江苏省无锡市2019-2020学年高二上学期期末考试数学试题-Word版含答案-.docx

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1、 2019-2020学年第一学期高二期末考试数学学科试题一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1设 a b 0，则下列各不等式一定成立的是 ( )A a ab ab b222C a b b ab22222已知向量 a (0，1，1)， b (1，2，1)若向量 a + b 与向量 c (m，2，n)平行，则实数n的值是（ ）A6B6C4D4x22y22(= 1 a b 0)+3.已知椭圆 C：，若长轴长为 6，且两焦点恰好将长轴三等分，则此ab椭圆的标准方程为（ ）x2y2x2y2x2y2x2y2+= 1+= 1+= 1+= 1A.

2、B.C.D.9836 329516 124. 九章算术是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有大夫、不更、簪裹、上造、公士，凡五人，共猎得五鹿，欲以爵次分之，问各得几何？”其意思：“共有五头鹿，5 人以爵次进行分配（古代数学中“以爵次分之”这种表述，一般表示等差分配，在本题中表示等差分配）”在这个问题中，若大夫得“一鹿、三分鹿之二”，则簪裹得（ ）A一鹿、三分鹿之一C三分鹿之二 B一鹿D三分鹿之一= 2 S = 7，5.已知等比数列 a 为单调递增数列，设其前 n 项和为 S ，若a，则a 的值523nn为（ A16）1D4B32C86.下列不等式或命题一定成立的是( )11lg(x +

3、)lg x(x0);sin x+2(xk,kZ)；24sin xx2+ 3=x +12|x|(xR); y(xR)最小值为 2.2x+ 22A. B. C. D. - 1 - 已知关于 x 的不等式(a - 4)x + (a - 2)x -1 0的解集为空集,则实数 a 的取值722范围是( )666A. -2, B. -2, )C. (- ,2D. (-,-22,+)S =）555 = 2a - 38. 设 为数列S的前n 项和,满足 S，则（ann6nnA192B96C93D189( )= 2 a + b + 5()()y = a + b - 4 12 - a - b9.若正数 a、b 满

4、足ab，设，则 y 的最大值是（ ）A.12 B. -12C. 16D. -16 AF10 正四面体 ABCD 的棱长为 2，E、F 分别为 BC、AD 的中点，则 AE的值为（ ）A-211已知椭圆PFB4C2D1x22y2(= 1 a b 0)+的左右焦点分别为 F ,F ,离心率为 e,若椭圆上存在点 P,ab212= e1使得，则该离心率 的取值范围是（ ）ePF2B. 222 -1,1)(0, 2 -1,10,A.C.D.22( )( )( )12当 n 为正整数时，定义函数 N nN 3 = 3 N 10 = 5，表示 n 的最大奇因数。如，( )( ) ( ) ( ) ( )(

5、)S n = N 1 + N 2 + N 3 + + N 2 ，则 S 5 = （ ）nA. 342B. 345C. 341D. 346二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分.13命题 p：“x 0，都有 x2”的否定：.- 0xx -114不等式 3的解集是_xx2yx2y22- =1+= 1的焦点相同，那么15.已知双曲线的离心率为 2，焦点与椭圆a2b225 9双曲线的渐近线方程为- 2 - 112( )= ,a,b 0,1+16已知ab，那么的最小值为_ _21- a 1- b三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本题满分

6、 10 分）已知等差数列a 的前 n 项和为 S ，且a + a = 25 S = 55，.n255n（1）求数列（2）设a ba 的通项公式；n1 =b 的前 n 项和 T .，求数列n3n -1nnn18.（本题满分 12 分）1( )，函数 f x a R= -已知 a.x( )（1）若 f x( ) 2x x 0,2对 恒成立，求实数 a 的取值范围。( ) 2x（2）当 a=1 时，解不等式 f x.19.（本题满分 12 分）( )( ) ( ), y x 0F 2,0的距离减去 M 到直线在平面直角坐标系 xoy 中，曲线 C 上的动点M x到点x = -1的距离等于 1.(1)

7、求曲线 C 的方程；( )= k x + 2(2)若直线 y与曲线 C 交于 A，B 两点，求证：直线 FA 与直线 FB 的倾斜角互补.- 3 - 20.（本题满分 12 分）某种汽车购买时费用为 14.4 万元，每年应交付保险费、养路费及汽油费共0.9 万元，汽车的维修费为：第一年 0.2 万元，第二年 0.4 万元，第三年 0.6 万元，依等差数列逐年递增设使用 年该车的总费用(包括购车费用)为 f(n)，试写出 f(n)的表达式；n求这种汽车使用多少年报废最合算(即该车使用多少年平均费用最少)- 4 - 21.（本题满分 12 分）如图 1，在高为 6 的等腰梯形 ABCD 中，ABC

8、D，且 CD=6，AB=12，将它沿对称轴 OO 折1起，使平面 ADO O平面 BCO O. 如图 2，点 P 为 BC 中点，点 E 在线段 AB 上(不同于 A,B11两点)，连接 OE 并延长至点 Q，使 AQOB.(1)证明：OD平面 PAQ；(2)若 BE=2AE，求二面角 CBQA 的余弦值。22. （本小题满分 12 分）x22y2(= 1 a b 0)+已知椭圆 C ：，F 为左焦点，A 为上顶点，B(2,0)为右顶点，若1ab27 AF = 2 AB，抛物线 C 的顶点在坐标原点，焦点为 F2(1)求 C 的标准方程；11= S2(2)是否存在过 F 点的直线，与 C 和

9、C 交点分别是 P，Q 和 M，N，使得 S？如12OPQOMN- 5 - 果存在，求出直线的方程；如果不存在，请说明理由2019-2020 学年第一学期高二期末考试数学学科试题一、B D A B A C C D A D A A二、 填空题选择题1$x 0,使得 x2 - x 0 +2x2，当且仅当 =2x，即 x=时等号成立，.4 分2xx2a2.6 分11(2)当 a=1 时，f(x)=1 ，f(x)2x，1 2 ，xxx1若 x0，则 1 2x 可化为：2x2 +1 0，所以 ；.8 分 x xx11若 x0，则 1 2x 可化为：2x2 10，解得： 1 或 ，xxx2x1x 0F 2

10、,0的距离减去 M 到直线在平面直角坐标系 xoy 中，曲线 C 上的动点M x到点x = -1的距离等于 1.(1)求曲线 C 的方程；( )= k x + 2(2)若直线 y与曲线 C 交于 A，B 两点，求证：直线 FA 与直线 FB 的倾斜角互补.- 7 - 19(1)曲线 C 上的动点 M(x,y)(x0)到点 F(2,0)的距离减去 M 到直线 x=1的距离等于 1，所以动点 M 到直线 x=2 的距离与它到点 F(2,0)的距离相等，故所求轨迹为：以原点为顶点,开口向右的抛物线. 4y =8x. 分2(2)证明：设 A(x ,y ),B(x ,y ).1122y = 8x2联立

11、,得( )y = k x + 26k x +(4k 8)x+4k =0,(k0).分2 2228 - 4k2x + x =8, x x =4 分0，k121 22直线 FA 与直线 FB 的斜率之和=( ) ( )y1yk x + 2 k x + 2+=212x - 2 x - 2 x - 2x - 21212( )( ) ( )( ) ()k x + 2 x - 2 + k x - 2 x + 22k x x - 4=12121 2(x - 2)(x - 2)(x - 2)(x - 2)12121112因为 x x =4直线 FA 与直线 FB 的斜率之和为 0， 分1 2直线 FA 与直线

12、 FB 的倾斜角互补。 分20.（本题满分 12 分）【解】+ +依题意 f(n)144 (02 04 06 02n) 09n2 分+144 01n(n1) 09n01n2n144，nN*5 分(没有定义域扣 1 分)设该车的年平均费用为 S 万元，则有1n1n1101nS f(n) (01n n144) n144 17 分21101nn 是正整数，故 n144 124134，10 分11当且仅当 n (144)，即 n12 时，等号成立11 分10n故汽车使用 12 年报废为宜12 分21.（本题满分 12 分）(1)解法一(几何法)证明：取 OO 的中点为 F,连接 AF,PF;1PFOB

13、，AQOB,PFAQ，P、F. A. Q 四点共面，- 8 - 又由图 1 可知 OBOO ，1平面 ADO O平面 BCO O，11且平面 ADO O平面 BCO O=OO ，111OB平面 ADO O，1PF平面 ADO O，1又OD平面 ADO O，1PFOD. . 2 分在直角梯形 ADO O 中,.,OF=O D,AOF=OO D,AOFOO D,1111FAO=DOO ，1FAO+AOD=DOO +AOD=90 ，14AFOD. . 分AFPF=F，且 AF平面 PAQ，PF平面 PAQ，6OD平面 PAQ. . 分解法二(向量法)由题设知 OA,OB,OO 两两垂直,所以以 O

14、为坐标原点,OA,OB,OO 所在直线分别为 x 轴、y 轴、11z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设 AQ 的长度为 m，则相关各点的坐标为 O(0,0,0),A(6,0,0),B(0,6,0),C(0,3,6),D(3,0,6),Q(6,m,0).9点 P 为 BC 中点,P(0, ,3)，2OD =(3,0,6), AQ=(0,m,0)92=(6,m ,3)，. 分PQ2OD AQ=0, OD PQ=0OD AQ, OD PQ且 AQ与 PQ不共线， .4 分6OD平面 PAQ. . 分1(2)BE=2AE,AQOB,AQ= OB=3，2则 Q(6,3,0),QB =(6,3,0),

15、=(0,3,6).BC- 9 - 设平面 CBQ 的法向量为n =(x,y,z)，1 QB = 0- 6 + 3 = 0 x yn1- 3y + 6z = 0= 0 n BC18令 z=1,则 y=2,x=1,则 n =(1,2,1)，. 分110又显然,平面 ABQ 的法向量为n =(0,0,1)，.分分2设二面角 CBQA 的平面角为 ，由图可知， 为锐角，n n612则 cos=.126n n1222（本题满分 12 分）7 AF = 2 AB7 = 2 +a b(1) 依题意可知，即 a22由右顶点为 B(2,0)，得 a=2，解得 b =3，2x2y2+= 1. 3 分所以 C 的标

16、准方程为431(2) 依题意可知 C 的方程为 y =4 ，.4 分2x2假设存在符合题意的直线，设直线方程为 x=ky1，P(x ,y )，Q(x ,y )，M(x ,y )，N(x ,y )，11223344x2y2 += 1联立方程组 43得(3k +4)y 6 9=0，2x = ky -16k- 93 + 4k由韦达定理得 y +y =，y y =，3 + 4k121 22212 k +1( )2- y - 4y y则|y |= y2=，.6 分y3 + 4k1212122（写出 PQ 长度也可以） = -42yx联立方程组，得 y +4ky4=0，2x = ky -1由韦达定理得 y

17、 +y =4 ， y =4，k y343 4()2- y - 4y y 4+1，. 8 分所以|y |= y= k 2y343434（写出 MN 长度也可以）1若 S = SOMN，则 PQ=2MN，. 10 分OPQ2- 10 - 112 k +1622 k +12则|y |= |y |，即=，解得 k=，yy23 + 4k312342663所以存在符合题意的直线方程为 x+y+1=0 或 xy+1=0. 12 分3- 11 -设平面 CBQ 的法向量为n =(x,y,z)，1 QB = 0- 6 + 3 = 0 x yn1- 3y + 6z = 0= 0 n BC18令 z=1,则 y=2

18、,x=1,则 n =(1,2,1)，. 分110又显然,平面 ABQ 的法向量为n =(0,0,1)，.分分2设二面角 CBQA 的平面角为 ，由图可知， 为锐角，n n612则 cos=.126n n1222（本题满分 12 分）7 AF = 2 AB7 = 2 +a b(1) 依题意可知，即 a22由右顶点为 B(2,0)，得 a=2，解得 b =3，2x2y2+= 1. 3 分所以 C 的标准方程为431(2) 依题意可知 C 的方程为 y =4 ，.4 分2x2假设存在符合题意的直线，设直线方程为 x=ky1，P(x ,y )，Q(x ,y )，M(x ,y )，N(x ,y )，11

19、223344x2y2 += 1联立方程组 43得(3k +4)y 6 9=0，2x = ky -16k- 93 + 4k由韦达定理得 y +y =，y y =，3 + 4k121 22212 k +1( )2- y - 4y y则|y |= y2=，.6 分y3 + 4k1212122（写出 PQ 长度也可以） = -42yx联立方程组，得 y +4ky4=0，2x = ky -1由韦达定理得 y +y =4 ， y =4，k y343 4()2- y - 4y y 4+1，. 8 分所以|y |= y= k 2y343434（写出 MN 长度也可以）1若 S = SOMN，则 PQ=2MN，. 10 分OPQ2- 10 - 112 k +1622 k +12则|y |= |y |，即=，解得 k=，yy23 + 4k312342663所以存在符合题意的直线方程为 x+y+1=0 或 xy+1=0. 12 分3- 11 -