2020届山东省临沂市高三上学期期末考试数学试题(教师版).docx

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1、 高三期末检测数学考生注意：1.本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，考试时间 120 分钟.2.请将各题答案填写在答题卡上.3.本试卷主要考试内容：高考全部内容.第卷一、单项选择题：本题共 8 小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.( )( )A = x x -1 x - 6 0 B，= x 2 - x 0I =A B1.设集合，则（） x x 6x 1 x 2 x x 1x 2 x 0 = x x 6=- =x x 2，【详解】或， A B = x x 1因此，故选：C.【点睛】本题考查交集的运算，同时也考查了一元二次不等式的解法，考查计算能力，属于基础题.z

2、i= a +bi (a,bR )= +，定义 z b ai .若=，则 z （2.设复数 z）D.1+ i 2 -i1 31 3- i5 53 13 1- - i5 5- + i5 5- + iC.5 5A.B.【答案】B【解析】【分析】根据复数代数形式的运算法计算出 ，再根据定义求出 .zz ( )( )( )2 -i 2 + ii(1+ i) 2 + i (-1+ )(2 + )i(1+ i)2 -iii3 1= - + i5 5ziz =【详解】解：因为，所以，51+ i 2 -i1 3= - i5 5则 z.故选：B.【点睛】本题考查复数代数形式的运算，属于基础题.3.“游客甲在烟台市

3、”是“游客甲在山东省”的（）A. 充分不必要条件C. 充要条件【答案】AB. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件【解析】【分析】根据烟台是山东省的一个地级市，所以如果甲在烟台市，那么甲必在山东省，反之不成立，即可判断它们之间的关系.【详解】解：因为烟台是山东省的一个地级市，所以如果甲在烟台市，那么甲必在山东省，反之不成立，故“游客甲在烟台市”是“游客甲在山东省”的充分不必要条件故选：A.【点睛】本题考查充分条件、必要条件，属于基础题.( )f x = 2 - 2x x（ 04.函数）的值域是（）( )1,2( )1,+?( )-,2( )0,2A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根

4、据定义域，结合指数函数的性质，可得 的取值范围，即可求出函数的值域.2 x【详解】解：Q x 0，0 2 1 ，x-1 -2 0x1 2 - 2 0)的图象关于直线 x=(w8.已知函数）12 41A.1B.4C.5D.3636【答案】A【解析】【分析】利用二倍角公式将函数化简，再根据余弦函数的性质解答.pp，6 Qf (x) 2cos=w -f (x) 1 cos 2 x= +w -x【详解】解： ，212 ppf (x) = 2coswx -=又因为 的图象关于x对称，212 4p p1w所以 2p - = k (k Z)4 6= 2k + (k Z)w，即，31，所以 的最小值为 .w

5、0因为w3故选：A.【点睛】本题考查三角恒等变换以及余弦函数的性质，属于基础题.二、多项选择题：本题共 4 小题，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的.9.为了了解运动健身减肥的效果，某健身房调查了20 名肥胖者，健身之前他们的体重（单位：kg）情况如三维饼图（1）所示，经过四个月的健身后，他们的体重情况如三维饼图（2）所示. 对比健身前后，关于这 20 名肥胖者，下面结论正确的是（） )90,100A. 他们健身后，体重在区间内的人增加了 2 个B. 他们健身后，体重在区间100,110)内的人数没有改变C. 他们健身后，20 人的平均体重大约减少了8 kgD. 他们健身后，原来体

6、重在区间110,120)内的肥胖者体重都有减少【答案】ABD【解析】【分析】根据所给条件分析三维饼图即可得出结论. )90,100【详解】解：体重在区间正确；内的肥胖者由健身前的 6 人增加到健身后的 8 人，故人增加了 2 个 ，故A他们健身后，体重在区间100,110)内的百分比没有变，所以人数没有变，故 正确；B他们健身后，20 人的平均体重大约减少了() ()0.395+ 0.5105+ 0.2115 - 0.185 + 0.495 + 0.5105 = 5 kg，故 错误；C因为图（2）中没有体重在区间110,120)内的比例，所以原来体重在区间 110,120)内的肥胖者体重都有减

7、少，故 正确.D 故选：ABD【点睛】本题考查根据统计图表分析数据，属于基础题.10.若10 = 4 ，10b= 25，则（）a+b = 2- =B. b a 1C. ab 81g 2b a lg6- D.A. a2【答案】ACD【解析】【分析】根据指数和对数的关系将指数式化成对数式，再根据对数的运算法则计算可得.a= lg4 b = lg 25，【详解】解：由10 = 4 ，10= 25，得，则aba + b = lg 4 + lg 25 = lg100 = 2，25b - a = lg 25- lg4 = lg，425Q lg10 =1 lg lg64b - a lg6ab = 4lg 2

8、lg 5 4lg 2lg 4 = 8lg 2，2故正确的有： ACD故选：.ACD【点睛】本题考查对数的运算，对数和指数的互化，属于基础题.( )+1 + y =上的动点， 是圆 D： x15x211.已知 P 是椭圆 C：+ y =1Q2上的动点，则（）226A. C 的焦距为530B. C 的离心率为6C. 圆 D 在 C 的内部2 55D. PQ 的最小值为【答案】BC【解析】 【分析】对各选项逐项分析即可得解x2【详解】解：Q+ y =126=1a = 6 ，bc56306c = a -b = 6-1 = 5 ，则 C 的焦距为2 5 ， =e=.22a( )P x, yx ），- 6

9、 6设（x 5 6 4 4 1+ 5 5 52( )( )2= x +1 + y = x +1 +1- = x +则 PD222，26 654155所以圆 D 在 C 的内部，且故选：BC.PQ的最小值为-=.55【点睛】本题考查椭圆的简单几何性质，圆与椭圆的关系，属于基础题.( )的定义域为-2p,2p )，则（f x = x + sin x - xcos x12.已知函数）( )f xA.B.C.D.为奇函数( ) )f x0,p上单调递增在( )f x恰有 4 个极大值点( )f x有且仅有 4 个极值点【答案】BD【解析】【分析】由函数的定义域不关于原点对称，可知函数是非奇非偶函数，求

10、出函数的导数，利用导数分析函数的单调性与极值.( )的定义域为-2p,2p )，所以f x( )f x【详解】解：因为是非奇非偶函数，( )Q f x = x +sin x - xcosx ( )() f x =1+ cosx - cosx - xsin x =1+ xsin x， )x 0,p时， )( )( ) f x 0f x0,p当，则在上单调递增.( ) f 0 0( ) =f x 0，得sin x1= -显然，令，x-)p p2 ,21= -= sin x y，分别作出 y在区间上的图象，x)p p-2 ,2由图可知，这两个函数的图象在区间上共有 4 个公共点，且两图象在这些公共点

11、上都不相切，故( ) )( )f x只有 2 个极大值点.p p-2 ,2f x在区间上的极值点的个数为 4，且故选：BD【点睛】本题考查函数 的奇偶性，有利于导数研究函数的极值与单调性，属于中档题.第卷三、填空题：本题共 4 小题.9x +x =_.13.当x +1取得最小值时， 【答案】4【解析】【分析】99x +x += x +1+= x +1+-1，再利用均值不等式得到答案.变换得到【详解】x +1x +199-12 9 -1= 5x +1x +19x +1=当且仅当，即 x= 4时，等号成立.x +1故答案为：4【点睛】本题考查了利用均值不等式求函数 最值，意在考查学生的计算能力.y

12、214.已知 P 为双曲线 C： x2- =1右支上一点，F ， F 分别为 C 的左、右焦点，且线段 ， 分别A A B B1的124122PF=成等比数列，则为 C 的实轴与虚轴.若A A1，B B1，_.PF1222【答案】6【解析】【分析】A A B B，A A B B ，PFPF根据双曲线方程，可得实轴，虚轴的长，再根据，成等比数列，求出1212121211PF的值，最后根据双曲线的定义求出的值.2y2Q x - =1【详解】解：24 A A = 2a = 2 B B = 2b = 4，1212Q A AB B1PF成等比数列，1221 A A PF = B B2 ，12112PF

13、= 8解得，1 PF = 8-2a = 62 故答案为：6【点睛】本题考查双曲线的简单几何性质，属于基础题.15.现将七本相同的书分给甲、乙、丙三人，每人至少一本，则甲分得的书不少于 3 本的概率是_.2【答案】5【解析】【分析】将甲、乙、丙三人分得的书的数量用树状图列举出来，再根据古典概型的概率计算公式计算可得.【详解】解：将甲、乙、丙三人分得的书的数量用树状图列举如下：6 2故所求概率P = =.15 525故答案为：【点睛】本题考查古典概型的概率计算问题，属于基础题.- A B C D=AA 的中点，且平面BEF与DD16.在正方体ABCD中，E为棱CD上一点，且CE 2DE ，F为棱1

14、11111DGAH= _.交于点G，与交于点H，则DD _，HCAC1111638【答案】(1).(2).【解析】【分析】DGDDAF DG=AB DE=，又CE 2DE ，则由线面平行的性质可得BF/GE ，即可得到可求. 连接AC交BE于M，1过M作MN/CC MN， 与1交于 ，连接F M，则 为 与NH FM的交点，根据三角形相似可得线段的比.ACAC11Q ABCD - A B C D【详解】解：是正方体1111 面A B BA/ 面C D DC1111Q BF A B BA面11 BF/平面CDD C1，1BFGEI面C D DC GE=Q面11DG 1=DD 6AF DG=AB

15、DEDG 1=DE 2=，又CE 2DE ，则则 BF/GE ，则，即.1连接 AC 交 BE 于 M，过 M 作MN /CC MN， 与1交于 ，连 接 FM，则 为NH FM与的交点.因为AB/CE，ACAC11AN AM 3=NCMN 3=AH 3=HC 8AM AB 3MN 6 HN= =FA 5 AH=MC 2=MC CE 2所以，则.所以，所以，故.CC51111故答案为： ；368【点睛】本题考查线面平行的性质及判定，属于基础题.四、解答题：本题共 6 小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.3512 55=+c 2= ，cos A =，17.在cos A，cosC=，cs

16、inC sin A bsin B B = 60o，三个条件8中任选一个补充在下面问题中，并加以解答.已知V ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若a = 3，_，求V ABC的面积 S.【答案】答案不唯一，具体见解析【解析】【分析】若选，首先根据同角三角函数的基本关系求出 sin ，sinC ，再根据两角和的正弦公式求出 sin B ，由A正弦定理求出边b ，最后由面积公式求出三角形的面积.若选，由正弦定理将角化边结合余弦定理求出边c ，最后由面积公式求出三角形的面积.若选，由余弦定理求出边b ，由同角三角函数的基本关系求出sin ，最后由面积公式求出三角形的面积.A【详解】

17、解：选 352 55=cos Asin A=，cosC，455，sinC=，5( )sin B = sin A+C = sin AcosC + cos AsinC4 2 5 3 5 11 5= + ，5 55 52511 53asin Bsin A33 52025=由正弦定理得b，451133 5205 99 =5 40= absinC = 3 S.22选= sin A+bsin BcsinC，.= a + b由正弦定理得c22= 3 a，b = c - 3.22又 B= 60o，1= c + 9 - 23c = c -3b2，222 = ，c 41= acsin B = 3 3 S.2选 c

18、18= 2=，cos A，+ 2 -32b1 b=822 由余弦定理得，即 2b- -5 = 0，2b225=解得b或 = - （舍去）.b 223 78sin A = 1- cos A =，2 121 5= 3 7 15 7V ABC的面积 S=.bcsin A22 28169940故答案为：选为；选为3 3；选为15 7.16【点睛】本题考查利用正弦定理、余弦定理、三角形面积公式解三角形，属于基础题.uuur uuuruuuruuur= (3n +1,3) BC = (0,3n - 2) a = AB AC18.设n N ，向量 AB，.*n（1）试问数列是否为等差数列？为什么？a-an+

19、1n 1（2）求数列 的前n 项和 .Sa nnn【答案】（1）是等差数列,理由见解析；（2）a-a12n +16n+1n【解析】【分析】uuurAC a(1)先求解出的坐标表示，然后根据数量积的坐标表示求解出的通项公式，再根据定义判断n是否为等差数列；a - an+1n 1(2)根据(1)中结果求出 的通项公式，然后根据裂项相消法求解出 的表达式.Sa nnuuur uuur uuurQ【详解】（1） AC AB BC (3n 1,3n 1)，=+=+a = (3n +1) + 3(3n +1) = (3n +1)(3n + 4).2nQ a - a = (3n + 4)(3n + 7) -

20、 (3n +1)(3n + 4) = 6(3n + 4)，n+1n() () a -a - a -a =18为常数，n+2n+1n+1n a - a是等差数列.n+1n1 1 11 （2）Q=- ，a 3 3n +1 3n + 4 n1 1 1 1 111 1 11 nS =- + - +L +-=-=.3n+1 3n + 43 4 3n + 4 12n +16 n 3 4 7 7 10 【点睛】本题考查向量与数列的综合应用，难度一般.(1)等差数列常用的证明方法：定义法：根据 aa - a = daa + a = 2a( 是常数)，证明等差数列.等差中项法：当d满足时，可证明为n+1nn+2

21、nn+1nn11111 11 = -=-、( )n n +1 n n +1 2n( )( )等差数列；(2)常见的裂项相消类型：、-1 2n +1 2 2n -1 2n +11nn=+ 1 -.nn+ 1 +19.某土特产超市为预估 2020 年元旦期间游客购买土特产的情况，对 2019 年元旦期间的 90 位游客购买情况进行统计，得到如下人数分布表. ) ) ) ) ) 0,1515,3030,4575,90购买金额（元）人数101520152010（1）根据以上数据完成 列联表，并判断是否有95% 的把握认为购买金额是否少于 60 元与性别有关.2 2男女18合计p（2）为吸引游客，该超市

22、推出一种优惠方案，购买金额不少于60 元可抽奖 3 次，每次中奖概率为 （每p次抽奖互不影响，且 的值等于人数分布表中购买金额不少于 60 元的频率），中奖 1 次减 5 元，中奖 2 次减 10 元，中奖 3 次减 15 元.若游客甲计划购买 80 元的土特产，请列出实际付款数 （元）的分布列并求X其数学期望.()2n ad -bc= + + +， n a b c d .附：参考公式和数据：K2( )( )( )( )a + b c + d a + c b + d附表：k2.0722.7063.8416.6357.8790 ( )P K k0.1500.1000.0500.0100.0052

23、0【答案】(1)见解析，有95% 的把握认为购买金额是否少于 60 元与性别有关.(2)分布列见解析，数学期望75【解析】【分析】1440K2 = 3.841得到答案.（1）完善列联表，计算2471(，分别计算P X 65) 1 () 2 () 4 () 8=，P X 70=，P X 75=，P X 80（2）先计算 p，3279927得到分布列，计算得到答案.详解】（1） 列联表如下：2 2男121830402060女38合计9090 1220 - 4018)2(1440247K = 5 3.841，230605238因此有95% 的把握认为购买金额是否少于 60 元与性别有关.10 + 2

24、0 1=（2） X 可能取值 65，70，75，80，且 p.903 1 1 ( )， P X = 70 = C 1 2 2 = ，()32P X = 65 = C= 332 3 27 3 3 931 2 P X = 75 = C 4 ( 2 8()2)3= ， P X = 80 = C=， 3 3 9 310 3 273所以 X 的分布列为 65707580( )P X14982927271248EX = 65 + 70 + 75 +80 = 75.279927【点睛】本题考查了列联表，分布列，意在考查学生的应用能力和计算能力.12 BCAP AB BC=20.如图，在四棱锥 P-ABCD中

25、， AP 平面PCD， AD/BC ， AB，AD ，E 为AD 的中点，AC 与 BE 相交于点 O.（1）证明： PO 平面 ABCD.（2）求直线 BC 与平面 PBD所成角的正弦值.22【答案】（1）证明见解析（2）11【解析】【分析】BE（1）通过证明平面 APC，得到 BE PO，再证 PO AC 即可证得 PO 平面 ABCD.（2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量、直线的方向向量，利用空间向量法求出线面角的正弦值. ， AP CD ，【详解】（1）证明：Q AP 平面PCD，CD平面PCD1Q AD/BC,=的中点，则 BC/DE 且 BC DE.ADBCAD ，Q为E2四

26、边形 BCDE为平行四边形， BE/CD，.AP BE1又Q AB BC,AB BC= AD ，且 E 为 AD 的中点， 四边形 ABCE为正方形， BE AC，又2AP I AC = A, BE 平面APC， PO.Q PO 平面 APC，则 BE Q AP PCD,PC 平面， AP PC ，平面PCD又=2AB 2AP=，DPAC为等腰直角三角形，ACQ O 为斜边 AC 上的中点，PO ACI= 且 AC BE O, PO平面ABCD.（2）解：以 O 为坐标原点，建立空间直角坐标系 O-xyz，如图所示=1，则B(1,0,0), C(0,1,0), P(0,0,1), D( 2,1

27、,0)-,不妨设OBuuur则 BCuuuruuur= (-1,1,0), PB = (1,0,-1), PD = (-2,1,-1).r设平面 PBD 的法向量为n = (x, y, z) ，uuuvv则 vn， - =x z 0,n PB = 0uuuv PD = 0， -2x + y - z = 0,即 = ,x z即 y = 3z,r令 z=1，得 n = (1,3,1).设 BC 与平面所成角为q ，PBDuuur r-11+ 31+ 0122则sinq = cos =.( )1 + 3 +1 -1 +12112222【点睛】本题考查线面垂直，线面角的计算，属于中档题.= 2 px

28、0）的焦点，过点 F 的动直线 l 与抛物线 C 交于 M，N 两.21.如图，已知点 F 为抛物线 C： y2（ pMN =16点，且当直线 l 的倾斜角为 45时， （1）求抛物线 C 的方程.（2）试确定在 x 轴上是否存在点 P，使得直线 PM，PN 关于 x 轴对称？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由.( )P= 8x【答案】（1） y（2）存在唯一的点2-2,0，使直线 PM，PN 关于 x 轴对称【解析】【分析】p= x -（1）当直线l 的倾斜角为 45，则l 的斜率为 1，则直线方程为y，联立直线与抛物线方程，利用2x + x = 3p= x + x + pMN

29、，求出 p 的值，即可得到抛物线方程.韦达定理可得，根据焦点弦公式1212( )P a,0( )y = k x - 2 k 0），当直线 不与 轴垂直时，设 的方程为 （2）假设满足条件的点 P 存在，设lxlk + k = 0联立直线与抛物线方程，消元，列出韦达定理，因为直线PM，PN 关于 x 轴对称，所以，即可PMPN求出 a 的值. 当直线 l 与 x 轴垂直时，由抛物线的对称性，易知 PM，PN 关于 x 轴对称，此时只需 P 与焦点F 不重合即可.【详解】解：（1）当直线 l 的倾斜角为 45，则l 的斜率为 1， p ,0 ，lpQ= -y xF的方程为. 2 2py = x - ,p2由 2 得 x2y = 2px,-3px += 0.4 2( ) ( )M x , yN x , yx + x = 3p设，则，112212MN = x + x + p = 4p =16 p= 4，12= 8x抛物线 C 的方程为 y2.( )P a,0( )F 2,0，（2）假设满足条件的点 P 存在，设，由（1）知( )y = k x - 2 k 0（当直线 l 不与 x 轴垂直时，设 l 的方程为），( )( ) =y k x 2 ,-k x- 4k +8 x + 4k = 0由得2222，y2 = 8x,( )2D = 4k