2022年高中数学必修函数单调性-最值-以及奇偶性.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 函数专题：单调性与最值一、增减函数1. 概念一般地,设函数 y=fx 的定义域为 I ,假如对于定义域I 内的某个区间 D内的任意两个自变量 x1,x2,当 x 1x2 时,都有 fx1fx2 ,那么就说 fx 在区间 D上是增函数；留意：函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质,是函数的局部性质；增减函数是相对于相应区间而言的,不能离开相应的区间争论增减性；二、判定函数单调性的常用方法1、图像法依据函数图象说明函数的单调性直观例 1、 如图是定义在区间 5,5 上的函数y=fx ,依据图象说出函数的单调区间,以及在每一单调区间上,它是增函数

2、仍是减函数？2利用定义证明函数 fx 在给定的区间 D上的单调性的一般步骤： 任取 x1,x2D,且 x10 x【归纳小结】函数的单调性一般是先依据图象判定,再利用定义证明画函数图象通常借助电脑,求函数的单调区间时必需要留意函数的定义域,变 形 定 号 下结论3、直接法单调性的证明一般分五步： 取 值 作 差 对基本初等函数,如一次函数、二次函数、反比例函数可以直接写出它们的单调区间 . （1） 一次函数 y=kx+b, 当 k0 时,增区间是 - , +；当 kf1-3a,求实数 a 的取值范畴；6、已知 f x=x2-21-ax+2在 - , 4 上是减函数,求实数a 的取值范畴 . 复合

3、函数的单调性1、定义：设 y=fu,u=gx, 当 x 在 u=gx 的 定义域 中变化时, u=gx 的值在 y=fu 的定义域内变化,因此变量 x 与 y 之间通过变量 u 形成的一种函数关系,记为y=fu=fgx 称为复合函数,其中 x 称为自变量, u 为中间变量, y 为因变量 即函数 2 、复合函数 fgx的单调性与构成它的函数u=gx ,y=fu 的单调性亲密相关,其规律第 3 页 共 11 页名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 如下：函数f u u1, u增3x2增单调性减ug x 减yf u 增减增

4、减yf g x 增减减增例、已知yg x ,求yf g x 的单调性；例、已知yf u u21,ug x x1,求函数yfg x 的单调性；针对性训练1、已知yf u u21,ug x x1,求函数yfg x 的单调性；2、已知f x 82x2 x ,假如g x f2x2,那么g x A. 在区间 -1 ,0上是减函数 B. C. 在区间 -2 ,0上是增函数 D. 在区间 0,1上是减函数 在区间 0,2上是增函数第 4 页 共 11 页名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 3、已知函数 fx=8+2x-x2,gx=

5、f2-x2, 试求 gx 的单调区间 . 三、函数的最大小值1函数最大小值定义1最大值：一般地,设函数 y f x 的定义域为 I ,假如存在实数 M满意：1对于任意的 x I ,都有 f x M ；2存在 x 0 I ,使得 f x 0 M 那么,称 M是函数 y f x 的最大值2最小值：一般地,设函数 y f x 的定义域为 I ,假如存在实数 M满意：1对于任意的 x I ,都有 f x M ；2存在 0x I ,使得 f x 0 M 那么,称 M是函数 y f x 的最小值留意：函数最大小第一应当是某一个函数值,即存在 x 0 I ,使得 f x 0 M ； 函 数 最 大 小 应

6、该 是 所 有 函 数 值 中 最 大 小 的 , 即 对 于 任 意 的 x I , 都 有f x M f x m 例、求函数 y x 22 x 3 当自变量 x 在以下范畴内取值时的最值 1 x 0 0 x 3 x , 第 5 页 共 11 页名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 例、 求函数yx21在区间 2 ,6 上的最大值和最小值例、 设函数 f x xa 2 对于任意实数 t R都有 f 1 t f 1 t 1 求 a 的值；2 假如 x0 ,5 ,那么 x 为何值时函数 yf x 有最小值和最大值 .并求

7、出最小值与最大值【针对性练习】一、挑选题1函数 y4xx2,x0 ,3 的最大值、最小值分别为 D4 ,3 D4 A4 ,0 B2 ,0 C3 ,0 2函数yx1x2的最小值为 A1B1 C2 2第 6 页 共 11 页名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 二、填空题1函数 y2x24x1 x 2,3 的值域为 _2函数y2 xx2的值域为 _3、函数y2 x4x5x0,3的值域是；三、解答题1求函数fx2x,x0的值域x ,x02 已知函数 fx 在 R上是减函数,对于任意的 x,y R,总有 fx+fy=fx+y,

8、f1=-2/3,求 fx 在-3,3上的最值；的值域 . 3、求函数 y=第 7 页 共 11 页名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 四、奇偶性1.概念一般地,假如对于函数fx 的定义域内任意一个x,都有 f-x=fx,那么函数 fx 就叫做偶函数；假如都有f-x=-fx ,那么函数 fx 就叫做奇函数；从图像的角度,图像关于 y 轴对称的函数是偶函数,关于原点对称的函数是奇函数；例.下面三个结论：偶函数的图像肯定与y 轴相交；奇函数的图像肯定通过原点；偶函数的图像关于 y 轴对称 .其中正确的个数有几个？2.判定函

9、数奇偶性的一般步骤：求定义域,判定其定义域是否关于原点对称不对称非奇非偶化简函数 fx 的解析式,并求 f-x 依据 f-x 与非 fx的关系,判定函数 fx的奇偶性 例、判定以下函数的奇偶性：1fx=2fx=第 8 页 共 11 页名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 3.奇偶函数的性质 fx是偶函数,就 f-x=fx=f|x| 假设奇函数在原点处有定义,就 f0=0 偶函数的和、差、积、商分母不为零仍为偶函数；奇函数的和、差仍为奇函数；奇数个奇函数的积、商为奇函数；一个奇函数与一个偶函数的积是奇 函数；假设函数fx

10、为奇函数,就fx在关于原点对称的两个区间a,b 和-b,-a 具有相同的单调性；反之,偶函数具有相反的单调性；例、设 fx是奇函数,在 0,+上是减函数,试证明 fx在-,0上是 减函数 . 第 9 页 共 11 页名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 例、判定以下函数的奇偶性：1y=ax+b/x,a,b 0 2y=ax/x2+1,a 0 【针对性练习】1. 已知 fx=x5+ax3+bx-8,且 f-2=10,求 f2. 2、设函数 fx和 gx分别是 R 上的偶函数和奇函数,就以下结论恒成立的是A、fx+|gx|

11、是偶函数 C、|fx|+gx 是偶函数B、fx-|gx| 是奇函数 D、|fx|-gx 是奇函数3、判定函数 fx= |x+a|-|x-a|,aR 的奇偶性 . 第 10 页 共 11 页名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 4.设函数 fx是定义在 R 上的偶函数,且 f3/2. 5.函数 fx=1/x-x 的图像关于fx+2=fx, 当 x0,1时,fx=x+1, 求A、y 轴对称 B、直线 y=-x 对称C、坐标原点对称 D、直线 y=x 对称第 11 页 共 11 页名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 11 页