江苏省南京市2021届高三年级学情调研数学试卷(解析版).docx

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1、 南京市 2021 届高三年级学情调研数学2020.09一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上1已知集合 Ax|x2x20，Bx|1x3 ，则 ABAx|1x3Bx|1x1Cx|1x2Dx|2x32已知(34i)z1i，其中 i 为虚数单位，则在复平面内 z 对应的点位于A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限3已知向量 a，b 满足|a|1，|b|2，且|ab| 3，则 a 与 b 的夹角为63562ABCD34在平面直角坐标系 xOy 中，若点 P(4 3，0)到双曲线 C：x2y2

2、 1 的一条渐近线的距离a29为 6，则双曲线 C 的离心率为A2B4C 2D 35在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c若 2bcosC2ac，则角 B 的取值范围是2C2A(0， B(0， ，)D ，)3333816设 alog 9，b2) ，则1.2，c(4273AabcBbacCacbDcab7在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 A：(x1)y 1，点 B(3，0)，过动点 P 引圆 A 的22切线，切点为 T若 PT 2PB，则动点 P 的轨迹方程为Axy 14x180Bx y 14x1802222Cxy 10x180Dx y 10x18022228已知奇函数 f

3、(x)的定义域为 R，且 f (1x)f (1x)若当 x(0，1时，f(x)log (2x2933)，则 f ( )的值是2A3B2C2D3二、多项选择题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上全部选对得 5 分，部分选对得 3 分，不选或有错选的得 0 分高三数学试题第 1页 95G 时代已经到来，5G 的发展将直接带动包括运营、制造、服务在内的通信行业整体的快速发展，进而对 GDP 增长产生直接贡献，并通过产业间的关联效应，间接带动国民经济各行业的发展，创造出更多的经济增加值如图，某单位结合近年数据，对

4、今后几年的 5G 经济产出做出预测由上图提供的信息可知A运营商的经济产出逐年增加B设备制造商的经济产出前期增长较快，后期放缓C设备制造商在各年的总经济产出中一直处于领先地位D信息服务商与运营商的经济产出的差距有逐步拉大的趋势10将函数 f(x)sin2x 的图象向左平移个单位后，得到函数 yg(x)的图象，则6A函数 g(x)的图象关于直线 x对称B函数 g(x)的图象关于点( ，0)对称126C函数 g(x)在区间(5)上单调递增 D函数 g(x)在区间(0， )上有 2 个零点712，6611已知(2x)(12x)5a0a xa xa a a a ，则xxxx62345123456Aa 的

5、值为 2Ba 的值为 1605Ca a a a a a 的值为5Da a a 的值为 12012345613512记函数 f(x)与 g(x)的定义域的交集为 I若存在 x I，使得对任意 xI，不等式0f(x)g(x)(xx )0 恒成立，则称(f(x)，g(x)构成“M 函数对”下列所给的两个函数能0构成“M 函数对”的有（）Af(x)lnx，g(x)1Bf(x)ex，g(x)exxDf(x)x1Cf(x)x3，g(x)x2，g(x)3 xx三、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分请把答案填写在答题卡相应位置上高三数学试题第 2页 13如图，一个底面半径为 R 的圆柱形

6、量杯中装有适量的水 .若放入一个半径为 r 的实心铁球（小球完全浸入水中），水面高度恰好rR升高 ，则 r3r3r14被誉为“数学之神”之称的阿基米德（前 287前 212），是古希腊伟大的物理学家、数学家、天文学家，他最早利用逼近的思想证明了如下结论：抛物线的弦与抛物线所围成的封闭图形的面积，等于抛物线的弦与经过弦的端点的两条切线所围成的三角形面积的三分之二这个结论就是著名的阿基米德定理，其中的三角形被称为阿基米德三角形在1x2平面直角坐标系 xOy 中，已知直线 l：y4 与抛物线 C：y 交于 A，B 两点，则弦4AB 与抛物线 C 所围成的封闭图形的面积为15已知数列a 的各项均为正数

7、，其前 n 项和为 S ，且 2S a a；，nN ，则 a4*nnnn n12，则 S (本题第一空 2 分，第二空 3 分)若 a12016若不等式(ax2bx1)ex1 对一切 xR 恒成立，其中 a，bR，e 为自然对数的底数，则 ab 的取值范围是四、解答题：17（本小题满分 10 分）已知向量 m(2cosx，1)，n( 3sinx，2cos2x)，xR设函数 f(x)mn1（1）求函数 f(x)的最小正周期； 7，且 f()8（2）若 ，求 cos2的值3 12518（本小题满分 12 分）是公比为 2 的等比数列，其前 n 项和为 S 已知数列ann7S 2S 2，S a 4a

8、 这三个条件中任选一个，补充到上述，a2 3（1）在S1323 34的通项公式，并判断此时数列a 是否满足条件 P：任 意 m，nN*，aa题干中求数列annm n均为数列an中的项，说明理由；满足 b n(a的前 n 项和 T ，nN ，求数列b)n 1（2）设数列bnnn 1nn*an注：在第（1）问中，如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分高三数学试题第 3页 19（本小题满分 12 分）为调查某校学生的课外阅读情况，随机抽取了该校 100 名学生（男生 60 人，女生 40人），统计了他们的课外阅读达标情况（一个学期中课外阅读是否达到规定时间），结果如下：是否达标不达标达标性别男生

9、女生36102430（1）是否有 99%的把握认为课外阅读达标与性别有关？n(adbc)2附： ，2(ab)(cd)(ac)(bd)0.0503.8410.0255.0240.0106.6350.0057.8790.001k10.828（2）如果用这 100 名学生生中男生和女生课外阅读“达标”的频率分别代替该校男生和女生课外阅读“达标”的概率，且每位学生是否“达标”相互独立现从该校学生中随机抽取 3人（2 男 1 女），设随机变量 X 表示“3 人中课外阅读达标的人数 ”，试求 X 的分布列和数学期望20（本小题满分 12 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，平面 PAD平面 ABCD，AD

10、/BC，ABBCPA1，AD2，PADDAB90，点 E 在棱 PC 上，设 CECP（1）求证：CDAE；P（2）记二面角 CAED 的平面角为，E10且|cos|，求实数的值5ADBC高三数学试题第 4页 21（本小题满分 12 分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 C： y 1x224 ，F ，T 是椭圆 C 上的一个动点，求 TF TF（1）设椭圆 C 的左、右焦点分别为 F1取值范围；2的21（2）设 A(0，1)，与坐标轴不垂直的直线 l 交椭圆 C 于 B，D 两点若ABD 是以 A为直角顶点的等腰直角三角形，求直线 l 的方程22（本小题满分 12 分）已知函数 f (x

11、)kxxlnx，kR（1）当 k2 时，求函数 f (x)的单调区间；（2）当 0x1 时，f (x)k 恒成立，求 k 的取值范围；ln1 ln2lnn n(n1)（3）设 nN ，求证： *23n14高三数学试题第 5页 南京市 2021 届高三年级学情调研全解析数 学2020.09注意事项：1本试卷共 6 页，包括单项选择题（第 1 题第 8 题）、多项选择题（第 9 题第 12 题）、填空题（第 13 题第 16 题）、解答题（第 17 题第 22 题）四部分本试卷满分为 150分，考试时间为 120 分钟2答卷前，考生务必将自己的学校、姓名、考生号填涂在答题卡上指定的位置3作答选择题

12、时，选出每小题的答案后，用 2B 铅笔在答题卡上将对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案答案不能答在试卷上4非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内，在其他位置作答一律无效一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上1已知集合 Ax|x2x20，Bx|1x3 ，则 ABAx|1x3Bx|1x1Cx|1x2Dx|2x3解析：集合 Ax|x x20=x|-1x2，ABx|1x2 ，答案选 C.22已知(34i)z1i，其中 i 为

13、虚数单位，则在复平面内 z 对应的点位于A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限( )( )1 i1 i 3 4i-1+ 7i+=解析：z=( )( )，z 对应的点位于第二象限，答案选 B.3 4i 3 4i 3 4i-+253已知向量 a，b 满足|a|1，|b|2，且|ab| 3，则 a 与 b 的夹角为635623ABCD12p3 ，pcos = -qq2，qq，所以 =|a| +2ab+|b|0解析：|ab|2答案选 D.5+4cos =3，解得，22x2 y24在平面直角坐标系 xOy 中，若点 P(4 3，0)到双曲线 C：为 6，则双曲线 C 的离心率为 1 的一条渐近线的距离

14、a29A2B4C 2D 3x2 y2解析：双曲线 C： 1 的一条渐进线方程为 3xay=0，则点 P 到该渐进线方程的距离a29高三数学试题第 6页 4 3 3c3 9+de2= ，故答案选= 6 ，解得 a =3，所以椭圆的离心率为 = =为2a3a 3+22A.5在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c若 2bcosC2ac，则角 B 的取值范围是2C2A(0， B(0， ，)D ，)3333a b c+ -2222b解析：因为 2bcosC2ac，所以由余弦定理可得2ac，化简得 aca2+c22ab12( )p3B 0，p0cos B ，因为，则 B ，b ，即，答案选

15、 A.2816设 alog 9，b2) ，则1.2，c(4273AabcBbacCacbDcab3232829 log11.2 =1，alog 9=log 3=log2 2=) 解析：由题意 b20，c(，所4222732以 acb，答案选 C.7在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 A：(x1)y 1，点 B(3，0)，过动点 P 引圆 A 的22切线，切点为 T若 PT 2PB，则动点 P 的轨迹方程为Axy 14x180Bx y 14x1802222Cxy 10x180Dx y 10x1802222PA -1= 2PB2PA -1，设点 P(x，解析：根据切线长的求解方法得到 PT=2=

16、 2PB，即2y)，代入到公式中化简得，xy 10x180，答案选 C.228已知奇函数 f (x)的定义域为 R，且 f (1x)f (1x)若当 x(0，1时，f(x)log (2x2933)，则 f ( )的值是2A3B2C2D3解析：由题意 f (1x)f (1x)可得函数关于直线 x=1 对称，则有 f (2x)f (x) ，且 f (x)93)为奇函数，则 f (2x)f (x)f (x)，f (4x)f (2x)f (x)，即周期为 4，所以 f (2511 fff = - = - = -2，答案选 B.222 二、多项选择题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分在每

17、小题给出的四个选项中，高三数学试题第 7页 有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上全部选对得 5 分，部分选对得 3 分，不选或有错选的得 0 分95G 时代已经到来，5G 的发展将直接带动包括运营、制造、服务在内的通信行业整体的快速发展，进而对 GDP 增长产生直接贡献，并通过产业间的关联效应，间接带动国民经济各行业的发展，创造出更多的经济增加值如图，某单位结合近年数据，对今后几年的 5G 经济产出做出预测由上图提供的信息可知A运营商的经济产出逐年增加B设备制造商的经济产出前期增长较快，后期放缓C设备制造商在各年的总经济产出中一直处于领先地位D信息服务商与运营商的经济产出的差距有

18、逐步拉大的趋势解析：由图可知设备制造商在各年的总经济产出中并非一直处于领先地位，很明显 C 选项不正确，答案选 ABD.10将函数 f(x)sin2x 的图象向左平移个单位后，得到函数 yg(x)的图象，则6A函数 g(x)的图象关于直线 x对称B函数 g(x)的图象关于点( ，0)对称126C函数 g(x)在区间(5)上单调递增 D函数 g(x)在区间(0， )上有 2 个零点712，66p32x + ，可验证 g( )1，所以 A 选项正确；g( )0，所解析：由题意可知 yg(x)sin1265ppp2p p3 22- x + - x 以 B 选项错误；令，解得，所以 C 选项正确；法一

19、：可1212p3kp p2 62x + = kx =- ，k Zp ，解得通过五点作图法画出图像验证 D 选项；法二：可令，高三数学试题第 8页 5p p76)上有 ，在区间(0，满足题意，为两个零点，所以 D 选项正确，答案选 ACD.3 611已知(2x)(12x)5a0a xa xa a a a ，则xxxx62345123456Aa 的值为 2Ba 的值为 1605Ca a a a a a 的值为5Da a a 的值为 120123456135( )( )5222= -64，=2，所以 A 选项正确；a C - + C -4解析：由题意可令 x=0，解得 a045555a a a a

20、a a =3，所以 a a a a所以 B 选项正确；令 x=1，解得 a012345612342a =5，所以 C 选项正确；令 x=1，解得 a a a a a a a =(a aa5601234560a )(a a a )=243，式子间进行联立，可解得 a a a =123，所以 D 选a46135135项错误，答案选 ABC.12记函数 f(x)与 g(x)的定义域的交集为 I若存在 x I，使得对任意 xI，不等式0f(x)g(x)(xx )0 恒成立，则称(f(x)，g(x)构成“M 函数对”下列所给的两个函数能0构成“M 函数对”的有（）Af(x)lnx，g(x)1Bf(x)e

21、x，g(x)exxDf(x)x1Cf(x)x3，g(x)x2，g(x)3 xxx x时，f(x)g(x)，解析：由题意f(x)g(x)(xx0)0 恒成立，可知当时，f(x)g(x)，当00则可根据图象验证选项，只有 AC 选项符合，故答案选 AC.三、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分请把答案填写在答题卡相应位置上13如图，一个底面半径为 R 的圆柱形量杯中装有适量的水 .若放入一个半径为 r 的实心铁球（小球完全浸入水中），水面高度恰好rR升高 ，则 r3r3r答案：2解析：由题意可列出体积公式为：r 4p3 3pR2rR=3 ，解得 2.r14被誉为“数学之神”之称

22、的阿基米德（前 287前 212），是古希腊伟大的物理学家、数学家、天文学家，他最早利用逼近的思想证明了如下结论：抛物线的弦与抛物线所围成的封闭图形的面积，等于抛物线的弦与经过弦的端点的两条切线所围成的三角形面积的三分之二这个结论就是著名的阿基米德定理，其中的三角形被称为阿基米德三角形在高三数学试题第 9页 1x2平面直角坐标系 xOy 中，已知直线 l：y4 与抛物线 C：y 交于 A，B 两点，则弦4AB 与抛物线 C 所围成的封闭图形的面积为64答案：3解析：由题意可求出 A，B 点的坐标分别为 A(4，4)，B(4，4)，且求得在 A，B 两点的切线方程分别为：y2x4，y2x4，两直

23、线交点为(0，4)，则弦 AB 与两切线构188成的三角形的面积为，则弦 AB 与抛物线 C 所围成的封闭图形的面积为2122 648 8 =.3 315已知数列a 的各项均为正数，其前 n 项和为 S ，且 2S a a ，nN*，则 a4；nnnn n 12，则 S (本题第一空 2 分，第二空 3 分)若 a120答案：4；220a a 可得 2S a a ，两式相减得 2a a (a a )，由数列a 解析：由 2Snn n 1n 1n 1 n 2n 1n 1 n 2nna 2，令 n=1，则有 2S 2a a a ，解得 a 2，所的各项均为正数，可得到 an 2n111 224；若

24、 a 2，则 a 4，即奇数列与偶数列均为首项为 2，公差为 2 的等差数列，以 a41310 910 22 +2 220.可求得 S20216若不等式(ax2bx1)ex1 对一切 xR 恒成立，其中 a，bR，e 为自然对数的底数，则 ab 的取值范围是答案：(，1解析：可设 f(x)=(ax bx1)e ，可知 f(0)=1，又由一切 xR 时，(ax bx1)e1 恒成立，x2x2则得到 0 为函数 f(x)取得最大值的点，也是极大值点，则由 f(x)=ax (2a+b)xb1e ，2xf(0)=b1=0，解 得 b=1，所以 f(x)=(axx1)e ，f(x)=ax2a1xe ，所

25、以当 a=02xx上单调递减，可得 f(x)f(0)，满足题1 2a( )- ，0( )0，+ 时，可得到 f(x)在上单调递增，在1 2a- -( )0- ，0，+ 上单调递增,在意；当 a0 时，f(x)在上单调递减，在aa1- 2ax1，则可得 f(x)f(0)，时，ax x10，则 f(x)=(ax bx1)e上单调递减，且在22xa满足题意；综上，a0，b=1，则 ab(，1高三数学试题第 10页 四、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤17（本小题满分 10 分）已知向量 m(2cosx，1)，n( 3si

26、nx，2cos2x)，xR设函数 f(x)mn1（1）求函数 f(x)的最小正周期； 7，且 f()8（2）若 ，求 cos2的值3 125解析：因为 m(2cosx，1)，n( 3sinx，2cos2x)，所以 f(x)mn12 3sinxcosx2cos2x1)6 4 分 5 分 3sin2xcos2x2sin(2x2（1）T 28)4（2）由 f() ，得 sin(2565 7，得 2 ，由 ，3 12264)631sin (2 ) 1( )所以 cos(2 ， 7 分22565 6)sin66) cos(2 )cos从而 cos2cos(2sin(26 663 3 4 143 3 10

27、 分5 2 5 21018（本小题满分 12 分）是公比为 2 的等比数列，其前 n 项和为 S 已知数列ann7S 2S 2，S a 4a 这三个条件中任选一个，补充到上述，a（1）在S1323 32 34的通项公式，并判断此时数列a 是否满足条件 P：任 意 m，nN*，aa题干中求数列annm n均为数列an中的项，说明理由；满足 b n(a 1)的前 n 项和 T ，nN ，求数列b（2）设数列bnnnannnn1*注：在第（1）问中，如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分解析：（1）选，S 2S 2，因为 S132S S S 2，即 a a 2，所以 S322132高三数学试题第

28、 11页 又数列an是公比为 2 的等比数列，2a 2，解得 a 1，所以 4a111因此 an12 2 4 分2n 1n 1a 2 2此时任意 m，nN ，a，m n 2 *m 1 n 1m na 是数列a 的第 mn1 项，由于 mn1N ，所以 a*m nn因此数列an满足条件 P7 分选，77a a ，即 a1因为 S，3 323 3又数列an是公比为 2 的等比数列，712a 4a ，所以 a1，解得 a11 31 31 2因此 an 1 4 分n 32a a ，即 a a 不为数列a 中的项，此时 aa11 2 9n1 2n因此数列an不满足条件 P 7 分选，a 4a ，因为 a

29、2 34又数列an是公比为 2 的等比数列，4a 48a ，又 a 0，故 a 4，所以 2a11111因此 an42 2 4 分n 1n 1a 2 2此时任意 m，nN ，a2，m n 2 *m 1 n 1m n由于 mn1N ，所以 a*a 是为数列a 的第 mn1 项，m nn因此数列an满足条件 P7 分（2）因为数列an是公比为 2 的等比数列，a所以 n 12，因此 bnn2n1an所以 Tn12 22 32 n2 ，012n1则 2Tn1222 (n1)2 n2 ，12n1n两式相减得Tn12 2 2 n210 分12n1n12n12n2n(1n)2 1，n高三数学试题第 12页

30、 所以 Tn(n1)2n119（本小题满分 12 分）12 分为调查某校学生的课外阅读情况，随机抽取了该校 100 名学生（男生 60 人，女生 40人），统计了他们的课外阅读达标情况（一个学期中课外阅读是否达到规定时间），结果如下：是否达标不达标达标性别男生女生36102430（1）是否有 99%的把握认为课外阅读达标与性别有关？n(adbc)2附： ，2(ab)(cd)(ac)(bd)0.0503.8410.0255.0240.0106.6350.0057.8790.001k10.828（2）如果用这 100 名学生生中男生和女生课外阅读“达标”的频率分别代替该校男生和女生课外阅读“达标”

31、的概率，且每位学生是否“达标”相互独立现从该校学生中随机抽取 3人（2 男 1 女），设随机变量 X 表示“3 人中课外阅读达标的人数 ”，试求 X 的分布列和数学期望解析：（1）假设 H0：课外阅读达标与性别无关，根据列联表，求得2450207100(36302410)2211.8366.635，(3624)(1030)(3610)(2430)成立时， 6.635 的概率约为 0.01，因为当 H02所以有 99%以上的把握认为课外阅读达标与性别有关 4 分（2）记事件 A 为：从该校男生中随机抽取 1 人，课外阅读达标；事件 B 为：从该校女生中随机抽取 1 人，课外阅读达标24由题意知：

32、P(A) ，P(B) 60 403023 6 分54随机变量 X 的取值可能为 0，1，2，3239P(X0)(1 )2(1 )，541002233239P(X1)C (1 )(1 ) (1 )122，55445100高三数学试题第 13页 2322 3 2P(X2)( )2(1 )C1 (1 ) ，5 4 525452 3 3P(X3)( )2 5 4 25所以随机变量 X 的分布列为：XP012393925310010025 10 分 12 分93923期望 E(X)012 31001005251.5520（本小题满分 12 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，平面 PAD平面 ABCD，

33、AD/BC，ABBCPA1，AD2，PADDAB90，点 E 在棱 PC 上，设 CECP（1）求证：CDAE；P（2）记二面角 CAED 的平面角为，E10且|cos|，求实数的值5ADBC解析：（1）证明：因为PAD90，所以 PAAD因为平面 PAD平面 ABCD，平面 PAD平面 ABCDAD，PA平面 PAD，所以 PA平面 ABCD 2 分又 CD平面 ABCD，所以 CDPA在四边形 ABCD 中，AD/BC，DAB90，所以ABC90，又 ABBC1，所以ABC 是等腰直角三角形，即BACCAD45，AC 2在CAD 中，CAD45，AC 2，AD2，所以 CD AC AD 2

34、ACADcosCAD 2，从而 AC CD 4AD 22222所以 CDAC 4 分又 ACP AA，AC，PA平面 PAC，所以 CD平面 PAC又 AE平面 PAC，所以 CDAE 6 分（2）解：因为 P A平面 ABCD，BAAD，高三数学试题第 14页 AB，AD，AP为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系故以因为 ABBCPA1，AD2，所以 A(0，0，0)，P(0，0，1)，C(1，1，0)，D(0，2，0)，CD(1，1，0)，AD(0，2，0)则因为点 E 在棱 PC 上，且 CECP， CECP，所以设 E(x，y，z)，则(x1，y1，z)(1，1，1)，AE(1，1，)故 E(1，1，)，所以CD(1，1，0)由（1）知，CD平面 PAC，所以平面 ACE 的一个法向量为 n，y ，z )，设平面 AED 的法向量为 m(x111m AE0，(1)x (1)y z 0，111由得y 0，m AD0，1令 z11，所以平面 AED 的一个法向量为 m(，0，1) 9 分10m n|y因此 |cos|cos|，|m|n|2 52(1)22化简得 3 840，解得