高中数学必修四高中数学必修4公开课教案2.2.2--向量减法运算及其几何意义教案课时训练练习教案课件.doc

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1、2.2.2 向量减法运算及其几何意义整体设计教学分析 向量减法运算是加法的逆运算.学生在理解相反向量的基础上结合向量的加法运算掌握向量的减法运算.因此,类比数的减法(减去一个数等于加上这个数的相反数),首先引进相反向量的概念,然后引入向量的减法(减去一个向量,等于加上这个向量的相反向量),通过向量减法的三角形法则和平行四边形法则,结合一定数量的例题,深刻理解向量的减法运算.通过阐述向量的减法运算,可以转化为向量加法运算,渗透化归的数学思想,使学生理解事物之间的相互转化、相互联系的辨证思想,同时由于向量的运算能反映出一些物理规律,从而加强了数学学科与物理学科之间的联系,提高学生的应用意识.三维目

2、标1.通过探究活动,使学生掌握向量减法概念,理解两个向量的减法就是转化为加法来进行,掌握相反向量.2.启发学生能够发现问题和提出问题,善于独立思考,学会分析问题和创造地解决问题.能熟练地掌握用三角形法则和平行四边形法则作出两向量的差向量.重点难点教学重点:向量的减法运算及其几何意义.教学难点:对向量减法定义的理解.课时安排1课时教学过程导入新课 思路1.(问题导入)上节课,我们定义了向量的加法概念,并给出了求作和向量的两种方法.由向量的加法运算自然联想到向量的减法运算:减去一个数等于加上这个数的相反数.向量的减法是否也有类似的法则呢?引导学生进一步探究,由此展开新课. 思路2.(直接导入)数的

3、减法运算是加法运算的逆运算.本节课,我们继续学习向量加法的逆运算减法.引导学生去探究、发现.推进新课新知探究提出问题向量是否有减法？向量进行减法运算,必须先引进一个什么样的新概念？如何理解向量的减法？向量的加法运算有平行四边形法则和三角形法则,那么,向量的减法是否也有类似的法则？ 活动:数的减法运算是数的加法运算的逆运算,数的减法定义即减去一个数等于加上这个数的相反数,因此定义数的减法运算,必须先引进一个相反数的概念.类似地,向量的减法运算也可定义为向量加法运算的逆运算.可类比数的减法运算,我们定义向量的减法运算,也应引进一个新的概念,这个概念又该如何定义?引导学生思考,相反向量有哪些性质?由

4、于方向反转两次仍回到原来的方向,因此a和-a互为相反向量.于是-(-a)=a.我们规定,零向量的相反向量仍是零向量.任一向量与其相反向量的和是零向量,即a+(-a)=(-a)+a=0.所以,如果a、b是互为相反的向量,那么a=-b,b=-a,a+b=0.(1)平行四边形法则图1如图1,设向量=b,=a,则=-b,由向量减法的定义,知=a+(-b)=a-b.又b+=a,所以=a-b.由此,我们得到a-b的作图方法.图2(2)三角形法则如图2,已知a、b,在平面内任取一点O,作=a,=b,则=a-b,即a-b可以表示为从b的终点指向a的终点的向量,这是向量减法的几何意义.讨论结果:向量也有减法运算

5、.定义向量减法运算之前,应先引进相反向量.与数x的相反数是-x类似,我们规定,与a长度相等,方向相反的量,叫做a的相反向量,记作-a.向量减法的定义.我们定义a-b=a+(-b),即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量.规定:零向量的相反向量是零向量.向量的减法运算也有平行四边形法则和三角形法则,这也正是向量的运算的几何意义所在,是数形结合思想的重要体现.提出问题上图中,如果从a的终点到b的终点作向量,那么所得向量是什么?改变上图中向量a、b的方向使ab,怎样作出a-b呢?讨论结果:=b-a.略.应用示例如图3(1),已知向量a、b、c、d,求作向量a-b,c-d.图3 活动:教师让学生亲

6、自动手操作,引导学生注意规范操作,为以后解题打下良好基础;点拨学生根据向量减法的三角形法则,需要选点平移作出两个同起点的向量.作法:如图3(2),在平面内任取一点O,作=a,=b,=c,=d.则=a-b,=c-d.变式训练 (2006上海高考) 在ABCD中,下列结论中错误的是( )A.= B.AD+= C.-AD=BD D.AD+=0分析:A显然正确,由平行四边形法则可知B正确,C中,-=错误,D中,+=+=0正确.答案:C例2 如图4,ABCD中, =a,=b,你能用a、b表示向量、吗?图4 活动:本例是用两个向量表示几何图形中的其他向量,这是用向量证明几何问题的基础.要多注意这方面的训练

7、,特别要掌握用向量表示平行四边形的四条边与两条对角线的关系.解:由向量加法的平行四边形法则,我们知道=a+b,同样,由向量的减法,知=-=a-b.变式训练1.(2005高考模拟) 已知一点O到ABCD的3个顶点A、B、C的向量分别是a、b、c,则向量等于( )A.a+b+c B.a-b+c C.a+b-c D.a-b-c图5解析:如图5,点O到平行四边形的三个顶点A、B、C的向量分别是a、b、c,结合图形有=+=+=+-=a-b+c.答案:B2.若=a+b,=a-b.当a、b满足什么条件时,a+b与a-b垂直？当a、b满足什么条件时,|a+b|=|a-b|？当a、b满足什么条件时,a+b平分a

8、与b所夹的角 ？a+b与a-b可能是相等向量吗？图6解析:如图6,用向量构建平行四边形,其中向量、恰为平行四边形的对角线.由平行四边形法则,得=a+b,=-=a-b.由此问题就可转换为:当边AB、AD满足什么条件时,对角线互相垂直？(|a|=|b|)当边AB、AD满足什么条件时,对角线相等？(a、b互相垂直)当边AB、AD满足什么条件时,对角线平分内角？(a、b相等)a+b与a-b可能是相等向量吗？(不可能,因为对角线方向不同) 点评:灵活的构想,独特巧妙,数形结合思想得到充分体现.由此我们可以想到在解决向量问题时,可以利用向量的几何意义构造几何图形,转化为平面几何问题,这就是数形结合解题的威

9、力与魅力,教师引导学生注意领悟.例3 判断题:(1)若非零向量a与b的方向相同或相反,则a+b的方向必与a、b之一的方向相同.(2)ABC中,必有+=0.(3)若+=0,则A、B、C三点是一个三角形的三顶点.(4)|a+b|a-b|.活动:根据向量的加、减法及其几何意义.解:(1)a与b方向相同,则a+b的方向与a和b方向都相同;若a与b方向相反,则有可能a与b互为相反向量,此时a+b=0的方向不确定,说与a、b之一方向相同不妥.(2)由向量加法法则+=,与CA是互为相反向量,所以有上述结论.(3)因为当A、B、C三点共线时也有+=0,而此时构不成三角形.(4)当a与b不共线时,|a+b|与|

10、a-b|分别表示以a和b为邻边的平行四边形的两条对角线的长,其大小不定.当a、b为非零向量共线时,同向则有|a+b|a-b|,异向则有|a+b|a-b|;当a、b中有零向量时,|a+b|=|a-b|.综上所述,只有(2)正确.例4 若|=8,|=5,则|的取值范围是( )A.3,8 B.(3,8) C.3,13 D.(3,13)解析:=-.(1)当、同向时,|=8-5=3;(2)当、反向时,|=8+5=13;(3)当、不共线时,3|13.综上,可知3|13.答案:C点评:此题可直接应用重要性质|a|-|b|a+b|a|+|b|求解.变式训练 已知a、b、c是三个非零向量,且两两不共线,顺次将它

11、们的终点和始点相连接而成一三角形的充要条件为a+b+c=0.证明:已知a0,b0,c0,且ab,bc,ca,(1)必要性:作=a,=b,则由假设=c,另一方面a+b=+=.由于与是一对相反向量,有+=0,故有a+b+c=0.(2)充分性:作=a,=b,则=a+b,又由条件a+b+c=0,+c=0.等式两边同加,得+c=+0.c=,故顺次将向量a、b、c的终点和始点相连接成一三角形.知能训练课本本节练习解答:1.直接在课本上据原图作(这里从略).2.,.点评:解题中可以将减法变成加法运算,如-=+=,这样计算比较简便.3.图略.课堂小结1.先由学生回顾本节学习的数学知识:相反向量,向量减法的定义

12、,向量减法的几何意义,向量差的作图.2.教师与学生一起总结本节学习的数学方法,类比,数形结合,几何作图,分类讨论.作业课本习题2.2 A组6、7、8.设计感想1.向量減法的几何意义主要是结合平行四边形法则和三角形法则进行讲解的,两种作图方法各有千秋.第一种作法结合向量减法的定义,第二种作法结合向量的平行四边形法则,直接作出从同一点出发的两个向量a、b的差,即a-b可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量,第二种作图方法比较简捷.2.鉴于上述情况,教学中引导学生结合向量减法的几何意义,注意差向量的方向,也就是箭头的方向不要搞错了,a-b的箭头方向要指向a,如果指向b则表示b-a,在几何证明

13、题目中,特别要掌握用向量表示平行四边形的四条边与两条对角线的关系.下课啦，咱们来听个小故事吧:活动目的：教育学生懂得“水”这一宝贵资源对于我们来说是极为珍贵的，每个人都要保护它，做到节约每一滴水，造福子孙万代。活动过程：1.主持人上场，神秘地说：“我让大家猜个谜语，你们愿意吗？”大家回答：“愿意！”主持人口述谜语：“双手抓不起，一刀劈不开，煮饭和洗衣，都要请它来。”主持人问：“谁知道这是什么？”生答：“水！”一生戴上水的头饰上场说：“我就是同学们猜到的水。听大家说，我的用处可大了，是真的吗？”主持人：我宣布：“水”是万物之源主题班会现在开始。 水说：“同学们，你们知道我有多重要吗？”齐答：“知

14、道。”甲：如果没有水，我们人类就无法生存。小熊说：我们动物可喜欢你了，没有水我们会死掉的。花说：我们花草树木更喜欢和你做朋友，没有水，我们早就枯死了，就不能为美化环境做贡献了。主持人：下面请听快板水的用处真叫大竹板一敲来说话，水的用处真叫大；洗衣服，洗碗筷，洗脸洗手又洗脚，煮饭洗菜又沏茶，生活处处离不开它。栽小树，种庄稼，农民伯伯把它夸；鱼儿河马大对虾，日日夜夜不离它；采煤发电要靠它，京城美化更要它。主持人：同学们，听完了这个快板，你们说水的用处大不大？甲说：看了他们的快板表演，我知道日常生活种离不了水。乙说：看了表演后，我知道水对庄稼、植物是非常重要的。丙说：我还知道水对美化城市起很大作用。

15、2.主持人：水有这么多用处，你们该怎样做呢？（1）（生）：我要节约用水，保护水源。（2）（生）：我以前把水壶剩的水随便就到掉很不对，以后我一定把喝剩下的水倒在盆里洗手用。（3）（生）：前几天，我看到了学校电视里转播的“水日谈水”的节目，很受教育，同学们看得可认真了，知道了我们北京是个缺水城市，我们再不能浪费水了。（4）（生）：我要用洗脚水冲厕所。3.主持人：大家谈得都很好，下面谁想出题考考大家，答对了请给点掌声。（1）（生）：小明让爸爸刷车时把水龙头开小点，请回答对不对。（2）（生）：小兰告诉奶奶把洗菜水别到掉，留冲厕所用。（3）一生跑上说：主持人请把手机借我用用好吗？我想现在就给姥姥打个电话

16、，告诉她做饭时别把淘米水到掉了，用它冲厕所或浇花用。（电话内容略写）（4）一生说：主持人我们想给大家表演一个小品行吗？主持人：可以，大家欢迎！请看小品这又不是我家的大概意思是：学校男厕所便池堵了，水龙头又大开，水流满地。学生甲乙丙三人分别上厕所，看见后又皱眉又骂，但都没有关水管，嘴里还念念有词，又说：“反正不是我家的。”旁白：“那又是谁家的呢？”主持人：看完这个小品，你们有什么想法吗？谁愿意给大家说说？甲：刚才三个同学太自私了，公家的水也是大家的，流掉了多可惜，应该把水龙头关上。乙：上次我去厕所看见水龙头没关就主动关上了。主持人：我们给他鼓鼓掌，今后你们发现水龙头没关会怎样做呢？齐：主动关好。

17、小记者：同学们，你们好！我想打扰一下，听说你们正在开班会，我想采访一下，行吗？主持人：可以。小记者：这位同学，你好！通过参加今天的班会你有什么想法，请谈谈好吗？答：我要做节水的主人，不浪费一滴水。小记者：请这位同学谈谈好吗？答：今天参加班会我知道了节约每一滴水要从我们每个人做起。我想把每个厕所都贴上“节约用水”的字条，这样就可以提醒同学们节约用水了。小记者：你们谈得很好，我的收获也很大。我还有新任务先走了，同学们再见！水跑上来说：同学们，今天我很高兴，我“水伯伯”今天很开心，你们知道了有了我就有了生命的源泉，请你们今后一定节约用水呀！让人类和动物、植物共存，迎接美好的明天！主持人：你们还有发言

18、的吗？答：有。生：我代表人们谢谢你，水伯伯，节约用水就等于保护我们人类自己。动物：小熊上场说：我代表动物家族谢谢你了，我们也会保护你的！花草树木跑上场说：我们也不会忘记你的贡献！水伯伯：（手舞足蹈地跳起了舞蹈）同学们的笑声不断。主持人：水伯伯，您这是干什么呢？水伯伯：因为我太高兴了，今后还请你们多关照我呀！主持人：水伯伯，请放心，今后我们一定会做得更好！再见！4.主持人：大家欢迎老师讲话！同学们，今天我们召开的班会非常生动，非常有意义。水是生命之源，无比珍贵，愿同学们能加倍珍惜它，做到节约一滴水，造福子孙后代。5.主持人宣布：“水”是万物之源主题班会到此结束。 6.活动效果： 此次活动使学生明

19、白了节约用水的道理，浪费水的现象减少了，宣传节约用水的人增多了，人人争做节水小标兵活动目的：教育学生懂得“水”这一宝贵资源对于我们来说是极为珍贵的，每个人都要保护它，做到节约每一滴水，造福子孙万代。活动过程：1.主持人上场，神秘地说：“我让大家猜个谜语，你们愿意吗？”大家回答：“愿意！”主持人口述谜语：“双手抓不起，一刀劈不开，煮饭和洗衣，都要请它来。”主持人问：“谁知道这是什么？”生答：“水！”一生戴上水的头饰上场说：“我就是同学们猜到的水。听大家说，我的用处可大了，是真的吗？”主持人：我宣布：“水”是万物之源主题班会现在开始。 水说：“同学们，你们知道我有多重要吗？”齐答：“知道。”甲：如

20、果没有水，我们人类就无法生存。小熊说：我们动物可喜欢你了，没有水我们会死掉的。花说：我们花草树木更喜欢和你做朋友，没有水，我们早就枯死了，就不能为美化环境做贡献了。主持人：下面请听快板水的用处真叫大竹板一敲来说话，水的用处真叫大；洗衣服，洗碗筷，洗脸洗手又洗脚，煮饭洗菜又沏茶，生活处处离不开它。栽小树，种庄稼，农民伯伯把它夸；鱼儿河马大对虾，日日夜夜不离它；采煤发电要靠它，京城美化更要它。主持人：同学们，听完了这个快板，你们说水的用处大不大？甲说：看了他们的快板表演，我知道日常生活种离不了水。乙说：看了表演后，我知道水对庄稼、植物是非常重要的。丙说：我还知道水对美化城市起很大作用。2.主持人：

21、水有这么多用处，你们该怎样做呢？（1）（生）：我要节约用水，保护水源。（2）（生）：我以前把水壶剩的水随便就到掉很不对，以后我一定把喝剩下的水倒在盆里洗手用。（3）（生）：前几天，我看到了学校电视里转播的“水日谈水”的节目，很受教育，同学们看得可认真了，知道了我们北京是个缺水城市，我们再不能浪费水了。（4）（生）：我要用洗脚水冲厕所。3.主持人：大家谈得都很好，下面谁想出题考考大家，答对了请给点掌声。（1）（生）：小明让爸爸刷车时把水龙头开小点，请回答对不对。（2）（生）：小兰告诉奶奶把洗菜水别到掉，留冲厕所用。（3）一生跑上说：主持人请把手机借我用用好吗？我想现在就给姥姥打个电话，告诉她做饭时别把淘米水到掉了，用它冲厕所或浇花用。（电话内容略写）（4）一生说：主持人我们想给大家表演一个小品行吗？主持人：可以，大家欢迎！请看小品这又不是我家的大概意思是：学校男厕所便池堵了，水龙头又大开，水流满地。学生甲乙丙三人分别上厕所，看见后又皱眉又骂，但都没有关水管，嘴里还念念有词，又说：“反正不是我家的。”旁白：“那又是谁家的呢？”主持人：看完这个小品，你们有什么想法吗？谁愿意给大家说说？