江苏省南通市2020-2021学年度高三年级第一学期期初调研数学试题附答案解析.docx

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1、 2020-2021 学年度高三年级第一学期期初调研数学2020.9.2一、单项选择题：本题共8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. x( )1记全集 = ，集合 = | 16 ，集合 = | 2 2 ，则= ().UA x x2BxABUA4,+)B(1,4C1,4)D(1,4)2已知 = log 2, = log 2, = 0.5 ，则 , , 的大小关系为(a b c).abca-257A b a cB a b cC c b aD 0,b 0) 的左、右焦点，过 的直线 与F1F Fl12O : x+ y= a相切， 与 的渐近线在第

2、一象限内的交点是 ，若PF x 轴，则双曲线的lC222P2离心率等于(A).B2CD432 28对于函数 =y f(x) ，若存在区间a,b，当 xa,b 时的值域为ka,kb(k 0)，则 称y = f (x)为 倍值函数.若 f (x) = e + 2x 是k 倍值函数，则实数k 的取值范围是().kx12()()A +1,+B + 2,+C + ,+D + ,+eeeeee二、多选题：本题共4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分.9下列说法正确的是().A将一组数据中的每个数据都

3、乘以同一个非零常数a 后，方差也变为原来的a 倍B设有一个回归方程 = 3- 5 ，变量 x 增加 1 个单位时， y 平均减少 5 个单位yxC线性相关系数 越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱rD在某项测量中，测量结果x 服从正态分布 N(1,s )(s 0) ，则 (x 1)= 0.5P210已知抛物线 : = 2 过点 (1,1)，则下列结论正确的是().PC y2px3A点 到抛物线焦点的距离为P25B过点 作过抛物线焦点的直线交抛物线于点 ，则OPQ 的面积为PQ32C过点 与抛物线相切的直线方程为 - 2 +1= 0PxyD过点 作两条斜率互为相反数的直线交抛物线

4、于点 , ，则直线 的斜率为定值MNPM N11111在ABC 中，已知 cos + cos = 2 ，且+=，则().bC cBbtan A tan B sinCA , , 成等比数列a b cBsin : sin : sin = 2 :1: 2ABCC若a = 4 ，则= 7D , , 成等差数列A B CSABC12已知函数 ( ) = ln ，若0 ，则下列选项正确的是(f x x x).x1x2f (x ) - f (x )A0B +( ) + ( )f x12xf xxx - x1122122 1C( ) 时，( ) +x f x( ) x f x( ) +( )x f xxxx

5、f x2211221e1122112三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.113高二某班共有 60 名学生，其中女生有 20 名，三好学生占全班人数的 ，而且三好学生6中女生占一半.现在从该班任选一名同学参加某一座谈会.则在已知没有选上女生的条件下，选上的是三好学生的概率为_.14曲线 = ln + +1的一条切线的斜率为 2，则该切线的方程为_.x xy15已知 是边长为 2 的正六边形内的一点，则的取值范围是_.AP ABPABCDEF16椭圆与双曲线有相同的焦点 (- ,0), ( ,0) ，椭圆的一个短轴端点为 ，直 线 与双F BF c F cB121曲线的一条

6、渐近线平行 .若椭圆与双曲线的离心率分别为3e + e 的最小值为_.,e ，则 e e = _；且e121 22122四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17(10 分)已知函数 ( ) 2 3 sin cosf x =x +2sin 2x -1 .x(1)求函数 ( ) 的单调递增区间；f xp(2)在ABC 中，内角 , , 所对的边分别为 , , ，若 ( ) = 2, = , = 2 ，求的A B C a b cf ACcABC4面积.3 18(12 分)2020 年寒假是特殊的寒假，因为疫情全体学生只能在家进行网上在线学习，为了研究学

7、生在网上学习的情况，某学校在网上随机抽取 120 名学生对线上教育进行调查，其中男生与女生的人数之比为 11:13，其中男生 30 人对于线上教育满意，女生中有 15 名表示对线上教育不满意.满意不满意男生女生合计120(1)完成 2x2 列联表，并回答能否有 99%的把握认为对“线上教育是否满意与性别有关”；(2)从被调查中对线上教育满意的学生中，利用分层抽样抽取8 名学生，再在 8 名学生xx中抽取 3 名学生，作学习经验介绍，其中抽取男生的个数为 .求出 的分布列及期望值n(ad - bc)(a + b)(c + d)(a + c)(b + d)2附公式及表 K =，其中 = + + +

8、 .n a b c d20.150.100.050.0250.0100.0050.00102.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828k04 19(12 分)已知椭圆 的中心在原点，其焦点与双曲线2 - 2 =1的焦点重合，点 (0, 3)CxyP22: y = kx + m交椭圆于不同两点 A,B ，且OA OB( 为坐标原点).= 0 O在椭圆 上，动直线lC()求椭圆的方程;(2)讨论2是否为定值；若是，求出该定值；若不是，请说明理由.7m -12k220(12 分)已知函数 ( ) =f x+f x+ ，且 ( ) 0的解集为-1,2 .bx cx2(1)求

9、函数 ( ) 的解析式；f x(2)解关于 的不等式 ( ) 2( - -1),( 0) ；xmf xx mm(3)设 g(x) = 2，若对于任意的 , -2,1都有| ( ) - ( ) | ，求 的最小值x x g x g x MMf (x)+3x-112125 2x -121(12 分)已知 ( ) = ( - ln ) +f x a x，.xx2(1)讨论 ( ) 的单调性;f x3(2)当 =1时，证明 ( ) ( ) + 对于任意的 1,2成立，af x f xx222(12 分)已知点 是抛物线 : = 4 的准线上任意一点，过点 作抛物线的两条切线PC y12xP、PA PB

10、，其中 、 为切点，A B(1)证明:直线过定点，并求出定点的坐标;ABSx2y2(2)若直线的最小值.交椭圆 :+=1于C 、 两点，S ,S分别是PAB,PCD 的面积,求ABCD143S21226 高三数学期初答案一、单选题1-4 CACD5-8 CCAB二、多选题9.BD10.BCD11.BC12.CD三、填空题1= 2x(-2,6 )2 313.14. y15.16. 18四、解答题( )= 2 3sinxcosx+ 2sin2x -1= 317 解：（1） f xsin2xcos2xp2sin（2x-），2 分6ppppp- - +- xk+令 2k2x2kk Z， ，解得kk Z

11、， ，26263pp-+函数 （ ）的单调递增区间为：kf x，k k Z， 4 分63p-（2）f（A）2sin 2A（）2，6psin（2A-）1，6pp 11p，2A-A 0 （ ， ），（），666p ppA- =A=2，解得，6 分6 23pC=c 2， ，4p p2sin+csin B3 4ab=1+ 3，8 分 由正弦定理，可得bsinA sin B2sinC2112 3+ 3S= absinC= 6 （1+ 3 ）=10 分ABC 22221118 解：（1）因为男生人数为：120于是可完成22列联表，如下：满意 不满意 总计= 55，所以女生人数为120-55 = 65，11

12、+137 男生 30女生 50合计 8025154055651204 分根据列联表中的数据，得到 2的观测值K120(3015- 2550) 9602k = 6.713 6.635，55658040143所以有 99%的把握认为对“线上教育是否满意与性别有关”. 6 分xx，并且 服0,1,2,3（2）由（1）可知男生抽 3 人，女生抽 5 人，依题可知 的可能取值为C Ck( )P x = k =3-k538()k = 0,1,2,3 ，即从超几何分布，3CC5C C 15353825C13P(x = 0) =P = =, (x 1)=,.C282838C C15C15CC123333P(x

13、 = 2) =, (x 3)P = =5656388可得分布列为x01235128 28 56 56P515151 9( ) = 0 +1 + 2 + 3 =可得 Ex.12 分28285656 8( )1, 02x - 2y =1C=1，19. 解：（1）因为双曲线22的焦点为，所以在椭圆 中cy2( )x22+=1 a 0设椭圆 C 的方程为，aa-12( )3P 0, 3 在椭圆 C 上得=14 -1 = 3，2 = 4 = 2，则b=由点，解得aaa2 -1x2y2+ =1所以椭圆 C 的方程为.4 分4 38 （2）7m -12k 为定值，理由如下：22( ) ( )A x , y

14、,B x , yx x + y y = 0可知 ，= 0设，由OA OB11221 21 2 = +y kx m( ) 3+ 4k x +8mkx + 4m -12 = 0，联立方程组x2y2222+=1 4 3( )( )D = 64m k - 4 3+ 4k 4m -12 0得 m 2(x - m -1)(- x - 2) 2(x - m -1)，整理（2）mf，化简有m x2(mx - 2)(x -1) 0，= 0时，不等式的解集为(-,1)所以当 m，2,+当0 m 2 时，不等式的解集为，7 分，根据二次函数的图像性质，有mm-2,1( ) + 3 -1 = + 2 - 3时 f x

15、（3）因为 xxxx2f (x) + 3x -1 = x + 2x - 3-4,0 ，29 1则有 g(x) = 2= 2 2，所以，g(x),1，9 分f (x)+3x-1x +2x-316x , x -2,1都有| g(x ) - g(x ) | M ，因为对于任意的1212| g(x ) - g(x ) | Mg(x) - g(x) M，即求，转化为10 分12MaxMaxMin1( ) = (1)=1 g(x) = g(-1) =g xg，所以，而16MinMax1516此时可得 M，15所以 M 的最小值为16.12 分21.解：（1）的定义域为；1 分a 2 2 (ax- 2)(x

16、 -1)2f (x) = a - - + =.x x2x3x3(x) 0当，时， f，单调递增；x(1,+)时, f (x) 0或时， f，单调递增；x(x) 0或时， f，单调递增；10 x(x) g(1)+ h(2) =所以 f，3(x) f (x) +即 f对于任意的恒成立12 分2( ) ( )A x , yB x , y22.解：（1）证明：设点、，11222( )( )，y - y =x - xy y= 2 x + x则以 A为切点的切线方程为，即1y1111( )y y = 2 x + x同理以 为切点的切线方程为，2 分B22( ) = 2 -1+ty2 - - 2 = 0x

17、tyx( )P -1,t，两条切线均过点1(1)，即11，ty = 2 -1+ x2x -ty - 2 = 022222x -ty - 2 = 0所以，点 A、 的坐标满足直线的方程，4 分B2x -ty - 2 = 0所以，直线 AB 的方程为，( )在直线 AB 的方程中，令 y= 0，可得 x =1，所以，直线 AB 过定点 1, 0；6 分1d ABABS21=（2）设点 到直线 AB 的距离为 ，则 PAB.PdSPCDCDd CD2由题意可知，直线 AB 不与 x 轴重合，可设直线 AB 的方程为 x= my +1，( ) = 4( ) ( )y2xC x , yD x , y2

18、- 4 - 4 = 0 D =16 m +1 0设、，由，得 ymy，2恒x= my +13344成立，y + y = 4m ， y y = -4 ，由韦达定理得121 2( )()2由弦长公式可得 AB = 1+ m y - y = 1+ my + y - 4y y = 4 m +122212121 28 分x2y2( )2 +=13m + 4 y +6my -9 = 0由 4 3，得2，x = my +1( ) ( )D = 36m +36 3m + 4 =144 m +1 0222恒成立.6m9y + y = -y y = -由韦达定理得，3m + 43m + 434234212 ( )

19、12 m +12( )由弦长公式得= 1+- = 1+y yy y+- 4 =y y.2CDm2m23m + 4343434210 分( )4 m +123 + 4m4 4= m + SSAB2= ( ) =PAB212 1+ m233 3 ，CDPCD3m + 42当且仅当m= 0时，等号成立.12 分S4因此， 1 的最小值为 .S3221.(1)a 0,(0,1) (1,+)a 01 a = 2,(0, +)2 0 a 2,(0,aa3 1x + +x x25(2)原不等式等价于- ln x - 0-22x3111 x - ln x 1 ，令 t = ,1， ( ) = -2 + + 3

20、 ， ( ) = -6 + 2 + 3 存在 ,1 使得s tttts tttt322202 x 133 12 3 -6t + 2t + 3 = 0 ， s= ,s(1)= 2 ，所以 +- ，因为等号不同时取，所以20 2 220x x2 x33 1x + +x x25- ln x - 023-2x22.(1)过焦点(1,0)4134SABsin a(2)设倾斜角为 ，则=212=+1 a13 sina 3SCD224 - cos a21332(x) - f (x) g(1)+ h(2) =所以 f，3(x) f (x) +即 f对于任意的恒成立12 分2( ) ( )A x , yB x

21、, y22.解：（1）证明：设点、，11222( )( )，y - y =x - xy y= 2 x + x则以 A为切点的切线方程为，即1y1111( )y y = 2 x + x同理以 为切点的切线方程为，2 分B22( ) = 2 -1+ty2 - - 2 = 0x tyx( )P -1,t，两条切线均过点1(1)，即11，ty = 2 -1+ x2x -ty - 2 = 022222x -ty - 2 = 0所以，点 A、 的坐标满足直线的方程，4 分B2x -ty - 2 = 0所以，直线 AB 的方程为，( )在直线 AB 的方程中，令 y= 0，可得 x =1，所以，直线 AB

22、过定点 1, 0；6 分1d ABABS21=（2）设点 到直线 AB 的距离为 ，则 PAB.PdSPCDCDd CD2由题意可知，直线 AB 不与 x 轴重合，可设直线 AB 的方程为 x= my +1，( ) = 4( ) ( )y2xC x , yD x , y2 - 4 - 4 = 0 D =16 m +1 0设、，由，得 ymy，2恒x= my +13344成立，y + y = 4m ， y y = -4 ，由韦达定理得121 2( )()2由弦长公式可得 AB = 1+ m y - y = 1+ my + y - 4y y = 4 m +122212121 28 分x2y2( )

23、2 +=13m + 4 y +6my -9 = 0由 4 3，得2，x = my +1( ) ( )D = 36m +36 3m + 4 =144 m +1 0222恒成立.6m9y + y = -y y = -由韦达定理得，3m + 43m + 434234212 ( )12 m +12( )由弦长公式得= 1+- = 1+y yy y+- 4 =y y.2CDm2m23m + 4343434210 分( )4 m +123 + 4m4 4= m + SSAB2= ( ) =PAB212 1+ m233 3 ，CDPCD3m + 42当且仅当m= 0时，等号成立.12 分S4因此， 1 的最

24、小值为 .S3221.(1)a 0,(0,1) (1,+)a 01 a = 2,(0, +)2 0 a 2,(0,aa3 1x + +x x25(2)原不等式等价于- ln x - 0-22x3111 x - ln x 1 ，令 t = ,1， ( ) = -2 + + 3 ， ( ) = -6 + 2 + 3 存在 ,1 使得s tttts tttt322202 x 133 12 3 -6t + 2t + 3 = 0 ， s= ,s(1)= 2 ，所以 +- ，因为等号不同时取，所以20 2 220x x2 x33 1x + +x x25- ln x - 023-2x22.(1)过焦点(1,0)4134SABsin a(2)设倾斜角为 ，则=212=+1 a13 sina 3SCD224 - cos a213