全国通用2017版高考数学一轮复习第十三章推理与证明算法与复数第3讲数学归纳法及其应用练习理新人教A版.doc

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1、第十三章 推理与证明、算法与复数 第3讲 数学归纳法及其应用练习 理 新人教A版基础巩固题组(建议用时：30分钟)一、选择题1.用数学归纳法证明“2n2n1对于nn0的正整数n都成立”时，第一步证明中的起始值n0应取()A.2 B.3 C.5 D.6解析n1时，212，2113，2n2n1不成立；n2时，224，2215，2n2n1不成立；n3时，238，2317，2n2n1成立.n的第一个取值n03.答案B2.某个命题与正整数有关，如果当nk(kN*)时该命题成立，那么可以推出nk1时该命题也成立.现已知n5时该命题成立，那么()A.n4时该命题成立B.n4时该命题不成立C.n5，nN*时该

2、命题都成立D.可能n取某个大于5的整数时该命题不成立解析显然A，B错误，由数学归纳法原理知C正确，D错.答案C3.用数学归纳法证明“n3(n1)3(n2)3(nN*)能被9整除”，利用归纳法假设证明nk1时，只需展开()A.(k3)3 B.(k2)3C.(k1)3 D.(k1)3(k2)3解析假设nk时，原式k3(k1)3(k2)3能被9整除，当nk1时，(k1)3(k2)3(k3)3为了能用上面的归纳假设，只须将(k3)3展开，让其出现k3.答案A4.对于不等式n1(nN*)，某同学用数学归纳法证明的过程如下：(1)当n1时，11，不等式成立.(2)假设当nk(kN*)时，不等式k1成立，当

3、nk1时，(k1)1.当nk1时，不等式成立，则上述证法()A.过程全部正确B.n1验得不正确C.归纳假设不正确D.从nk到nk1的推理不正确解析在nk1时，没有应用nk时的假设，不是数学归纳法.答案D5.在数列an中，a1，且Snn(2n1)an，通过求a2，a3，a4，猜想an的表达式为()A. B.C. D.解析当n2时，a2(23)a2，a2.当n3时，a3(35)a3，a3.故猜想an.答案C二、填空题6.用数学归纳法证明1n(nN，且n1)，第一步要证的不等式是_.解析n1且nN，当n2时，12.答案127.(2016无锡调研)利用数学归纳法证明不等式(n1，nN*)的过程中，用n

4、k1时左边的代数式减去nk时左边的代数式的结果为_.解析当nk时，左边，当nk1时，左边，得，.答案8.凸n多边形有f(n)条对角线.则凸(n1)边形的对角线的条数f(n1)与f(n)的递推关系式为_.解析f(n1)f(n)(n2)1f(n)n1.答案f(n1)f(n)n1三、解答题9.设数列an的前n项和为Sn，且方程x2anxan0有一根为Sn1(nN*).(1)求a1，a2；(2)猜想数列Sn的通项公式，并给出证明.解(1)当n1时，方程x2a1xa10有一根为S11a11，(a11)2a1(a11)a10，解得a1.当n2时，方程x2a2xa20有一根为S21a1a21a2，a2a20

5、，解得a2.(2)由题意知(Sn1)2an(Sn1)an0，当n2时，anSnSn1，代入上式整理得SnSn12Sn10，解得Sn.由(1)得S1a1，S2a1a2.猜想Sn(nN*).下面用数学归纳法证明这个结论.当n1时，结论成立.假设nk(kN*，k1)时结论成立，即Sk，当nk1时，Sk1.即当nk1时结论成立.由知Sn对任意的正整数n都成立.10.已知f(n)1，g(n)，nN*.(1)当n1，2，3时，试比较f(n)与g(n)的大小；(2)猜想f(n)与g(n)的大小关系，并给出证明.解(1)当n1时，f(1)1，g(1)1，所以f(1)g(1)；当n2时，f(2)，g(2)，所以

6、f(2)g(2)；当n3时，f(3)，g(3)，所以f(3)g(3).(2)由(1)猜想f(n)g(n)，下面用数学归纳法给出证明.当n1，2，3时，不等式显然成立，假设当nk(k3，kN*)时不等式成立，即1.那么，当nk1时，f(k1)f(k).因为0，所以f(k1)g(k1).由可知，对一切nN*，都有f(n)g(n)成立.能力提升题组(建议用时：15分钟)11.(2016昆明模拟)设n为正整数，f(n)1，经计算得f(2)，f(4)2，f(8)，f(16)3，f(32)，观察上述结果，可推测出一般结论()A.f(2n) B.f(n2)C.f(2n) D.以上都不对解析因为f(22)，f

7、(23)，f(24)，f(25)，所以当n1时，有f(2n).答案C12.(2016天津模拟)设f(x)是定义在正整数集上的函数，且f(x)满足：“当f(k)k2成立时，总可推出f(k1)(k1)2成立”.那么，下列命题总成立的是()A.若f(1)1成立，则f(10)100成立B.若f(2)4时，f(n)_(用n表示).解析f(3)2，f(4)f(3)3235，f(5)f(4)4234，f(6)f(5)52345，猜想f(n)234(n1)(n4).答案5(n1)(n2)14.数列xn满足x10，xn1xxnc(nN*).(1)证明：xn是递减数列的充要条件是c0；(2)若0c，证明数列xn是递增数列.证明(1)充分性：若c0，由于xn1xxncxncxn，数列xn是递减数列.必要性：若xn是递减数列，则x2x1，且x10.又x2xx1cc，c0.故xn是递减数列的充要条件是c0.(2)若0c，要证xn是递增数列.即xn1xnxc0，即证xn对任意n1成立.下面用数学归纳法证明：当0c时，xn对任意n1成立.当n1时，x10，结论成立.假设当nk(k1，kN*)时结论成立，即xk.因为函数f(x)x2xc在区间内单调递增，所以xk1f(xk)f()，当nk1时，xk1成立.由、知，xn对任意n1，nN*成立.因此，xn1xnxcxn，即xn是递增数列.6