2020年河南省中考数学压轴题专题13击破类比、探究类综合题利器之相似知识.docx
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1、专题13 击破类比、探究类综合题利器之相似知识模型一、A字形(手拉手)及其旋转模型二、K字型及其旋转【例1】(2019洛阳二模)如图 1,在 RtABC 中,ABC=90,AB=BC=4,点 D,E 分别是边 AB,AC 的中点,连接 DE,将ADE 绕点 A 按顺时针方向旋转,记旋转角为 ,BD,EC 所在直线相交所成的锐角为 (1)问题发现当 =0时,=,=(2)拓展探究 试判断:当0360时,和的大小有无变化?请仅就图2的情形给出证明(3)在ADE 旋转过程中,当 DEAC 时,直接写出此时CBE 的面积图1 图2【答案】见解析.【解析】解:(1)由题意知,AC=4,CE=AE=2,BD
2、=AD=2,=,=A=45,(2)无变化,理由如下:延长CE交BD于F,ABC、ADE是等腰直角三角形,DAE=BAC=45,DAB=CAE,ABDACE,,ABD=ACE,CFB=45,即=CFB=45.(3)如图所示,S=BCBE=4(4-2)=8-4;如下图所示,S=BCBE=4(4+2)=8+4;综上所述,在ADE旋转过程中,DEAC时,此时CBE的面积为84或8+4.【变式1-1】(2019洛阳三模)如图 1,在 RtABC 中,C=90,AC=8,AB=10,D,E 两点分别是 AC,CB 上的点,且 CD=6,DEAB,将CDE 绕点 C 顺时针旋转一周,记旋转角为 (1)问题发
3、现当 =0时,=;当 =90时,=(2)拓展探究请你猜想当CDE 在旋转的过程中,是否发生变化?根据图2证明你的猜想(3)问题解决在将CDE 绕点 C 顺时针旋转一周的过程中,当 AD=2时,BE= ,此时= 图1 图2【答案】(1),;(2)见解析;(3);60或300.【解析】解:(1)AB=10,AC=8,由勾股定理得:BC=6,DEAB,,即,CE=,BE=,=;由勾股定理得:AD=10,BE=,=;(2)不变化,理由如下:由题意知:DCEACB,由旋转性质得:ACD=BCE,ACDBCE,,即.(3)由(2)知,AD=2,BE=,如图,过D作DFAC于F,设AF=x,则CF=8x,由
4、勾股定理得:(2)2x2=62(8x)2,解得:x=5,即AF=5,CF=3,由CD=6,得FDC=30,DCF=60,即=60;同理可得,当=300时,AD=2,答案为:;60或300.【例2】(2019南阳毕业测试)如图,在RtABC中,ACB90,CDAB于点D,点E是直线AC上一动点,连接DE,过点D作FDED,交直线BC于点F(1)探究发现:如图1,若mn,点E在线段AC上,则 ;(2)数学思考:如图2,若点E在线段AC上,则 (用含m,n的代数式表示);当点E在直线AC上运动时,中的结论是否仍然成立?请仅就图3的情形给出证明;图1 图2 图3 备用图【答案】(1)1;(2);见解析
5、【解析】解:(1)当mn时,即:BCAC,ACB90,A+ABC90,CDAB,DCB+ABC90,ADCB,FDEADC90,FDECDEADCCDE,即ADECDF,ADECDF,=,ADCB,ADCBDC90,ADCCDB,=1,即=1,(2)由(1)中方法可证得:ADECDF,ADCCDB,=,即=,成立ACB90,A+ABC90,又CDAB,DCB+ABC90,ADCB,FDEADC90,FDE+CDEADC+CDE,即ADECDF,ADECDF,=,ADCB,ADCBDC90,ADCCDB,=,=【变式2-1】(2019开封二模)如图1,在矩形ABCD中,AB6,BC8,点E是边C
6、D上的点,且CE4,过点E作CD的垂线,并在垂线上截取EF3,连接CF将CEF绕点C按顺时针方向旋转,记旋转角为a(1)问题发现当a0时,AF ,BE , ;(2)拓展探究试判断:当0a360时,的大小有无变化?请仅就图2的情况给出证明(3)问题解决当CEF旋转至A,E,F三点共线时,直接写出线段BE的长图1 图2 备用图【答案】(1),;(2)(3)见解析;【解析】解:(1)当a0时,过点F作FGAD于G,四边形ABCD是矩形,ADCBCE90,ADBC8,ABCD6,由GEDGDEF90,知四边形DEFG是矩形,DGEF3,AG11,CE4,CD6,FGDE2,RtAGF中,由勾股定理得:
7、AF,同理,BE,=.(2)的大小无变化,理由如下:连接AC,AB6,BC8,EF3,CE4,=,CEFABC90,CEFCBA,ECFACB,ACFBCE,ACFBCE,即的大小无变化;(3)当CEF旋转至A,E,F三点共线时,存在两种情况:E在A、F之间,如图,连接AC,RtABC中,由勾股定理得:AC10,同理得:CF5,由(2)知:,RtAEC中,由勾股定理得:AE2,AFAE+EF2+3,BEAF(2+3);点F在A、E之间时,如图所示,连接AC,同理得:AFAEEF23,BEAF(2-3);综上所述,BE的值为或1.(2018河师大附中模拟)如图,在RtABC中,BAC=90,.
8、点P是边BC上一个动点(不与B重合),PAD=90,APD=B,连接CD.填空:=;ACD的度数为.(2)拓展探究如图,在RtABC中,BAC=90,. 点P是边BC上一个动点(不与B重合),PAD=90,APD=B,连接CD. 请判断ACD与B的数量关系以及PB与CD之间的数量关系,并说明理由.(3)解决问题如图,在ABC中,B=45,AB=4,BC=12,P是边BC上一动点(不与B重合),PAD=BAC,APD=B,连接CD. 请直接写出所有CD的长. 【答案】见解析.【解析】解:(1)AB=AC,BAC=90,PAD=90,BAP=CAD,B=45,APD=B,APD=ADP=45,AP
9、=AD,ABPACD,BP=CD,ACD=B=45,即=1,ACD=45,故答案为:1,45.(2)ACD=B,=k,理由如下:BAC=90,PAD=90,APD=B,ABCAPD,=k,由BAP+PAC=PAC+CAD=90,得:BAP=CAD,ABPCAD,ACD=B,=k.(3)过A作AHBC于H,如图所示,B=45,BAH是等腰直角三角形,AB=4,AH=BH=4,BC=12,CH=8,在RtACH中,由勾股定理得:AC=4,在RtAPH中,由勾股定理得:PH=3,BP=1,PAD=BAC,APD=B,ABCAPD,由BAP+PAC=PAC+CAD,得:BAP=CAD,ABPCAD,即
10、解得:CD=,如图所示,过A作AHBC于H,同理可得:ABPCAD,即解得:CD=,综上所述,CD的值为:,.2.(2018河南第一次大联考)如图1,在等边三角形ABC中,点M为BC边上异于B、C的一点,以AM为边作等边三角形AMN,连接CN,NC与AB的位置关系为_;(2)深入探究:如图2,在等腰三角形ABC中,BA=BC,点M为BC边上异于B、C的一点,以AM为边作等腰三角形AMN,使ABC=AMN,AM=MN,连接CN,试探究ABC与ACN的数量关系,并说明理由;(3)拓展延伸:如图3,在正方形ADBC中,AD=AC,点M为BC边上异于B、C的一点,以AM为边作正方形AMEF,点N为正方
11、形AMEF的中点,连接CN,若BC=10,CN=,试求EF的长【答案】见解析.【解析】解:(1)NCAB;(2)ABC=ACN,理由如下:AB=BC,AM=MN,即AB:BC=AM:MN=1,又ABC=ACN,ABCAMN,,BAC=(180ABC),AM=MN,MAN=(180AMN),由ABC=AMN,得BAC=MAN,BAM=CAN,又,ABMACN,ABC=ACN,(3)连接AB,AN,四边形ADBC,AMEF为正方形,ABC=BAC=45,MAN=45,BAM=CAN,由=,ABMACN,,,BM=2,CM=BCBM=102=8,在RtAMC中,由勾股定理得:AM=,EF=AM=.3
12、.(2017新野一模)如图,在ABC中,ACB=90,BC=2,A=30,点E,F分别是线段BC,AC的中点,连接EF(1)说明线段BE与AF的位置关系和数量关系;(2)如图,当CEF绕点C顺时针旋转(090)时,连接AF,BE,(1)中的结论是否仍然成立?如果成立,请证明;如果不成立,请说明理由;(3)如图,当CEF绕点C顺时针旋转(0180)时,延长FC交AB于点D,如果AD=62,求旋转角的度数【答案】见解析【解析】(1)解:BEAF,AF=BE;理由如下:在ABC中,ABC=90,BC=2,A=30,AC=BC=2,点E,F分别是线段BC,AC的中点,BEAF,BE=CE,AF=CF,
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