2020年澳大利亚奥林匹克竞赛数学试题.docx

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1、 2020 澳大利亚数学奥林匹克比赛时间:2020 年 2 月 4 日第一天a + b1.求所有的非负整数 a,b,使得- ab = 1.22.神算子和智多星进行如下游戏.游戏开始时,有三堆石头,每堆各 2020 个.由神算子开始,双方轮流进行如下操作:在每回合中,当前玩家任选一堆石头,将其余的石头移除,并将选中这堆石头分成2 堆或 3 堆(每堆至少一个石头).若有玩家无法操作,则他输掉这局游戏.证明:智多星有必胜策略.3.ABC 中,ACB90,过 C 作其外接圆的切线与直线 AB 交于点 D.取 CD 中点 E,过 A 作 CD平行线与直线 EB 交于点 F.证明:ABCF.a + 2=

2、1,a =,n = 1,2, 34.数列a 定义如下:an+ 1n1n+1anb + 22= 1,b =,n = 1,2,3 数列b 定义如下:bnn2b1n+1n= a证明:对任意非负整数 n,b.n+12n 第二天5.无穷数列a 的每一项均为 0 或 1.对任意正整数 n,已知(i)a +a a +a .nnn+1n+2n+3(ii) a +a +a a +a +a .nn+1n+2n+3n+4n+5证明:若 a =0,则 a =1.120206.过正方形 ABCD 内一点 P,作两条互相垂直的直线l ,l ,我们将这两条直线称为一个十字.设 与l121AB,CD 分别交于点 W,Y. 与

3、 BC,DA 分别交于点 X,Z.若 W,X,Y,Z 共圆,则称 l ,l 为圆十字.l212求所有的 P 点,使得任意一个过 P 点的十字均为圆十字.7.四格骨牌指所有由四个相邻的单元格组成的图形.对一个 22n 的网格,设 T 表示用若干四格骨n牌将其覆盖的办法.例如,T =4,因为我们有 4 种方法使用四格骨牌将 24 的网格覆盖,如下图所示.2求证:对任意正整数 n,T 为完全平方数.n8.证明:对任意正整数 k2,100,存在一组正整数 b ,b ,b ,使得23101b + b + + b = b + b + + b .23kk+1k+1k+2k +210110123k2020 澳

4、大利亚数学奥林匹克比赛时间:2020 年 2 月 4 日第一天a + b1.求所有的非负整数 a,b,使得- ab = 1.22.神算子和智多星进行如下游戏.游戏开始时,有三堆石头,每堆各 2020 个.由神算子开始,双方轮流进行如下操作:在每回合中,当前玩家任选一堆石头,将其余的石头移除,并将选中这堆石头分成2 堆或 3 堆(每堆至少一个石头).若有玩家无法操作,则他输掉这局游戏.证明:智多星有必胜策略.3.ABC 中,ACB90,过 C 作其外接圆的切线与直线 AB 交于点 D.取 CD 中点 E,过 A 作 CD平行线与直线 EB 交于点 F.证明:ABCF.a + 2= 1,a =,n

5、 = 1,2, 34.数列a 定义如下:an+ 1n1n+1anb + 22= 1,b =,n = 1,2,3 数列b 定义如下:bnn2b1n+1n= a证明:对任意非负整数 n,b.n+12n 第二天5.无穷数列a 的每一项均为 0 或 1.对任意正整数 n,已知(i)a +a a +a .nnn+1n+2n+3(ii) a +a +a a +a +a .nn+1n+2n+3n+4n+5证明:若 a =0,则 a =1.120206.过正方形 ABCD 内一点 P,作两条互相垂直的直线l ,l ,我们将这两条直线称为一个十字.设 与l121AB,CD 分别交于点 W,Y. 与 BC,DA 分别交于点 X,Z.若 W,X,Y,Z 共圆,则称 l ,l 为圆十字.l212求所有的 P 点,使得任意一个过 P 点的十字均为圆十字.7.四格骨牌指所有由四个相邻的单元格组成的图形.对一个 22n 的网格,设 T 表示用若干四格骨n牌将其覆盖的办法.例如,T =4,因为我们有 4 种方法使用四格骨牌将 24 的网格覆盖,如下图所示.2求证:对任意正整数 n,T 为完全平方数.n8.证明:对任意正整数 k2,100,存在一组正整数 b ,b ,b ,使得23101b + b + + b = b + b + + b .23kk+1k+1k+2k +210110123k