2022年高中数学集合的含义及其表示教案.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 名师精编 优秀教案1.1 集合的含义及其表示 教学目标：1使同学懂得集合的含义,知道常用集合及其记法；2使同学初步明白“ 属于” 关系和集合相等的意义,初步明白有限集、无限集、空集 的意义；3使同学初步把握集合的表示方法,并能正确地表示一些简洁的集合教学重点：集合的含义及表示方法教学难点：集合表示法的恰当挑选 . 教学过程：一、问题情境 1情境：新生自我介绍：介绍家庭、原毕业学校、班级2问题在介绍的过程中,常常涉及像“ 家庭”、“ 学校” 、“ 班级” 、“ 男生” 、“ 女生” 等概念,这 些概念与“ 同学 ” 相比,它们有什么共同的特点？答

2、：都是反映个体和群体的关系,群体是有个体组成的 . 二、同学活动 1介绍自己；2列举生活中的集合实例；3分析、概括各集合实例的共同特点三、数学建构集合论的创始者康托尔（G.Cantor.1845-1918,德国数学家、集合论创始人,他于1895年谈到“ 集合” 一词）曾说过：“ 集合是我们直觉或思维的并且是确定的彼此可以识别的对象的一个群体 . ” 明显这仅是给出一个描述性的说明 . 集合的概念是数学中不定义的原始概念. 1集合的含义： 一般地,肯定范畴内 确定的、不同的对象的全体组成一个集合（ set ）构成集合的每一个个体都叫做集合的一个元素（element ）“ element 中的字母

3、” 构成一个集合,该集合的元素是_. 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师精编 优秀教案为了书写便利,我们通常用大写拉丁字母表示集合,例如“ 集合2元素与集合的关系及符号表示：属于,不属于集合的元素一般具有以下特点和性质：A、集合B” （1）确定性： 对于一个已知集合,它的元素是确定的 . 所谓确定性就是： 任何一个事物a 或者是 A 的元素, 或者不是 A 的元素, 二者必居其一, 即 a A 或 a A 有且只有一个成立. 这是证明集合之间关系特殊是相等关系时,常常使用的重要依据 . （2）互异性：一个集合中

4、的所含元素不答应重复,准确的说,集合中的相同元素不能算作不同元素,而必需作为同一个元素看待. 如15 的正整数约数 规范格式为 x| px （3）无序性：集合中的元素可以任意变动次序. 列举法自然语言描述3集合的表示方法：描述法图示法数学语言描述（1）列举法：将集合中的元素一一列举出来,并置于花括号“” 内 . 用这种方法表示集合,元素之间要用逗号分隔,但列举时与元素的次序无关. A中假如两个集合所含元素完全相同（即A中的元素都是B中元素,B中元素也都是的元素）,那么称这两个集合相等. （2）描述法：把集合中元素的公共属性描述出来,写在大括号内的方法,期一般形式是 x p x . （3）图示法

5、（ Venn图法）：画一条封闭的曲线, 用它的内部来表示一个集合 . 有时用 Venn图表示集合,更加形象直观 . 4常用数集的记法名师归纳总结 常用集合简称记法第 2 页,共 11 页全体非负整数的集合非负整数集（或自然数集）N非负整数集内除0 的集合正整数集N 或 N全体整数的集合整数集Z全体有理数的集合有理数即Q全体实数的集合实数集R- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师精编 优秀教案5有限集,无限集与空集一般地,含有有限个元素的集合称为有限集,含有无限个元素的集合称为无限极xR. 我们不含任何元素的集合称为空集,记作. 例如, 集合xx2x1,

6、0就是空集. 6有关集合学问的历史简介四、数学运用1典例分析例 1 求不等式x22x30的解集 . . . 分析这是一个无限集,所以选用描述法表示例 2 求方程x22x30全部实数解的集合分析运用一元二次方程的学问可以知道,其解集是空集. 例 3 如何表示方程组xy1的解集呢？xy0分析这是一个熟识的问题,但在集合的观点下,如何正确表示是一个关键. 例 4 写出x230的解集 . 分析解集含两个元素,所以写解集时要留意和例3 的区分 . 例 5 完成以下各题：名师归纳总结 分析（1）如集合Axax10. 4,求实数 a 的值；第 3 页,共 11 页（2）如3a3 ,2a,1a2,求实数 a

7、考察集合和元素之间的关系- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师精编 优秀教案2课堂练习（1）用列举法表示以下集合：xx10；N；xx 为15 的正约数；xx 为不大于 10 的正偶数；x ,y xyy2；x24x ,yx,1 2,y3,1；x ,y3 x2y16 ,xN,yyxy,3xN,yN；xRx32 x2x0（2）用描述法表示以下集合：奇数的集合；正偶数的集合；,147, 10, 13. 五、回忆小结（1）集合的概念集合、元素、属于、不属于、有限集、无限集、空集；（2）集合的表示列举法、描述法以及 Venn 图；（3）集合的元素与元素的个数；（4

8、）常用数集的记法六、作业 课本第 7 页练习 3, 4 两题名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师精编 优秀教案集合论简介数学 的一个基本的分支学科,争论对象是一般集合；集合论在数学中占有一个特殊的位置,它的基本概念已渗透到数学的全部领域；集合论或 集论 是争论 集合（由一堆抽象物件构成的整体）的数学 理论, 包含集合、 元素和成员 关系等最基本数学 概念 ；在大多数现代数学的公式化中,集合论供应了要如何描述数学物件的语言；集合论和 规律 与一阶规律 共同构成了数学的公理化基础,以未定义的“ 集合” 与“ 集合成员

9、” 等术语来形式化地建构数学物件；在朴实集合论 中,集合是被当做一堆物件构成的整体之类的自证概念；在公理化集合论 中,集合和集合成员并不直接被定义,而是先规范可以描述其性质的一些 公理 ；在此一想法之下, 集合和集合成员是有如在 欧式几何中的 点和线,而不被直接定义；对集合论的异议一开头, 有些数学家拒绝将集合论当做数学的基础,认为这只是一场含有奇幻元素的游戏；埃里特 比修普驳斥集合论是“上帝 的数学, 应当留给上帝” ；而且,路德维希 维特根斯坦 特殊对无限的操作有疑问,这也和策梅罗- 弗兰克尔集合论有关；维特根斯坦对于数学基础的观点曾被保罗 贝奈斯所批判,且被克里斯平 赖特等人亲密争论过；

10、对集合论最常见的反对看法来自结构主义者,他们认为数学是和运算些微相关着的,但朴实集合论却加入了非运算性的元素；拓朴斯理论曾被认为是传统公理化集合论的另一种挑选；拓朴斯理论可以被用来解译各种集合集的替代方案,可运算集合论等；集合论（ Set theory）作用如 结构主义 、模糊集合论、 有限集合论和按现代数学观点, 数学各分支的争论对象或者本身是带有某种特定结构的集合如群、环、拓扑空间,或者是可以通过集合来定义的（如 合论可以说是整个现代数学的基础；历史自然数 、实数、 函数 ）；从这个意义上说,集集合论作为数学中最富制造性的宏大成果之一,是在19 世纪末由德国的康托尔 （18451918）创

11、立起来的； 但是, 它萌发、 孕育的历史却源远流长,无穷集合的早期争论 概念至少可以追溯到两千多年前；集合论是关于无穷集合和超穷数的数学理论；集合作为数学中最原始的概念之一,通常是指根据某种特点或规律结合起来的事物的总体；例如 美国国会图书馆 的全部藏书, 自然数的全体以及直线上全部点的总体等等；集合论的全部历史都是环绕无穷集合而绽开的；名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师精编 优秀教案创立之前早在集合论创立之前两千多年,数学家 和哲学家们就已经接触到了大量有关无穷的问题, 古希腊 的学者最先留意并考察了它们；公

12、元前 5 世纪,埃利亚学派的 芝诺 （约公元前490前 430）,一共提出 45 个悖论 ,其中关于运动的 四个悖论 ：二分法悖论、 阿基里斯追龟悖论、 飞矢不动悖论与 运动场 悖论尤为闻名, 前三个悖论都与无穷直接有关；芝诺在悖论中虽然没有明确使用无穷集合的概念,但问题的实质却与无穷集合有关；在数理 哲学 中,有两种无穷方式历来为数学家和哲学家所关注,一种是无穷过程,称为潜在无穷, 一种是无穷整体,称为实在无穷；希腊哲学家亚里士多德 （前 384前 322）最先提出要把潜在的无穷和实在的无穷加以区分,这种思想在当今仍有重要意义；他认为只存在潜在无穷,如地球的年龄是潜在无穷,但任意时刻都不是实

13、在无穷；他承认 正整数 是潜在无穷的, 由于任何正整数加上 1 总能得到一个新数；对他来说, 无穷集合是不存在的；哲学权威亚里士多德把无穷限于潜在无穷之内,犹如下了一道禁令,谁敢 冒天下之大不韪,以至于影响对无穷集合的争论达两千多年之久；创立过程公元 5 世纪, 拜占庭 的普罗克拉斯 （410485）是欧几里德 几何原本 的闻名评述者；他在争论直径分圆问题时,留意到圆的一根直径分圆成两个半圆,由于直径有无穷多,所以必需有两倍无穷多的半圆；为了说明这个在很多人看来是一个冲突的问题,他指出： 任何人只能说有很大很大数目的直径或者半圆,而不能说一个实实在在无穷多的直径或者半圆,也就是说,无穷只能是一

14、种观念,而不是一个数,不能参加运算；其实,他这里是接受了亚里士多德的潜无穷的概念,而否认实无穷的概念,对这种对应关系采纳了回避的态度；到了中世纪 ,随着无穷集合的不断显现,部分能够同整体构成一一对应这个事实也就越来越明显地暴露出来； 例如,数学家们留意到把两个同心圆上的点用公共半径联结起来,就构成两个圆上的点之间的一一对应关系；近代科学的开拓者伽利略 （15641642）留意到：两个不等长的 线段 上的点可以构成一一对应；他又留意到： 正整数与它们的平方可以构成一一对应,这说明无穷大有不同的“ 数量级” ,不过伽利略认为这是不行能的；他说, 全部无穷大量都一样, 不能比较大小；到了十七世纪,数

15、学家把无穷小量引进数学,构成所谓“ 无穷小演算” , 这就是 微积分 的最早名称； 所谓积分法无非是无穷多个无穷小量加在一起,而微分法就是两个无穷小量相除；由于无穷小量运算的引进,无穷大模大样地进入数学,虽然它给数学带来前所未有的富强和进步,它的基础及其合法性仍旧受到很多数学家的质疑,他们对无穷仍旧心存疑虑,这方面以“ 数学家之王”高斯（17771855）的看法为代表； 高斯是一个潜在无穷论者, 他在 1831 年 7 月 12 日给他的伴侣 舒马赫 尔的信中说“ 我必需最最剧烈地反对你把无穷作为一完成的东西来使用,由于这在数学中是从来不答应的；无穷只不过是一种谈话方式, 它是指一种极限,某些

16、比值可以任意地靠近它,而另一些就容许没有限制地增加；” 这里极限概念只不过是一种潜在的无穷过程；这里高斯反对那些哪怕是有时用一些无穷的概念, 甚至是无穷的记号的人,特殊是当他们把它当成是一般数一样来考虑时；法国大数学家 柯西（17891857）也同他的前人一样,不承认无穷集合的存在；他认为部分同整体构成一一对应是 自相冲突 的事；过程艰辛名师归纳总结 科学家 们接触到无穷, 却又无力去把握和熟识它,这的确是向人类提出的尖锐挑战；正第 6 页,共 11 页如大卫希尔伯特 （18621943）在他的 1926 年论无穷的讲演中所说的那样：“ 没有- - - - - - -精选学习资料 - - -

17、- - - - - - 名师精编 优秀教案任何问题象无穷那样深深地触动人的情感,很少别的观念能象无穷那样鼓励理智产生富有成果的思想, 然而也没有任何其它概念能象无穷那样需要加以阐明” ；面对“ 无穷” 的长期挑战,数学家们不会无动于衷,他们为解决无穷问题而进行的努力,第一是从集合论的先驱者开头的；集合论的产生先驱数学分析 严格化的先驱 波尔查诺 （ 17811848）也是一位探究实无穷的先驱,他是第一个为了建立集合的明确理论而作出了积极努力的人；他明确谈到实在无穷集合的存在,强调两个集合等价的概念,也就是后来的一一对应的概念；他知道, 无穷集合的一个部分或 子集可以等价于其整体,他认为这个事实

18、必需接受；例如 0 到 5 之间的实数通过公式 y=12x/5可与 0 到 12 之间的实数构成一一对应,虽然后面的集合包含前面的集合；为此,他为无穷集合指定超限数,使不同的无穷集合,超限数不同；不过,后来康托尔指出,波尔查诺指定无穷集合的超限数的详细方法是错误的；另外, 他仍提出了一些集合的性质,并将他们视为悖论；因此, 他关于无穷的争论 问题显现哲学意义 大于数学意义； 应当说, 他是康托尔集合论的先驱；黎曼 （1826 1866）是在 1854 年的就职论文关于用三角级数表示函数的可能性中首次提出“ 唯独性问题” 的；大意是：假如函数f （x）在某个区间内除间断点外全部点上都能绽开为收敛

19、于 函数值 的三角级数, 那么这样的三角级数是否是唯独的？但他没有赐予回答； 1870 年海涅（ 18211881）证明：当 f （x）连续,且它的三角级数绽开式一样收敛时,绽开式是唯独的；进一步的问题是：当f （x）具有无穷多个间断点时,唯独性能否成立？康托尔就是通过对唯独性问题的争论,熟识到无穷集合的重要性,并开头从事无穷集合的一般理论争论；奠定基础早在 1870 年和 1871 年,康托尔两次在数学杂志上发表论文,证明白函数 f （ x）的三角级数表示的唯独性 定理 ,而且证明白即使在有限个间断点处不收敛,定理仍旧成立；1872 年他在数学年鉴上发表了一篇题为三角级数中一个定理的推广的论

20、文,把海涅的一样收敛的严酷条件推广到答应间断点是某种无穷的集合的情形；为了描述这种集合,他第肯定义了点集的极限点,然后引进了点集的导集和导集的导集等有关重要概念；这是从唯独性问题的探究向点集论争论的开端,并为点集论奠定了理论基础；集合论产生1873 年 11 月 29 日康托尔在给 戴德金 （18311916）的一封信中,最终把导致集合论产生的问题明确地提了出来：正整数的集合（n）与实数的集合（ x）之间能否把它们一一对应起来；同年 12 月 7 日,康托尔写信给戴德金,说他已能胜利地证明实数的“ 集体” 是不可数的, 也就是不能同正整数的“ 集体” 一一对应起来；日；这个时期应当看成是集合论

21、的产生名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师精编 优秀教案集合拓扑开头1874 年,康托尔发表了这个证明,不过论文题目换成另外一个题目“ 论全部实代数数集体的一个性质,” 由于克洛内克（本没有内容, 无的放矢； 该文提出了“18231891）根本就反对这种论文,他认为这种论文根 可数集 ” 概念, 并以一一对应为准就对无穷集合进行分类,证明白如下重要结果：（1）一切代数数是可数的；（2）任何有限线段上的实数是不可数的； （3）超越数是不行数的；也有数量（基数）上的区分；（4）一切无穷集并非都是可数的,无穷集同有穷集

22、一样 1874 年 1 月 5 日,康托尔给戴德金写信,提出下面的问题：是否能把一块曲面（如包含边界在内的正方形）一意地映射到一条线（如包含端点在内的线段）,使得面上每一点对应线上一点而且反过来线上每一点对应面上一点？1877 年 6 月 20 日,他给戴德金写信,这次他告知他的伴侣这个问题答案是确定的理由,虽然几年以来他都认为答案是否定的；信中说“ 我看到了它,但我简直不能信任它” ；关于这一成果的论文 1878 年发表后,吸引人们争论度量空间维数的本质,很快显现一批论文；这批论文标志集合拓扑的开头；点集论体系建立从 1879 年到 1883 年,康托尔写了六篇系列论文,论文总题目是“ 论无

23、穷线形点流形” ,其中前四篇同以前的论文类似,争论了集合论的一些数学成果,特殊是涉及集合论在分析上的一些好玩的应用；第五篇论文后来以单行本出版,单行本的书名一般集合论基础；第六篇论文是第五篇的补充；一般集合论基础在数学上的主要成果是引进超穷数；该文从内容到表达方式都同现代的朴实集合论基本一样,所以该书标志着点集论体系的建立；遭受挫折1884 年,由于连续统假设长期得不到证明,再加上与克罗内克 的尖锐对立,精神上屡遭打击, 5 月底,他支持不住了,第一次精神崩溃；他的精神懊丧,不能很好地集中争论集合论, 从今深深地卷入神学、哲学及文学的争辩而不能自拔；不过每当他复原常态时,他的思想总变得超乎平常

24、的清楚,连续他的集合论的工作；康托尔的奉献对超穷集合论基础的奉献是康托尔最终一部重要的数学著作；奉献分两部分,第一部分是全序集合的争论,于 1895 年 5 月在数学年刊上发表；其次部分于 1897 年 5月在数学年刊 上发表；奉献 的发表标志集合论已从点集论过渡到抽象集合论；但是,由于它仍不是公理化的,而且它的某些规律前提和某些证明方法如不赐予适当的限制便会导出悖论,所以康托尔的集合论通常成为古典集合论或朴实集合论；显现悖论导致怀疑不过, 康托尔的集合论并不是完善无缺的,一方面, 康托尔对“ 连续统假设” 和“ 良序性定理” 始终束手无策；另一方面,19 和 20 世纪之交发觉的 布拉 利福

25、蒂悖论、 康托尔悖论和 罗素悖论 ,使人们对集合论的牢靠性产生了严峻的怀疑；加之集合论的显现的确冲击了传统的观念,颠倒了很多前人的想法,很难为当时的数学家所接受,遭到了很多人的反对,名师归纳总结 其中反对的最猛烈的是柏林学派 的代表人物之一、构造主义者克罗内克；克罗内克认为, 数第 8 页,共 11 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学的对象必需是可构造出来的,名师精编优秀教案不应作为数学的对不行用有限步骤构造出来的都是可疑的,象,他反对 无理数 和连续函数的理论,同样严格批判和恶毒攻击康托尔的无穷集合和超限数理论不是数学而是神奇主义；他说康托尔的集

26、合论空空洞洞毫无内容；集合论的悖论显现之后,他们开头认为集合论根本是一种病态,他们以不同的方式进展为体会主义、半体会主义、直觉主义、构造主义等学派,在基础大战中,构成反康托尔的阵营；得到确定康托尔的集合论得到公开的承认和热忱的赞扬应当说第一在 瑞士 苏黎世召开的第一届国际数学家大会 上表现出来； 瑞士苏黎世理工高校教授 胡尔维茨 （1859 1919）在他的综合报告中, 明确地阐述康托尔集合论对函数论的进展所起的庞大推动作用,这破天荒第一次向国际数学界显示康托尔的集合论不是可有可无的哲学,而是真正对数学进展起作用的理论工具；在分组会上, 法国数学家 阿达玛 （1865 1963）,也报告康托尔

27、对他的工作的重要作用；随着时间的推移, 人们逐步熟识到集合论的重要性；希尔伯特高度赞誉康托尔的集合论“ 是数学天才最优秀的作品” ,“ 是人类纯粹智力活动的最高成就之一” ,“ 是这个时代所能夸耀的最庞大的工作” ；在 1900 年其次届国际数学家大会上,希尔伯特高度评判了康托尔工作的重要性,并把康托尔的连续统假设列入 20 世纪初有待解决的 23 个重要数学问题之首；当康托尔的朴实集合论显现一系列悖论时,克洛内克的后继者 布劳威尔 （ 18811966）等人借此大做文章, 希尔伯特用坚决的语言向他的同代人宣布：所制造的伊甸园中驱逐出来” ；集合论的进展成为系统的学科“ 没有任何人能将我们从康

28、托尔1899 年第一篇点集论的论文在德国数学家联合会年报上发表,这篇论文是德国数 学家 舍恩 弗利斯（ 18531928）写的；他本人在其后仍为德国数学科学百科全书中撰写 有关条目； 20 世纪初他连续争论康托尔留下的问题,特殊是维数不变性问题；大约同时,德国数学家 豪斯道夫（18681942）对集合论进行一系列争论,特殊是序型及序集理论；1914年出版 集合论大纲 更是集合论及 点集拓扑学 的经典著作, 他的体系是后来争论的基础及 动身点；从今集合论成为系统的学科；确立位置从非欧几何的产生开头的对数学无冲突性 （相对无冲突性） 的证明把整个数学说明为集合论,集合论成了数学无冲突性的基础,集合

29、论在数学中的 基础理论 位置就逐步确立起来；集合论公理化19 和 20 世纪之交人们发觉了一系列集合论悖论 ,说明集合论是不和谐的,这使得人们对数学推理 的正确性和结论的真理性产生了怀疑,触发了 第三次数学危机；为了克服悖论所带来的困难, 人们开头对集合论进行改造,即对康托尔的集合定义加以限制,“ 从现有的集合论成果动身, 反求足以建立这一数学分支的原就；这些原就必需足够狭窄,以保证排除一切冲突, 另一方面, 又必需充分宽阔, 使康托尔集合论中一切有价值的内容得以储存下来” （策梅罗语）；这就是集合论公理化方案；1908 年策梅罗（ 18711953）提出第一个 公理名师归纳总结 - - -

30、- - - -第 9 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师精编 优秀教案集合论 系统,后经德国以色列数学家弗兰克尔（18911965）和挪威 数学家斯科 兰姆（18871963）的补充和修正, 得到现在公认的策梅罗弗兰克尔公理系统,简记为 ZF,ZF 假如另加挑选公理 （AC）,就所得的公理系统简记为 ZFC.1925 年大数学家冯 诺伊曼（19031957）开创了另一套公理系统,后经伯奈斯（18881977）及 哥德尔 （19061978）的改进形成了NBG公理系统 ；已经证明,ZF对于进展集合论是足够了, 它能防止已知的集合论悖论,并在数学基础 争论中供应

31、了一种便利的语言和工具；在ZF 中,几乎全部的数学概念都能用集合论语言表达,数学定理也大都可以在ZFC内得到形式证明,因而作为整个数学的基础,ZFC是完备的,数学的无冲突性可以归结为ZFC的无冲突性；对争议公理的争论由哥德尔不完全性定理 可知,假如 ZF 是无冲突的, 就在 ZF 中不能证明自身的无冲突性 ,所以在公理集合论中只考虑相对无冲突性问题；已经证明,假如 ZF 是无冲突的,就 NBG也是无冲突的； 挑选公理 （ AC）和连续统假设 （ CH）有重要位置, 是集合论中长期争论的 课题 ；AC成为 数学史 上继平行公理之后最有争议的公理,CH是 1878 年康托尔提出来的, 简洁的说,就

32、是关于直线上有多少点的问题；近 40 年来在 AC和 CH争论方面取得不少进展；1938年, 哥德尔证明 了：从 ZF 推不出 AC的否定,从 ZFC推不出 CH的否定,即 AC对于 ZF,CH对于 ZFC是相对无冲突的 .1963 年,科恩（1934）创立闻名的力迫法, 证明白 AC对于 ZF,CH对于 ZFC的相对独立性 , 即从 ZF 推不出 AC,从 ZFC推不出 CH；综合这两个结果 , 得出 AC在ZF 中,CH 在 ZFC中都是不行判定的；此外,大基数问题,无穷组合论的争论亦有很大进展,70 岁月以来,打算性公理的争论与它们交错在一起,有很大的进展,同时,人们仍在查找迄今尚未发觉

33、的与其它公理无冲突的可信任的新的公理,统问题,这方面的工作成为集合论当前争论的主流；能用所谓“ 常识” 来反对集合论观点吗以期在更有效的途径上来解决连续名师归纳总结 集合论的等势性原理, 是康托 为了给现代分析学构建理论和规律基础 而预备的 , 而不是第 10 页,共 11 页为了描述“ 常识世界” 而构造的；试图用“ 常识” 来反对等势性原理是荒谬的；就像在现实生活中摸索实无穷是没有意义的一样,由于你只能举出潜无穷的例子（例如探究真理时,实践与熟识之间的反复,直至无穷）,而举不出实无穷的例子；只要能在规律上构成一样的体系,在现代分析学体系下就是正确的基础；作为一个构造性原理,康托的 理论假设 可以被置换, 在对争议公理争论里已经阐明；不过假如替代了某些公理能够形成新的体系,也只是能描述新的体系,不能描述原有体系是“ 错误” 的.- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 名师精编优秀教案第 11 页,共 11 页- - - - - - -