【精准解析】广东省广州市越秀区2019-2020学年高二上学期期末考试数学试题.docx

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1、 2019-2020 学年广东省广州市越秀区高二（上）期末数学试卷一、选择题1.抛物线 = 的焦点坐标是（ ）y2x1A. ( ,0)21B. ( ,0)41C. (0, )21D. (0, )4【答案】B【解析】11=( ,0)4由抛物线的方程 = ，可知 p，所以抛物线的焦点坐标为，故选 B.yx22x2 y22.双曲线-16 9=1的一条渐近线方程是（）- 4y = 09x -16y = 0A. 3xB. 4x- 3y = 0C.D.16x - 9y = 0【答案】A【解析】【分析】直接由双曲线的渐近线的定义可得渐近线的方程【详解】解：由双曲线的方程可得a =16 ，b = 9 ，焦点在

2、 x 轴上，所以渐近线的方程为：22b3y = x = x ，即3x 4y = 0，a4故选：A【点睛】本题考查双曲线的渐近线方程的求法，属于基础题3.命题“若a ，b 都是偶数，则a+bA. 若a ，b 都 偶数，则a+b是偶数”的否命题是()不是偶数a+b不是偶数a bB. 若 ， 都是偶数，则a+b不是偶数a bC. 若 ， 不全是偶数，则D. 若a+b【答案】C【解析】【分析】a b不是偶数，则 ， 不全是偶数根据命题的否定和命题之间的关系确定结论即可- 1 - 【详解】解：否命题就是对原命题的条件和结论同时进行否定，则命题“若a ，b 都是偶数，则a+b是偶数”的否命题为：若a ，b

3、 不全是偶数，则a+b不是偶数故选：C【点睛】本题主要考查四种命题之间的关系，属于基础题x2y24.设a 0，b 0 ，则“b a ”是“椭圆+ =1的焦点在y轴上”的（）a b22A. 充分不必要条件C. 充分必要条件【答案】CB. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件【解析】【分析】y利用椭圆的焦点在 轴上的充要条件即可得出x2y2【详解】解：“b a” “椭圆+ =1的焦点在y轴上”，a b22x2y2“b a”是“椭圆+ =1的焦点在y轴上”的充要条件a b22故选：Cy【点睛】本题考查了椭圆的焦点在 轴上的充要条件，考查了推理能力与计算能力，属于基础题5.甲、乙两人下棋，两人下成

4、和棋的概率是 0.5，甲获胜的概率是 0.2，则乙不输的概率是（）A. 0.8B. 0.7C. 0.3D. 0.2【答案】A【解析】【分析】利用互斥事件概率加法公式直接求解【详解】解：甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是0.5，甲获胜的概率是0.2，乙不输的概率是：p =1- 0.2 = 0.8故选：A- 1 - 【点睛】本题考查概率的求法，考查互斥事件概率加法公式等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题6.对一批产品的长度（单位：毫米）进行抽样检测，如图为检测结果的频率分布直方图根据标准，产品长度在区间20,25)上为一等品，在区间10,15) 25,30)和 为二等品，在区间10,15)

5、和30,35)为三等品用频率估计概率，现从这批产品中随机抽取 1 件，则其为三等品的概率是（）A. 0.03B. 0.05C. 0.15D. 0.25【答案】D【解析】【分析】+ 0.03)5 = 0.25 ，由此能求出由频率分布直方图得在区间10,15) 和30,35)的频率为(0.02从这批产品中随机抽取 1 件，其为三等品的概率10,15) 30,35)为三等品，【详解】解：在区间由频率分布直方图得：和10,15) 30,35)的频率为(0.02 + 0.03)5 = 0.25和 ，在区间从这批产品中随机抽取 1 件，其为三等品的概率是0.25故选：D【点睛】本题考查概率的求法，考查频率

6、分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题7.如图， 四面体OABC 中， ， ，则（）OM = 2MA BN = NCMN =- 1 - 1A. OA112321+ OB- OCOA+ OB- OCB.D.222321C. OA21211- OB+ OC- OA+ OB+ OC232322【答案】D【解析】【分析】由已知直接利用向量的加减法运算得答案【详解】解： ， ，OM = 2MA BN = NC12= ON-OM = (OB+ OC) - OA MN23211= - OA+ OB+ OC322故选：D【点睛】本题考查空间向量基本定理，属于基础题- A B C D=中，AD

7、 CD 1，DD = 2DBBC8.长方体 ABCD，则直线与直线所成角的1111111余弦值为（）30A.101070103 1010B.C.D.10【答案】A【解析】【分析】- 1 - ， DD 所在直线为 x ， ， z 轴建立空间直角坐标系，y以 为坐标原点，分别以D，DADC1然后利用空间向量求解【详解】解：以 D 为坐标原点，分别以 D A，D C， DD 所在直线为 x，y，z 轴建立空间直角坐1标系，则 D(0,0,0) ， B(1,1,0)， B(1,1,2) C (0,1,2)，11由=，= -DB (1,1,2) BC ( 1,0, 2)，11DB BC330cos =1

8、16 5 1011| DB | BC |113010得直线 DB 与直线 BC 所成角的余弦值为11故选：A【点睛】本题考查利用空间向量求解空间角，属于中档题9.随机掷两枚质地均匀的骰子，它们向上的点数之和不大于6 的概率记为 p ，点数之和大于1pp6 的概率记为 ，点数之和为奇数的概率记为 ，则（）23 p pp p pp p pA. pB.C.D.123132213p p p312【答案】B【解析】- 1 - 【分析】使用列举法求出三个概率，再比较大小【详解】解：随机掷两枚质地均匀的骰子共有 36 个基本事件，它们发生的可能性相等其中向上的点数和不大于 6 的基本事件共有 15 个，(1

9、,1) (1,2) (1,3)， ，(2,1) ，(2, 2)，(2,3) ，(2, 4)，(3,1)，(3, 2)分别是，(1,4) ，(1,5) ，15 5(3,3) ，(4, 2)，(5,1)， =36 12(4,1)P1(1,6) (2,5) (2,6) (3, 4) (3,5) (3,6)，点数之和大于 6 的基本事件共有 21 个，分别是，(4,3) ，(4, 4)，(4,5) ，(4,6) ，(5, 2) ，(5,3) ，(5, 4) ，(5,5) ，(5,6) ，(6,1) ，(6, 2) ，(6,3) ，21 7(6, 4) ，(6,5) ，(6,6) =36 12P21=由

10、于骰子的点数奇偶数相同，故点数之和为偶数的概率P3 2 p p 92 ，7所以x 8，190 + (-1+ 0 +1+ 2 + 4 + 5+ x) = 92计算剩余 7 个数的平均值为，7解得x = 3；所以 7 个剩余分数的方差为：1s2 = (89- 92) + (90 - 92) + (91- 92)2227+(92 - 92) + (93- 92) + (94 - 92) + (95 - 92) = 42222所以标准差为s = 2- 1 - 故选：B【点睛】本题考查了利用茎叶图求平均数和方差、标准差的应用问题，也考查了运算求解能力，属于基础题12.已知圆锥曲线 C 的方程是5x2-

11、6xy + 5y = 8，则下列命题中是假命题的是（）210 10,-A. 曲线C 上的点的横坐标 x 的取值范围是22y = xB. 曲线 C 关于直线对称C. 曲线 C 上的点到曲线 C 的对称中心的最远距离为 21D. 曲线 C 的离心率是2【答案】D【解析】【分析】y由关于 的二次方程5y- 6xy + 5x -8 = 0x有实数解，运用判别式非负，解得 的范围，可22- x yx =y =2y yxx判断 A；将 换为 ， 换为 ，方程不变，可判断 ；由旋转变换公式可得，B+ x y2代入原方程化简可得椭圆方程，由椭圆的性质可判断 ， CD- 6xy + 5y = 8，可看做关于 y

12、 的二次方程5y - 6xy + 5x -8 = 0【详解】解：方程5x2，222102102D = 36x - 45(5x -8) 0 ，解得-根据方程有实数解的条件可得，故 A 正x22确；= x将 x 换为 y，y 换为 x，可得方程5x2- 6xy + 5y = 8不变，则圆锥曲线 C 关于直线y对称；2-y-x- + =，可得方程5x 6xy 5y 8不变，则圆锥曲线 C 关于直线同样将 x 换为 ，y 换为22y =-x对称，故 B 正确；- 1 - - x yx =y =2由旋转变换公式可得，代入曲线 C 的方程可得+ x y2( )( )x - y2x- y x + yx y+

13、2+，5- 65= 82222x2+ y =1，即为椭圆方程，且长轴长为 4，即曲线 C 上的点到曲线 C 的对称中心 O 的化为244 -13=最远距离为 2，离心率为e，故 C 正确，D 错误42故选：D【点睛】本题考查圆锥曲线的方程和性质，考查化简变形能力和运算能力、推理能力，以及数形结合思想，属于难题二、填空题+1 013.命题“$ ， x”的否定是_xR200 R+ ，使 x 1 0【答案】对任意 x200【解析】【分析】本题中所给的命题是一个特称命题，其否定是一个全称命题，按规则写出其否定即可. R+ ，使 x 1 0 ”是一个特称命题【详解】解：命题“存在 x200 R+ x R

14、，使 x 1 0 ”的否定是“对任意+ ，使 x 1 0 ”命题“存在 x220000- 1 - R+ ，使 x 1 0故答案为：对任意 x200【点睛】本题考查命题的否定，正确解答本题，关键是掌握住命题的否定的定义及书写规则，对于两特殊命题特称命题与全称命题的否定，注意变换量词14.一支田径队有男运动员 40 人，女运动员 30 人，按男女比例用分层抽样的方法，从全体运动员中抽取一个容量为 21 的样本，那么应抽取男运动员的人数是_【答案】12【解析】【分析】先求出男运动员的人数占的比例，再用样本容量乘以此比例，即为所求404=【详解】解：男运动员的人数占的比例为，40 + 30 74 =1

15、2故应抽取的男运动员的人数为21人，7故答案为：12【点睛】本题主要考查分层抽样，属于基础题A(1,2,0)，则点 B 的坐标是_15.已知点和向量 =a (3, 4, 12)-，若= 2aAB- 24)【答案】(7,10,【解析】【分析】y-，z) (6 ，8， 24) ，设 B(x ， ，z)，由向量坐标运算法则和向量相等的定义得(x 1，y 2=-由此能求出 点坐标BA(1,2,0)【详解】解：点和向量 =a (3, 4, 12)-，= 2a，AB-1, y - 2, z) = (6,8, -24)B(x, y, z) ，则(x设，= 7，y 10=， z- 24)解得 x= -24，点

16、 B 的坐标(7,10,- 24)故答案 ：(7,10,【点睛】本题考查点的坐标的求法，考查向量坐标运算法则和向量相等的定义等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题- 1 - 16.在相距 1000m 的 A、B 两哨所，听到炮弹爆炸声音的时间相距2s，已知声速 340m/s以 AB的中点 O 为原点，AB 所在直线为 x 轴，建立平面直角坐标系xOy ，则炮弹爆炸点所在曲线的方程为_x2y2-115600 134400=1【答案】【解析】【分析】由题意可得双曲线的中心在原点，焦点在 x 轴上，且由双曲线的定义可得a ， 的值，再由 ，cac， 之间的关系进而求出双曲线的方程b=1000 2a

17、 = 2340， ，【详解】解：由题意可得双曲线的焦点在 x 轴上，中心在原点，且2c= 500 a = 340，即c，所以b = c - a = 500 - 340 =134400 ， a =115600 ，222222x2y2-115600 134400=1；所以双曲线的方程为：x2y2-115600 134400=1故答案为：【点睛】考查由双曲线的定义求标准方程的求法，属于基本知识直接应用题，双基考查题，属于基础题三、解答题17.一个盒子里装有标号为 1，2，4，8 的 4 张标签（1）从盒中不放回地随机取两张标签，求取出的标签上的数字之和不大于5 的概率（2）从盒中有放回地随机取两张标

18、签，求第一次取出的标签上的数字小于第二次取出的标签上的数字的概率1【答案】（1） （2）338【解析】【分析】= C = 6（1）从盒中不放回地随机取两张标签，基本事件总数n，利用列举法取出的标签上24的数字之和不大于 5 包含的基本事件有 2 个，由此能求出取出的标签上的数字之和不大于 5- 1 - 的概率= 44 =16（2）从盒中有放回地随机取两张标签，基本事件n，第一次取出的标签上的数字小于第二次取出的标签上的数字包含的基本事件有6 个，由此能求出第一次取出的标签上的数字小于第二次取出的标签上的数字的概率【详解】解：（1）一个盒子里装有标号为 1，2，4，8 的 4 张标签从盒中不放回

19、地随机取两张标签，= C = 6基本事件总数n，24取出的标签上的数字之和不大于 5 包含的基本事件有：（1，2），（1，4），共 2 个，2 1= =取出的标签上的数字之和不大于 5 的概率 p6 3（2）从盒中有放回地随机取两张标签，= 44 =16基本事件n，第一次取出的标签上的数字小于第二次取出的标签上的数字包含的基本事件有：（1，2），（1，4），（1，8），（2，4），（2，8），（4，8），共 6 个，6 3第一次取出的标签上的数字小于第二次取出的标签上的数字的概率p16 8【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题18.某家庭记录了使用节水

20、龙头 100 天的日用水量数据，得到频数分布表如下：0.2,0.3)日用水量频数21026203210（1）作出使用了节水龙头 100 天的日用水量数据的频率分布直方图- 1 - （2）估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于04 m 的概率3（3）求该家庭使用节水龙头的日用水量的中位数的估计值（结果精确到 001）【答案】（1）见解析（2）0.58（3）0.36【解析】【分析】（1）由频数分布表能作出使用节水龙头 100 天的日用水量数据的频率分布直方图（2）由频数分布表能估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于0.4m 的概率3+1+ 2.6)0.1 = 0.38（3）由频率分布直方图得0 ，

21、0.3) 的频率为(0.2，0.3，0.4) 的频率为20.1= 0.2，由此能求出该家庭使用节水龙头的日用水量的中位数的估计值【详解】解：（1）由频数分布表作出使用了节水龙头 100 天的日用水量数据的频率分布直方图如下：（2）估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于04 m 的概率为：32 +10 + 26 + 20P = 0.58100（3）由频率分布直方图得：0,0.3) 的频率为(0.2 +1+ 2.6)0.1 = 0.38，- 1 - 20.1= 0.2，0.3,0.4) 的频率为该家庭使用节水龙头的日用水量的中位数的估计值（结果精确到001）为：0.5- 0.380.3+0.1=

22、0.36 0.2【点睛】本题考查频率分布直方图的作法，考查概率、中位数的求法，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题- A B CAA 19.如图，在三棱柱 ABC中，平面 ABC，AC BC= BC = AA = 2 D， AC ，11111为的中点C D AD（1）求证：；1A - C D - A（2）求二面角的正切值11【答案】（1）见解析（2）2【解析】分析】 AA C D A BC D ABB A1（1）推导出C D，从而平面，由此能证明C D AD11111111【（2）以 为原点，CA为 x 轴，CB 为 轴，y为 z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量C

23、CC1A - C D - A法能求出二面角的正切值11- A B CAA 【详解】（1）证明：在三棱柱 ABC中，平面 ABC，1111= BC = AA = 2 D， 为的中点AC BC， AC1 AA C D A B，C D，1111 1= AC D AA A B，平面 ABB A ，1111111C D AD AD 平面 ABB A ，111- 1 - （2）解：以 C 为原点，CA 为 x 轴，CB 为 y 轴，CC 为 z 轴，建立空间直角坐标系，1则 A(2,0,0) ， A(2,0, 2) C (0,0,2) B (0,2,2) D(1,1,2)，111AC = (-2,0, 2

24、) AD = (-1,1,2)，1设平面 ADC 的法向量 =，n (x, y, z)1 AC = -2x + 2z = 0n1x=1，得 = -，则，取n (1, 1,1) AD = -x + y + 2z = 0n平面 AC D 的法向量 =，m (0,0,1)11A - C D - A设二面角的平面角为q ，11 | m n |112cosq =q = - =，sin 1则，333| m | n |sinqA - C D - Atanq= 2二面角的正切值为cosq11【点睛】本题考查线线垂直的证明，考查二面角的正切值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解

25、能力，属于中档题= 4与抛物线C : y = 2px（ p 0）相交于 A，B 两点，且是等腰直角OAB20.已知直线 x2三角形（1）求抛物线 C 的方程；（2）若直线 l 过定点(-2,1)，斜率为 k，当 k 为何值时，直线 l 与抛物线 C 只有一个公共点？- 1 - 12= 4x= -（2） k 0或k 1或 k=【答案】（1） y2【解析】【分析】= 4代入抛物线的方程，求得 ， 的坐标，由等腰直角三角形的性质可得OA OB ，A B（1）将 x再由两直线垂直的条件，解方程可得 p ，进而得到抛物线的方程；= 0，又直线和抛物线相切，联立直线（2）由题意可得直线 与抛物线的对称轴平

26、行，可得kl方程和抛物线方程，运用判别式为 0，可得所求值【详解】解：（1）直线 x2（ p 0）相交于 A，B 两点，= 4与抛物线C : y = 2px 可设 A(4,2 2p)， B(4,-2 2p)，又则是等腰直角三角形，可得OAOAB OB，2 2 p -2 2 p= 2，= -1，解得 p44= 4x即有抛物线的方程为 y2；（2）直线 l 过定点( - 2,1)y -1= k(x + 2)，斜率为 ，可设直线 的方程为 ，kl= 0当直线 l 平行于抛物线的对称轴 x 轴，可得直线与抛物线只有一个公共点，即k；当直线 l 与抛物线相切时，可得直线与抛物线只有一个公共点，y = k

27、x +1+ 2k+2k(1+ 2k) - 4x + (1+ 2k) = 0 ，k 0，由 可得k x222y = 4x 2()21=D = 2k(1+ 2k) - 4 - 4k (1+ 2k) =16 1- k - 2k = 0= -由，解得k 1或 k，222212= 0= -或 k 1或 k=综上可得k，直线 l 与抛物线 C 只有一个公共点【点睛】本题考查抛物线的方程和性质，考查直线和抛物线的位置关系，主要是直线和抛物线有交点，考查方程思想和运算能力，属于中档题- ABCDABCD 为矩形， PAD是等边三角形，平面PAD21.如图，四棱锥 P中，底面平面 ABCD， 为 PA 的中点E

28、- 1 - （1）求证：平面 PAB ；DE= 6 AD = 3， ，试问在线段 DE 上是否存在点 Q，使得直线 BQ 与平面 PCD 所成角（2）若 AB33的正弦值为？若存在，求出此时 DQ 的长；若不存在，请说明理由229 3【答案】（1）见解析（2）存在，DQ 的长为8【解析】【分析】（1）由已知证明 AB 平面AB DEDE PA，再由 ，结合线面垂直的判定可，则PAD得平面 PAB ；DE ADO（2）取 AD 中点O，则OP，则OP 底面 ABCD，以 为坐标原点，分别以OA，OP为 x ，z 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量证明在线段DE 上存在点Q ，使得直线与BQ339

29、 38平面 PCD所成角的正弦值为，并求得 DQ 的长为22平面 ABCD= AD，【详解】（1）平面 PAD 平面 ABCD，且平面 PAD， AB 平面 PAD，则AB DE，而AB AD在等边三角形 PAD中，E 为 PA 的中点， DE PA，= A， PA 平面 PAB ， AB 平面 PAB又 PA AB平面 PAB ；DE（2）取 AD 中点 O，则OP以 O 为坐标原点，分别以 OA，OP 为 x，z 轴建立空间直角坐标系 AD，则OP 底面 ABCD，- 1 - 3 3D - ,0,0 3C - ,6,03 323 3 3则 B 2,6,0， ， ，P0,0, E ,0,，

30、2 24433假设线段 DE 上是否存在点 Q，使得直线 BQ 与平面 PCD 所成角的正弦值为，22943 34l,0,l=（0l 1）， 则 DQ 设DQ l DE=，93 34llQB = DB- DQ = 3- ,6, -43 3 3设平面 PDC 的一个法向量为 =， DP = ,0,， n (x, y, z) DC (0,6,0)=223 DP = x +2 DC = 6y = 0323z = 0n由由，取 = - ，得z1n ( 3,0, 1)-=nl| QB n |233=| cos QB, n |=，22| QB | n | 9 22716ll22 3-+ 36 + 4 3=

31、l 4（舍）l解得：或427 9 3,0,9 3 DQ =，则| DQ |=16168339 38在线段 DE 上存在点 Q，使得直线 BQ 与平面 PCD 所成角的正弦值为，DQ 的长为22【点睛】本题考查直线与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解空间角，考查计算能力，属于中档题- 1 - x2y62+ =1 a b 022.已知椭圆C :（）的离心率为，F 、F 是椭圆 C 的左、右焦点，12a b223PF FP 是椭圆 C 上的一个动点，且（1）求椭圆 C 的方程；面积的最大值为10 2 12x2（2）若 Q 是椭圆 C 上的一个动点，点 M，N 在椭圆+

32、 y =1上， 为原点，点 Q，M，N 满O23，则直线 OM 与直线 ON 的斜率之积是否为定值？若是，求出该定值，若足OQ OM 3ON+=不是，请说明理由1x2y2【答案】（1）+30 10=1（2） 定值，且定值为-3【解析】【分析】是（1）根据题意列出关于a ，b ， 的方程组，解出 ，b ， 的值，即可求出椭圆方程；cac（2）设Q(x，M (x， y ) ，1N(x， y ) ，所以2+=，x1+ 3y = 3，y )0x03y30222201210x = x + 3x得x+ 3y = 3，由012 ，代入+ 得3yOQ= OM + 3ONx02222y = y + 3y2200

33、121x + 3y = 3+ 27 + 6(x x + 2y y )，所以x x 2y y+= ，即k k，从而得到直线022= -20012121212OMON1与直线ON的斜率之积为定值，且定值为-OM2c6=a 3 =a 302=10 2= bcb 10【详解】解：（1）由题意可知：，解得，2a = b + cc = 202222x2 y2椭圆 C 的方程为：+30 10=1；( ) ( ) ( )Q x , yM x , yN x , y， ，（2）设，001122+ 3y = 30 x20， += ， + 3y = 3，2x 3y 3 x222222011OQ OM 3ON+=，- 1 - x = x + 3x( ) ( ) ( )x , y = x , y +3 x , y，012 ，y = y + 3y001122012() ()+ 3y = x + 3x + 3 y + 3y = +