湖南省岳阳市2020届高三第一次模拟考试理科数学试题逐题精品解析.docx

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1、 逐题精品解析2020 年湖南省岳阳市高考高三数学一模试卷（理科）一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）= x | -3 x 3, B = x | x - 4x -5 0=1设全集为 R ，集合 A2，则(-3, 3)DAI B（）R(-3, 0)(-3, -1(-3, -1)CAB答案为：BC B =x -15，解析如下：由题首先计算集合 B 的补集然后与集合 A 取交集即可由题或 xRAI B =( -3,-1，故选 BR(1+ 2i )z = 3-4i=2已知复数 满足，则 z（）z5A 2B5C 5D2答案为：

2、C( )( )3- 4i 1- 2i-5-10iz = -1- 2i , -1- 2i = 5,故选 .解析如下： ( )( )C1+ 2i 1- 2i5a，b，c= -lna ，e-b = -lnb ，e-c = lnc ，则（3设均为正数，且ea）a b c b ac a bCb a cAcBD答案为：D解析如下：在同一坐标系中分别画出 y= e , y = ey =ln x= -lny = exx 的图象， 与， yx-xy = -ln x 的交点的横坐标为a ， y= e= -lny = ex 的图象的交点的横坐标为b ， 与与 y-x-xy = ln x 0且 t 1)为常数，则 P

3、 点的表成果之一：平面上一点 P 到两定点的距离之满足| PB |11轨迹为圆已知圆O ： x + y =1和 A(- ,0) ，若定点 B(b,0) （b - ）和常数l 满足：对圆2222| MB| = | MA|l=DO 上任意一点 M ，都有，则l， MAB 面积的最大值为 逐题精品解析34答案为：2 ，1(x, y)| MB |= | MA |( - ) + = ( + ) + 解析如下：设点 M，由l，得x b2y2l x22y2 ，整理得212l2b-2b + l24= 0，yx2+ y2-x +1- l21- l2M2 + lb2= 01- l2BAOx=2 ，b = -2l解

4、得1所以l2b -24= -1 1-l234(0,1) M (0, -1) (或 时， S) =DMAB max如右图，当 M三、解答题（本大题共 7 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）（一）必考题：共 60 分DABCacsin A = 3 sin B中，角 A ， ， 的对边分别为 ， ， ，BC b17（本小题满分 12 分）在且 = .b c（1）求角 A 的大小；（2）若 a =2 3，角 的平分线交BACD于点 D，求 ABD 的面积.解析如下：（1）由sin A = 3 sin B 及正弦定理知a = 3b，2 分= c又b，由余弦定理得b2+ c2- a

5、2b2+ b2b22-3b21cosA = -.4 分5 分6 分2bc22p( )A 0,p，A=.3p= C =（2）由（1）知 B，6又 a =2 3D= 2，在 ABC 中，由正弦定理知： AB ，8 分ABADpp=ABD=， D =DABD在中，由正弦定理及sin D sin ABD124解得 AD =3 -1，10 分12 分3- 3故 S=.2DABD18. （本小题满分 12 分 ）如图，在三棱锥 P- ABC 中，D PAC为正三角形，M 为棱 PA 的中点，1AB AC ， AC=BC ，平面 PAB 平面 PAC2PAC ；（1）求证：平面 ABC平面21（2）若Q 是

6、棱 AB 上一点， PQ 与平面 ABC 所成角的正弦值为，求二面角Q- MC - A的7正弦值 逐题精品解析PMCAQB解析如下：（1） 因为D PAC 为正三角形， M 为棱 PA 的中点，所以CM PA 1 分PAC= PA又平面 PAB 平面 PAC ，且平面 PAB I 平面所以CM 平面 PAB3 分= C所以CM AB ，又 AB AC ，且 AC I CM所以 AB 平面 PAC ，又 AB 平面 ABCPAC5 分所以平面 ABC平面（2） 作 AC 中点O ，连OP ，由（1）及OP AC 可知OP 平面ABCx, zy以O 为坐标原点，OA,OP分别为轴，过O 且平行于

7、AB 的方向为 轴，如图，建立空间直角坐标系zPCMOAxyQB= 2设 AC则O(0，0，0) , P(0，0， 3) ,A(1，0，0) , C(- 1，0，0),13M ( , 0， ) , B(1,2 3,0) ，6 分22uuuruuuruuurQ(1,2 3l ,0) PQ = (1,2 3l ,- 3)设 AQ l AB ，则,7 分ur= (0,0,1)设平面 ABC 的法向量为n，1217因为 PQ 与平面 ABC 所成角的正弦值为ur uuur| n gPQ |2173211=l =，解得ur uuur1所以，即| n | PQ |7212 + 4l21(1, 3,0)即Q

8、 为的中点，则Q9 分ABuur= ( , , )设平面QMC 的法向量为nx y z ，则2uur uuurn gCQ(x, y, z)g(2, 3,0) = 0=0 2x+3y=0uur2uuuur n gCM，即，( , , ) ( ,0, 3) = 03= 0z3 + 3 = 0 x y z g x222 逐题精品解析uur= ( 3,- 2,- 3)取 n2设平面10 分uuruur= (0,1,0)的法向量为n ，则nAMC33u ur u urn gnur uur1则二面角Q- MC - A 的余弦值为cosq = - u=11 分12 分23| n | n | 2233故sin

9、q =2x2y2: + =1(a b 0)经过点19（本小题满分 12 分）在平面直角坐标系中，已知椭圆 ExOya2b2( )P 2，2 ，离心率为22（1）求 的方程；EA,B, kk + k =0（2）过点 P 斜率为 k的两条直线分别交椭圆 E 于两点，且满足1212证明：直线 AB 的斜率为定值2x2y2k=AB解析如下：（1）+= 1（2）842b 1cb222= = 1- =（1） 依题意，e，所以1 分2a 22aa2( )422，21+= ，2 分4 分5 分又椭圆 E 过点 P，所以a2b2=8，b =4 ，解得a22x2y2+= 1所以椭圆 的方程为E84(x ,y )

10、B(x ,y )= ( - 2) + 2， AP 的方程为 y k x（2） 方法一：设 A，1122= k(x - 2) + 2y由 ，消去 y 得+ 2y = 8x22(2k +1)x - (8k - 4 2k)x + 8k -8 2k - 4 = 022227 分8k - 4 2k2+ x = x + 2 =所以 x2k +11P124k - 4 2k - 22=所以 x8 分9 分2k +1124k +4 2k - 22又因为直线 PA, PB的斜率互为相反数， x=2k +122 逐题精品解析y - y (-kx + 2k + 2) - (kx - 2k + 2)k =AB=2121

11、x - xx - x2121-k(x + x ) + 4k=21x - x218k - 42(-k) + 4k2k +128 2k2k +122=22所以直线 AB 的斜率为定值12 分2(x , y ) , B(x , y )= +， AB 的方程为 y kx m ，方法二：设 A1122y = kx + m由 ，消去 y 得：+ 2y = 8x22(2k +1)x + 4kmx + 2m -8 = 00D 7 分8 分222，且-4km2m -82x + x =, x x =,2k +12k +11221 22y - 2 y - 2k + k =+12x - 2x - 22PAPB19 分

12、10 分2kx x + (m - 2 - 2k)(x + x ) - 4(m - 2)=1 212(x - 2)(x - 2)12恒成立，所以+ k = 0PB由 kPA2kx x + (m - 2 - 2k)(x + x ) - 4(m - 2)=0恒成立1 2122m -8-4km22k + (m - 2 - 2k)- 4(m - 2) = 0即恒成立2k +12k +122即 m( 2k -1)+ 2 2k2 - 4k + 2 = 0恒成立11 分12 分2=所以 k2( )a= ln x + + xx20. （本小题满分 12 分）已知函数 f x( )f x（1）讨论函数（2）对任意

13、的的单调性；1 ( )x ,+ 0)（1） f，1 分2 分x x2( ) 0，则 f xx2( )f x 0 0在(0, +)上递增；若 a若 a，所以函数，方程 x2 + x - a = 0 的判别式为1+ 4a 0， 逐题精品解析所以方程有两根分别为-1- 1+ 4a-1+ 1+ 4ax = 0，3 分2212( )( )x 0,x( ) 0f x ，所以当时，；当时，22-1+ 1+ 4a-1+ 1+ 4a( )f x 0,+上递减；在函数在上递增.225 分1(x) e + xx ,+（2）不等式 xf2，对任意的 恒成立，x21x ,+即 a e - x ln x 对任意的6 分

14、恒成立x2(x) = e - xln xv(x) = e -ln x -1，令v，则xx1(x) = e -ln x -1( ) = -令j，则j x e，7 分xxx121,+j ( )易知 x 在上单调递增，1 12= - 2 0j ( )，且 x 的图象在jee,1因为 ，上不间断，22 1x ,1( ) = 0j x所以存在唯一的 ，使得，2001e - = 0= -ln xx即 x0，则9 分x0001x , xj( )j( )时， x 单调递减；当x x( ,+)时，x单调递增10 分当2 00j( )=x x则 x 在0处取得最小值，11(x ) = e -ln x -1= +

15、x -1 2 x -1且最小值为jx0= 1 0，00x000x011 分11 11( ) 0所以v x( ),+，即v x 在上单调递增，所以v(x) e - ln .222 21 11所以 a e -ln12 分22 221（本小题满分 12 分）某产品自生产并投入市场以来，生产企业为确保产品质量，决定邀请第三 8方检测机构对产品进行质量检测，并依据质量指标 Z 来衡量产品的质量.当 Z时，产品为优等品；时，产品为二等品.第三方检测机构在该产品中随机抽6 Z 8 时，产品为一等品；当2 Z 0 ，所以获胜概率更大，3232324950 故此方案能吸引顾客购买该款产品.12 分（二）选考题：

16、共 10 分请考生在第 22,23 题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分pq= 2交于点 A，椭圆 E 的方程r22（本小题满分 10 分）在极坐标系中，射线 ：与圆 ：Cl=63xOy=，以极点为原点，极轴为 轴正半轴建立平面直角标系x为：2.1+ 2sin 2（1）求点 A的直角坐标和椭圆 E 的直角坐标方程；uuur uuuurAB gAM（2）若 B 为椭圆 E 的下顶点， M 为椭圆 E 上任意一点，求的最大值.解析如下： 逐题精品解析p p qr 22,=A（1）射线 ：与圆 ：C交于点 ，l66( )3,1点 的直角坐标A；2 分3x22椭圆 的方程为E=，直角坐标方程

17、为5+ y = 1， 分21+ 2sin 323 cosq =x（2）由（1）椭圆 的参数方程为（q 为参数）.E= sinqy()M 3 cosq,sin q，设6 分( )B 0,-1，( ) ()uuur ABuuuurAM = 3 cos -= - 3, -2uuur uuuurq3,sin q 1-，( )7 分()AB AM = -3cos + -q 3 2 sinq 1-+ +13sin q j 5= -， 9 分( )sin q +j = -1uuur uuuurAB AM13 + 5.10 分当时，的最大值为( )( )= x + a + 2 x -1 a 023（本小题满分

18、 10 分）已知函数 f x.( ) 4的解集；（1）当a=1时，求不等式 f x( ) f x 4-2xx -3, -1恒成立，求 的取值范围.（2）若不等式解析如下：对任意的a( )f x = x +1 + 2 x -1（1）当a = 1时， -1-11x( )f x 4故等价于或或，2 分5 分-3x +1 4-x +3 43x -1 45解得 x.35( )f x 4| x x.故不等式的解集为3 x -3,-1( )f x 4-2x x + a + 2- 2x + 2x - 4 0，（2）当时，由得 x -3,-1x 对任意的x + a 2 2 -x 或a 0，所以a 5又 a，( )5,+a综上， 的取值范围为.10 分 逐题精品解析逐题精品解析p p qr 22,=A（1）射线 ：与圆