒，试求当 t 为何值时，PDQ CQD 。例题4图解：如图，由题意得 AP=t，CQ=2t AD=

6、12 DP=12 - t要使 PDQ CQD，则需 DP=QC即12 - t=2t ，t=4 当 t=4 时，PDQ CQD （SAS）例题5、如图，在ABC中，AB=AC=10 cm，BC=8 cm，点 D 为 AB 的中点，动点 P 在线段 BC上以每秒 3 cm 的速度由点 B 向点 C运动，同时动点 Q 在线段 CA 上由点 C 向点 A 运动。设点 P 运动时间为 t 秒，当 t 为何值时 BPD CQP ，试求此时 t 的值及动点 Q 的运动速度 。例题5图解：如图，由题意得 BP=3t BC=8 PC=8 - 3t AB=10，D 为 AB 中点BD=1/2 AB=5 要使 BD

7、P CPQ ，则需 BD=CP，BP=CQ即 5=8 - 3t，t=1 CQ=3t=3则 Q 的速度为 SQ=S / t=3 / 1=3 （cm/s）即当 t=1，Q 的速度为每秒 3 cm 时，BDP CPQ 。 要使 BDP CQP，则需 BP=CP，BD=CQ即 3t=8 - 3t，CQ=5 t=4/3则 Q 的速度为 SQ=S / t=5 3/4=15/4 （cm/s）即当 t=15/4 （cm/s），Q的速度为每秒 15/4 cm时，BDP CQP。综上所述，当 t=1时，Q的速度为每秒3cm 或 t=4/3 时 ，Q的速度为每秒 15/4 cm时，BPD CQP 。例题6（单动点问

8、题）、如图，在矩形 ABCD 中，AB=DC=4，AD=BC=5。延长BC到 E，使 CE=2，连接DE。动点 P从点 B 出发，以每秒2个单位的速度沿 BC-CD-DA 向终点 A 运动，设点 P 运动时间为 t 秒。（1）请用含 t 的式子表达 ABP 的面积 S；（2）是否存在某个 t 值，使得DCP和DCE全等？若存在，请求出所有满足条件的t值；若不存在，请说明理由。例题6图解：（1） 当动点 P 在 BC上时，如图，由题意得BP=2t（0 t 2.5） SABP=1/2 AB ? BP=1/2 4 2t=4t ； 当动点 P 在CD上时，（2.5 t 4.5） SABP=1/2 AB

9、 ? BC=1/2 4 5=10 ； 当动点 P 在 AD上时，由题意得AP=14-2t（4.5 t 7） SABP=1/2 AB ? AP=1/2 4 （14-2t）=28 - 4t 。（2） 当动点 P 在 BC上时，如图，由题意得BP=2t要使DCPDCE，则需CP=CE CE=2 5 - 2t=2，t=1.5即当 t=1.5时，DCP DCE 当动点 P 在 CD 上时，不存在 t 使 DCP 和 DCE 全等 当动点 P 在 AD 上时，由题意得 BC + CD + DP=2t BC=5，CD=4，DP=2t - 9要使DCPCDE，则需DP=CE即2t-9=2，t=5.5 即当 t

10、=5.5 时，DCP CDE。综上所述，当 t=1.5 或 t=5.5 时，DCP 和 DCE全等。例题7（双动点问题）、如图，在矩形 ABCD 中，AB=CD=3 cm，AD=BC=5 cm，动点 P 从点 B 出发，以每秒1 cm的速度沿 BC 方向向点 C 运动，动点 Q 从点 C 出发，以每秒2 cm的速度沿 CD-DA-AB 向点 B 运动，P，Q 同时出发，当点 P 停止运动时，点 Q 也随之停止，设点 P 运动时间为 t 秒。请回答下列问题：（1）请用含 t 的式子表达CPQ 的面积 S，并直接写出 t 的取值范围；（2）是否存在某个t 值，使得ABP和CDQ全等？若存在，请求出

11、所有满足条件的t值；若不存在，请说明理由。例题7图解：（1） 当动点 Q 在 CD上时，如图，由题意得 CQ=2t，BP=t CP=5 - t（0 t 1.5） SCPQ=1/2 CP ? CQ=1/2 （5 - t）? 2t=5t - t2 ； 当动点 Q 在 DA上时，（1.5 t 4） SCPQ=1/2 CP ? CD=1/2 （5 - t） 3=7.5 - 1.5t ； 当动点 Q 在AB上时，由题意得 BQ=11-2t（4 t 5） SCPQ=1/2 CP ? BQ=1/2 （5 - t） （11 - 2t）=t2 - 21t / 2 + 55/2 。（2） 当动点 Q 在 CD上时，不存在 t 使ABP和CDQ全等 当动点 Q 在 AD上时，由题意得 DQ=2t-3 要使 ABP CDQ，则需 BP=DQ DQ=2t-3，BP=t t=2t - 3，t=3即当 t=3 时，ABP CDQ 。 当动点 Q 在 AB上时，不存在 t 使ABP和CDQ全等综上所述，当 t=3 时，ABP 和 CDQ 全等。from sign 20211029113834