广东省惠州市2020届高三第三次调研考试理科数学试题(含答案).docx

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1、 惠州市 2020 届高三第三次调研考试理科数学2020.1全卷满分 150 分，时间 120 分钟注意事项：1答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座位号、学校、班级等考生信息填写在答题卡上。2作答选择题时，选出每个小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案信息点涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，写在本试卷上无效。3非选择题必须用黑色字迹签字笔作答，答案必须写在答题卡各题指定的位置上，写在本试卷上无效。一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。 U = R A = x | 2x 1Bx x 1Cx x

2、0Dx x 0231iz = +i ，则 z 在复平面内对应的点在第( )象限2设 为虚数单位，复数2 2A一B二C三D四11 2020 13已知a = log，b =，c = 2020，则( ) 2020 Ac a ba c bCb a ca b 0，b 0) 的离心率e 2，左、右焦点分别为1 a2b122( )FC : y = 2px p 0C C其中 也是抛物线2的焦点， 与 在第一象限的公共点为2221数学试题（理科）第 3 页，共 21 页 3PF斜率为 ，则双曲线离心率 的值是_eP 若直线14三、解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。第1721题为必考题，每

3、个考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。17（本小题满分 12 分）ABCD 中，ABC =ADC =BC = 2在平面四边形，32A3 3（1）若ABC的面积为，求AC；2DAD = 2 3 ACB = ACD +，（2）若，3Btan ACD求C18 （本小题满分 12 分）如图，等腰梯形 ABCD 中，E 为 CD 中点，以 AE 为折痕把（1）证明：折起，使点 D 到达点 P 的位置平面；p（2）若直线 PB 与平面 ABCE 所成的角为 ，求二面角的余弦值419.（本小题满分 12 分）为发挥体育核心素养的独特育人价值，越来越多的中学将某些

4、体育项目纳入到学生的数学试题（理科）第 4 页，共 21 页 必修课程。惠州市某中学计划在高一年级开设游泳课程，为了解学生对游泳的兴趣，某数学研究学习小组随机从该校高一年级学生中抽取了100 人进行调查。（1）已知在被抽取的学生中高一 班学生有 6 名，其中 3 名对游泳感兴趣，现在从这 6 名学生中随机抽取 3 人，求至少有 2 人对游泳感兴趣的概率；（2）该研究性学习小组在调查中发现，对游泳感兴趣的学生中有部分曾在市级或市级以上游泳比赛中获奖，具体获奖人数如下表所示。若从高一 班和高一 班获奖学生中随机各抽取 2 人进行跟踪调查，记选中的 4 人中市级以上游泳比赛获奖的人数为 ，求随机变量

5、 的分布列及数学期望。班级一一一一一一一一一一市级22334433422比赛获奖人数市级以上221023321比赛获奖人数20（本小题满分 12 分）x2在平面直角坐标系xOy 中，已知过点的直线 与椭圆C : + y =12交于不同l4的两点，其中.（1）若，求的面积；（2）在 轴上是否存在定点 ，使得直线 、 与 轴围成的三角形始终为等腰xTTA TBy三角形。21（本题满分 12 分）( )= e -ax 0，设函数 f xax已知实数a( )f x的单调区间；（1）求函数数学试题（理科）第 5 页，共 21 页 ( )12a-1,+)( )f x x2 +1（2）当a时，若对任意的 x

6、，均有，2求 a 的取值范围。注：e = 2.71828为自然对数的底数。（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。答题时请写清题号并将相应信息点涂黑。22（本小题满分 10 分）选修 44：坐标系与参数方程x在平面直角坐标系 xOy 中，以坐标原点O为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标( )r 2cosqr ,j=A系，曲线 M 的极坐标方程为，若极坐标系内异于O的三点，1pp()r ,jr ,jr , r , r 0B+C-， 都在曲线上M66231233r = r + r（1）求证：；1233x = 2 -t2（2）若过 B，C两点的直

7、线参数方程为（ 为参数），t1y = t2求四边形OBAC 的面积23（本小题满分 10 分）选修 45：不等式选讲( )f x = x + 2 + x - 4已知函数( )f x 3x（1）求不等式的解集；( )f x k x-1 对任意 xR（2）若恒成立，求k 的取值范围数学试题（理科）第 6 页，共 21 页 惠州市 2020 届高三第三次调研考试理科数学参考答案及评分细则一、选择题题号答案12345678910D11B12CDBDACADDA=x x 01.【解析】 =x 2 1 = x x 0 C A，故选 D.AxU13132.【解析】ii ，所以 对应的点在第二象限，故选 B.

8、z =（ +2 2）= - +z22 21 20201 ( )1= log 13.【解析】 a， b， c，所以 2020 2020a b 0,=sin xf9.【解析】故选 A.是偶函数，排除 C、D，又1+ e+1exx数学试题（理科）第 7 页，共 21 页 1 0【. 解析】如图： 面， 面， 面，可 知，因为是正三角形，m、n所成角为 60则 、 所成角的正弦值为 故选 m n D11.【解析】设直线 AB 的方程为：，点,，直线由与 轴的交点为x，AB，根据韦达定理有，,，结合及，得， 点 A、B 位于 x 轴的两侧，,又，故不妨令点 在 轴上方，则A x,当且仅当，即时，取“ ”

9、号，与面积之和的最小值是 3故选 B12.【解析】区间中点为，根据正弦曲线的对称性知, 正确。若，则，即，不妨取，此时，满足条件，但为上的最大值，不满足条件，故 错误。不妨令，故 正确。的长度恰好为 673 个周期，当，两式相减得,即函数的周期区间时，即，故 错误。时，在开区间上零点个数至少为故正确的是 ，故选 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，其中第15题第一空2分，第二空3分。C4 716、13、614、 315、1（2 分 ）；121（3 分）数学试题（理科）第 8 页，共 21 页 = 2,2 20; n = 4,2 20.13.【解析】n故答案为 6.246= 0a =

10、1014. 【 解 析 】 令 x， 得， 令， 则 所 以a + a + + a = -3.12815.【解析】由即有时，可 得；由，又，即，解得，可得，由，可得，p16.【解析】因为 是双曲线的右焦点且是抛物线的焦点，所以 = ，F2c2= 2c解得 p，所以抛物线的方程为： =4cx；y234由= tan = ，cos = ，kPF F1PF F145PF122P(x y )如图过 P 作抛物线准线的垂线，垂足为M ，设，00PM5pPF = (x + c)则PM PF x= + = + ，x ccosMPF 421020015- PF = 2a由 PF，可得 (x + c) - (x

11、+ c) = a 2 x = 8a - c412000= x + c = 8a PF = PF + 2a =10a F F = 2c在 PF F 中， PF1，220121 2由余弦定理得=+- 2PF F Fcos PF FPF2PF2F F12212112124(8a) = (10a) + (2c) - 210a 2c 5- 40e+ 45 = 0即222，化简得 e25 2e = 4 7 ，又ee = 4 + 7，4+ 7故答案为三、解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。第1721题为必考题，每个考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。17（本小题满

12、分 12 分）DABCBC = 2，ABC =【解析】（1）在中，因为，313 3S= AB BC sinABC =，1 分22DABC数学试题（理科）第 9 页，共 21 页 33 32所以在，解得 AB= 32 分AB=2DABC+A 2 B中，由余弦定理得以A2=C22- Bc Co ，s 4A分 B 7 =B 0所CAB因为AC，AC = 7 5分（2）设ACD =aa，则 ACB = ACD+ = + 6 分33AD 2 3RtDACD= 2 3=在在中，因为 AD，所以 AC 7sina sina分分DABCaBAC = - ACB - ABC = -中， 8322 3BCAC=由

13、正弦定理得，即，9 分sin BAC sin ABC3sin( -a)sina32p312( cosa - sina) = sina2 sin( - =a ) sina所以，所以， 10322分3 cosa = 2sin a即， 11分33tan =tan ACD =a所以，即 1222分数学试题（理科）第 10 页，共 21 页 18.（本小题满分 12 分）【解析】（1）证明：连接 BD，设 AE 的中点为 O，四 边 形 ABCE 为 平 行 四 边 形 ，1 分为等边三角形平面 POB，2 分又，平面 POB 3 分【注】无写出此步骤不得分。平面 POB 4分平面 POB， 5 分又（

14、2）【解法一】向量法在平面 POB 内作平面 ABCE，垂足为 Q，则 Q 在直线 OB 上，又平面 ABCE, 6 分直线 PB 与平面 ABCE 夹角为，、Q 两点重合，即【注】无证明此得分点不给分。以 O 为原点，OE 为 x 轴，OB 为 y 轴，OP 为 z 轴，建立如图空间直角坐标系，0, ，0, ，0,，7则分设 平 面 PCE 的 一 个 法 向 量 为, 8 分y,， 则， 即令又分，得9分平面 PAE，1, 为平面 PAE 的一个法向量 10设二面角分为 ，则11数学试题（理科）第 11 页，共 21 页 易知二面角为钝角，所以二面角的余弦值为12分【解法二】几何法在平面

15、POB 内作直线 PB 与平面 ABCE 夹角为、Q 两点重合，即 平面 ABCE，6 分【注】无证明此得分点不给分。平面 ABCE，垂足为 Q，则 Q 在直线 OB 上，又，过点 C 作 CHAE 交于点 H，连结PH，则二面角A-PE-C 与二面角 H-PE-C 互为补角。又因为 CHPO，所以 CH面 PAE，过 H 作 HFPE 交于点 F，连结 CF，由三垂线定理知 CFPE所以CFH 为二面角 H-PE-C 的平面角。7分在 RtCHE 中，CEH=60，CE=1，所以 HE= ，CE= ，8 分在 RtHFE 中，FEH=60 ，HE= ，所 以 HF= 9分分在 RtCHF 中

16、，由勾股定理知 CF= 10故 cosCFH= = 11 分所以二面角 的余弦值为 12分19.（本小题满分 12 分）【解析】（1）【解法一】记事件从6 名学生抽取的 3 人中恰好有 i 人有兴趣，1，2， ；数学试题（理科）第 12 页，共 21 页 则 与 互斥1 分故所求概率为 至少 人感兴趣2 分3 分；4 分【解法二】记事件则 与 互从6 名学生抽取的 3 人中恰好有 i 人有兴趣，1，2， ；斥1 分故所求概率为 至少 人感兴趣2 分3 分；4 分（2）由题意知，随机变量 的所有可能取值有 0，1，2，3；5分6分7分8分9 分数学试题（理科）第 13 页，共 21 页 则 的分

17、布列为：012310 分p【注】无列表此得分点不得分。数学期望为分 1220.（本小题满分 12 分）【 解 析 】 （ 1 ） 当1 分时 ， 代 入 椭 圆 方 程 可 得 点坐标为或若点坐标为， 此 时 直 线：l2 分x +4y - 4 = 0联 立， 消整 理 可 得x+ 4y = 4x223 分3解得或=，故y2 54 分B所以的面积为. 5 分4的面积也是 ，若 点坐标为，由对称性知5综 上 可 知 ， 当时 ，的 面 积 为4.6 分5数学试题（理科）第 14 页，共 21 页 （2）【解法一】显然直线 的斜率不为 0，设直线 ：7ll分联立由，消去 整理得x，得8 分则，,9

18、 分因为直线 、 与 轴围成的三角形始终为等腰三角形，TA TB y10 分所以设，则,即解得. 11分故 轴上存在定点x，使得直线、 与 轴围成的三角形始终为等腰三角TA TB y形12 分= k(x - 4)【解法二】显然直线 l 的斜率存在且不为 0，设直线 l：y7分y = k(x - 4)(1+ 4k )x -32k x + 64k - 4 = 0联立 ，消去 整理得y2222+ 4y - 4 = 0x221D = (-32k ) - 4(1+ 4k )(64k - 4) 0，得k2 0f x( ) 的单调递增区间为(0,+)f x若 a 0，则当 x(0,+)时，时，故；x(-,0

19、)( ) 0f xf x( ) 的单调递减区间为(-,0)当，故2分分 0f x( ) 的单调递增区间为(0,+)f x；若 a，则当当时，时，故( ) 0f xf x( ) 的单调递减区间为(-,0)3，故f (x) 的单调递增区间为(0,+)，单调递减区间为(-,0)综上所述，4 分(t) = e -t,g(t) = e -1. g(t) = 0， t = 0.令 得【解法二】令 g其中t= ax.tt(-,0)时， (t) 0，g(t)在 （0，+）上单调递增.1 分又 当 a 0时，t= ax在 R 上单调递增；数学试题（理科）第 16 页，共 21 页 a 0时， fa 0， f(x

20、) 的单调递增区间为(0,+)，单调递减区间为(-,0)(x)(0,+)的 单 调 递 增 区 间 为， 单 调 递 减 区 间 为时(-,0) 3 分f (x)(0,+)综 上 所 述 ，的 单 调 递 增 区 间 为， 单 调 递 减 区 间 为(-,0)4 分。aa(x) (x +1)e (x +1)（2） f2，即，则2 （）ax22a1= 0 1，得a 5 -1由，得x +1a2(-1, -1)( ) 0( )故当 x当时，F x，F x单调递增；a2( -1，+)( ) 0F xF(x)x时，单调递此a减. 8 分因22aaF(x) F( -1) = 2ln - 2 + a + l

21、n = a - 2 - ln 9 分aa22数学试题（理科）第 17 页，共 21 页 a12令函数 g(a) = a - 2 - ln，其中 a 2，21 a -1( ) =1- = 0，得a =1，则 g aaa1( ,1)( ) 0( )g a当a(1,2时， g a10分132( ) = ln 4 - 0，g(2) = 0，又g21 a 2时，g(a)0F(x)0恒成立， 11故当恒成立，因此2分分1a ,2x-1,+)( ) ( 2 +1)综上知：当 a 时，对任意的，均 有f xx成立122222.（本小题满分 10 分）ppr 2cosj r 2cos jr 2cos j= -=

22、+【解析】（1）【解法 1】由， ，312636分ppr r 2cos j+ =2cos j+-4则= 2 3cosj6623分3r = r + r所以5123分( )-1 + y =1【解法 2】的直角坐标方程为 x2，如图所示，1 分2M( )y = kx y = k x y = k x k - 3, 3，假设直线 OA、OB、OC 的方程为，23kMF =由点到直线距离公式可知k +12数学试题（理科）第 18 页，共 21 页 122+ MF =1在 直 角 三 角 形 OMF 中 ， 由 勾 股 定 理 可 知r2， 得12r1=2 分k+12ppk = tanj k，= tanj+

23、k =3tan j-由直线方程可知 ，662tanj+tanp3 + k3k+13 - k6k =所以，得 r=3 分4 分1- tanjtanp22+1k26ptanj- tan63 -k+13k -13 + kk =3=，得 r所以所以p1+ tanjtan63k23r = r + r5 分123+ y - 2x = 0（2）【解法一】曲线的普通方程为：x，622M分- 3t = 0， 解 得将 直 线的 参 数 方 程 代 入 上 述 方 程 ， 整 理 得 tBC2t = 0,t = 3；7 分12平面直角坐标为1 3,2 2( ),C 2,08 分Bp则 r =1,r = 2,j = ；又得 =3 .9 分r62311p 1p 3 3即四边形面积为= r r sin + r r sin =为所求. 10 分S26 264OBAC1213+ 3y = 2.【解法二】由 BC 的参数方程化为普通方程得：x5 分数学试题（理科）第 19 页，共 21 页