2022年高中数列知识大总结5.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载数列第六章二、重难点击本章重点：数列的概念,等差数列,等比数列的定义,通项公式和前n 项和公式及运用,等差数列、等比数列的有关性质；留意提炼一些重要的思想和方法,如：观看法、累加法、累乘法、待定系数法、倒序相加求 和法、错位相减求和法、裂项相消求和法、函数与方程思想、分类与争论思想、化归与转化思想等；学问网络通项公式 数列与正整数集关系 递推公式数列等差数列定义 通项公式中项 前 n项的和等比数列公式法特别数列求和方法倒序相加法 错位相减法裂项相消法四、数列通项a 与前 n 项和S 的关系第一课时数列n1S na 1a 2a3n

2、ani1ai2a nS nS 111S nn2课前热身名师归纳总结 3数列an的通项公式为a n3n228n, 就数列各项中最小项是 B 3,第 1 页,共 31 页B第项C第项D第项的取值范畴是A第项an是递增数列,其通项公式为ann2n, 就实数4已知数列5数列an的前 n 项和Snn24n1, ,就an2 n25n1n2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 题型一归纳、猜想法求数列通项学习必备欢迎下载【例 1】依据以下数列的前几项,分别写出它们的一个通项公式7,77,777,7777,1,3,3,5,5,7,7,9, 9解析：将数列变形为7 101

3、,7 1021 ,7 1031 ,7 10n1 9999将已知数列变为1+0 ,2+1, 3+0, 4+1, 5+0, 6+1, 7+0, 8+1 ,9+0, ；可得数列的通项公式为1ann1n2点拨：本例的求解关键是通过分析、比较、联想、归纳、转换获得项与项数的一般规律,从而求得通项；题型二应用a nS nS 11 n1求数列通项. S n n2 例 2已知数列an的前 n 项和S ,分别求其通项公式S n3n2解析 ：当n1 时,a1S 13 121,当n2 时 ,a nS nS n1 3 n2 3 n12 23n1又a11不适合上式,故an211 n1 n 3 n2 三、利用递推关系求数

4、列的通项名师归纳总结 【例 3】依据以下各个数列an的首项和递推关系,求其通项公式第 2 页,共 31 页a11,an1an1124n2解析：由于an1an11,所以4 n2an1an4n11121121122nn所以a2a 1111213a3a2111 523a4a 31 1 2 51 7- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载 , ,an 1ana n11 2 213211fn,求an用 累 加 法 , 如an1fn,求an用 累 乘 法 , 如nn以上n1个式相加得ana1112112n即：a n14 n124 n34 n2点 拨 ：

5、 在 递 推 关 系 中 如an1ana npanq,求a 用待定系数法或迭代法；课外练习3 设a nn1n11n111,nN ,就an1与an的大小关系是 C 22nAaanBan1anCan1anD不能确定解：由于an1an113n112n22n121202n3n所以an1an,选二、填空题5已知数列an的前 n项和Snn24n1,就an2 n25,n1a ,a9,n2 7已知数列an的通项n98（nN）,就数列an的前 30 项中最大项和最小项分别是n99名师归纳总结 解：构造函数yx9819998y1第 3 页,共 31 页x99x99由函数性质可知,函数在,99上递减,且y函数在99

6、,）上递增且1- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 又999,10）a 301a 1a2学习必备欢迎下载a 10a 11a 12三、解答题a9a 10最大,a 9最小6.2 等差数列名师归纳总结 学问要点之,不成立；2递推关系与通项公式anamnm d递推关系：an1and通项公式：ana 1n1 d2ananmanm推广：anam nm d变式：a 1ann1d;Sn,S 2nSn,S 3 nS 2n仍成等差数列；da na 1判定或证明一个数列是等差数列的方法：n1da nam定义法：nman1and常数）（nN）an是等特点：a ndna 1d,差数

7、列即：a nfn knm,k,m 为常数）中项法：a nknm,（k,m 为常数是数列an成2an1anan2（nNan是等差数等差数列的充要条件；列等差中项：通项公式法：如a,b,c成等差数列, 就 b 称a与c的等差中项,a nknbk,b为常数an是等差数且ba2c；a,b,c成等差数列是2 bac的充列前 n 项和公式法：要条件；SnAn2BnA,B 为常数an是前 n 项和公式Sna 1ann；Snna1n n21d等差数列课前热身22等差数列an中,特点：S ndn2a 1dn ,a4a6a8a 10a12120,就a91a 11 的值为C223即S nfnAn2BnA14B15C

8、16D17 S nAn2BnA ,B 为常数解a91a11a91a92d是数列an成等差数列的充要条件；332a9d2a 82120165等差数列an的基本性质其中m ,n,p,qN3335如mnpq,就amanapaq反第 4 页,共 31 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备；欢迎下载6 2 a37d03等差数列an中,a10,S 9S 12,就前10247d0d247或 11 项的和最大；又S 1313a 12a1313a3a112解：S 9S 12,S 12S 90132a38d0a 10a 11a 120,3 a 110,2248d0

9、d3a 110,又a 10从而24d3an为递减等差数列S 10S 11为最大；74已知等差数列an的前 10 项和为 100,前 100 项和S 126 a6a 70为 10,就前 110 项和为 110 解：S 1313 a70a 70,a 60S 6最大；S 10,S 20S 10,S 30S 20,S 110S 100,课外练习 一、 挑选题成等差数列,公差为D 其首项为1 已知an数列是等差数列,a 1010,其前10S 10100,前 10 项的和为S 10010项的和S 1070,就其公差 d 等于 D 10010109D10,D222A2B1又 S 110S 100S 1010

10、 D33S 1101001010（22）110C13D23y50 n9812 nn n1422 已知等差数列an中,2 n240 n982 n10 2102a7a916,a41,就a12等于（A ）所以当n10 时,y max102设等差数列an的前 n 项和为S ,已知A 15 B 30 C31 D64 a312,S 120,S 130解：a7a9a 4a 12a 1215求出公差 d 的范畴,二、填空题指出S 1,S2,S 12中哪一个值最大,并说3 设Sn为 等 差 数 列an的 前 n 项 和 ,明理由；S 414,S 10S 730,就S 9=54 da nfnnanS nann2

11、4 已 知 等 差 数 列an的 前 n 项 和 为Sn, 如解：S 126a 1a 126a 3a10S 1221,就a2a 5a8a 11名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 31 页精选学习资料 - - - - - - - - - 5 设 F 是椭圆x2y21学习必备欢迎下载的右焦点,且椭圆上至走 1m ,乙每分钟走5 m ,甲、乙开头运动后几分钟相遇？假如甲乙到对方起点后立刻折返,甲76连续每分钟比前一分钟多走1m ,乙连续每分钟走少有 21 个不同点5 m ,那么,开头运动几分钟后其次次相遇？Pi i,1 2 ,使解：设 n 分钟后第一次相遇,依题意有：P 1F,P

12、 2F,P 3F,组 成 公 差 为 d 的 等 差 数 列 , 就 d 的 取 值 范 围 为1,00,11010n n 1 2 n 5 n 702解得 n 7,n 20 舍去）故第一次相遇是在开头运动后 7 分钟；设 n 分钟后其次次相遇,就：解：椭圆的焦点F 到椭圆上的点最大、最小距离分别2nnn15n370为71 和（71）,由题意得：2（71）（n1 d71解得n15,n28舍去）故其次次相遇是在开头运动后15 分钟dn21n12010 已 知 数 列a n中 ,a 13,前n 和d1,又d0S n1n1 an1 11021d0 或0d1求证：数列an是等差数列1010三、解答题求数

13、列an的通项公式6 等 差 数 列an的 前 n 项 和 记 为Sn, 已 知设数列a11的前 n 项和为T ,是否存在实a 1030,a2050na n求通项a ；如S =242,求n数 M ,使得TnM对一切正整数n 都成立？如存解：a na 1n1 d在,求 M 的最小值,如不存在,试说明理由；解：S n1n1 an1 1a 1030,a20502S n11 n2 an11 1解方程组a 19 d302a119d50a n1S n1S na 112an2n101 n2 a n11n1 a n1d22由Snna1nn21 d,S =242 整理得,na n1n1an1n1 an2n2 a

14、n11n1a n2na n1n2 a n1 n1 a n12nnn1 22422 n1a n1 n1 a n2an2解得n11 或n22舍去）2 an1a n2an7 甲、乙两物体分别从相距70 m 的两处同时相向运数列an为等差数列；动,甲第一分钟走2 m ,以后每分钟比前一分钟多名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 31 页精选学习资料 - - - - - - - - - a13,nan1n1 an12学习必备欢迎下载111311122 n12 n3a22 a115T n11111a2a 12n的公差为21 235572 n2 n即等差数列a111 3ana 1n1 d3

15、n232 n又当nN时,T n12n116an1n1a2n1 2n3 要使得TnM对一切正整数n 恒成立,只要M 1 ,所以存在实数 6M 使得TnM对一切正整数n都成立, M 的最小值为1；66.3 等比数列名师归纳总结 学问要点如mnpq,就amanapaq反 之1 定义：假如一个数列从其次项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,那么这个数列叫做等比不真！数 列 , 这 个 常 数 叫 做 等 比 数 列 的 公 比 , 记 为qnman,an2anmanmnNq,（q0；am2 递推关系与通项公式an为等比数列,就下标成等差数列的对应项递推关系：an1qan成等比数列；通项公式：an

16、a 1qn1推广：a namqnmq1 时,Sn,S 2nSn,S 3 nS2n,仍3 等比中项： 如三个数a,b,c成等比数列, 就称 b 为成等比数列；6 等比数列与等比数列的转化a与c的等比中项,且为bac,注：b2acan是等差数列ca nc0,c1 是是成等比数列的必要而不充分条件；等比数列；4 前 n 项和公式an是正项等比数列S nna 1qn q1qq1a 1 1a 1anlogca nc0,c1 是等差数列；1q1qan既是等差数列又是等比数列an是各5 等比数列的基本性质,其中m ,n,p ,qN第 7 页,共 31 页- - - - - - -精选学习资料 - - - -

17、 - - - - - 学习必备 项不为零的常数列；7 等比数列的判定法欢迎下载求a ,定义法：an 1q（常数）an为等比数列；如T nlga 1lga2lgan,求T nan在等比数列an中,如a 150,就有等式中项法：an12anan2a n0 an为a1a2ana1a2a29n等比数列；通项公式法：ankqnk,q为常数）ann29,nN成立,类比上述性质,相应的为等比数列；前n项和法：在等比数列bn中,如b191就有等式成S nk 1qn（k,q为常数）an为 等 比 数立；解：由等比数列的性质可知：列；1设fn2242710 223n10a 1a6a3a432又a 1a633,a

18、1a6 nN,就fn 等于（D）解得a132,a61所以a61,即q51,q1A27 8n1B27 8n11a132322所以an321n126nC27 8n31D27 8n412由等比数列的性质可知,lgan是等差数2 已知数列an是等比数列,且列,由于S m10,S 2m30,就S 3m70 （问题引入）lga nlg6 2n 6n lg2,lga 15 lg2猜想：bn是等比数列,公比为1 ；2所以T nlga 1lga nnn 11n lg222证明如下：bn1a2n111a2n1 由 题 设 可 知 , 如 果am0在 等 差 数 列 中 有4241a2n111a1a2ana1a2a

19、2m1n244n2 m1,nN成 立 , 我 们 知 道 , 如 果1a2n111bn242如mnpq,就amanapaq,而对于即：b n11,bn是首项为a1,公比b n2等比数列b n,就有4为1 的等比数列；2如mnpq,就amanapaq所以可以得出结论,如名师归纳总结 二、性质运用a在4等比a数列1an中,b m1,就有b 1 b 2b nb 1b 2b 2m1n第 8 页,共 31 页例2：3a32,nann2 m1,nN成立,在此题中a1a633,- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载故就有b 1b 2b nb 1b 2b

20、37na42,且an22an1an0（nN）n37,nN求数列an的通项公式；点拨：历年高考对性质考查较多,主要是利用“ 等积就da4a 12性” ,题目“ 小而巧” 且背景不断更新,要娴熟把握；41典例精析一、 错位相减法求和所以,an=8（ n 1） （ 2） 102n例 1：求和：S n123naa2a3anbnn 141an2 n12 解：na1 时,Sn123nnn1 11n1224na1 时,由于a0所以Sn123nTnb 1b2b naa2a3an111111n121Sn12nn1an141324naa2a3an1 11n11n12由得：4211S n111n1311maaa2a

21、nn a84n1 4 n2 321 11an1aa 1n对一切nN恒成立；1nam12n81n82对一切nN恒成立；所以S naann1n a1a a12对nN,（12n81n82min综上所述,S naan n11 a112181182163n2 1 n aa1所以m16ana1 23m 的最大整数值为5；点拨：如数列an是等差数列,bn是等比数列,就求数列anbn的前 n 项和时,可采纳错位点 拨 ： 如 数 列an的 通 项 能 转 化 为相减法；fn1 fn的形式,常采纳裂项相消法求和；当等比数列公比为字母时,应对字母是否为使用裂项消法求和时,要留意正负项相消时,1 进行争论；消去了哪

22、些项,保留了哪些项；当将S 与 qS 相减合并同类项时,留意错三、 奇偶分析法求和位及未合并项的正负号；例 3：设二次函数fxx2x,当xn,n1二、 裂项相消法求和名师归纳总结 例2：数列an满足a 1=8,1 在等差数列an中,a =1 ,前 n 项和S 满意第 9 页,共 31 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 学习必备欢迎下载S 2n4n2,n1,2,1p T npp2pnnpn1S nn1p1pnnpn1求数列an的通项公式1p所以T np 1pnnpn1记b nanpa n p0,求数列b n的前 n1p21p即：Tnp 1

23、nn1n1p1 项和T ；pn2 np解 ：设数 列an的 公差 为 d,由pp1 1p21课外练习S 2n4n2,n1,S nn1 数列an的前n项和为S n,如得a 1a 1a23,所以a22a nn11 ,就S 5等于（B ）n即da2a 11又4n2S2nA1B5C1D1Sn6630n1解：由于ann11 1n11annda 12nnnan2a 1n所以S 511111121223562 ann1 5a n16所以a = nfx的定义域为R,且f x 是以2 为周期的周期函数, 数列an是首项为aaN,公差为由bnanpa n p0,有bnnpn所以T np2p23p3npn1 的等差

24、数列, 那么fa 1fa2fa10的值为（C ）当p1 时,T nnn1 2A 1 B1 C0 D10 a当p1 时,解：由于函数fx的定义域为R,且fx 是pT np22p3n1 pnnpn1以 2 为周期的周期函数,得所以f0）0,且fx2 fx 又数列an是首项为 a ,公差为1 的等差数列第 10 页,共 31 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 所以anan1,又aN学习必备欢迎下载6数列an满意ann11n22nn1,fa nffa（n 为奇数）又b n21,就数列bn的前 n 项和为8 n1a1（n 为偶数）q 和na a

25、nn所以fa 1fa2fa 10解：ann1112nn5fa5fa125f0 f 1 5f 1 b n2181= 81n11）又f1 f12f 1a a n nn n所以f1 f1 即f1 0n故原式 =0,选 C；所以b 1 b 218 11b n1281 3 n1n1 1二、填空题2 1n设等比数列an的公比与前n 项和分别为8 1S ,且 q 1,S 108,就1S 20108n1n1数列1,12,12,13,13,13,14,14,14,14,的前 100 项q方法一、a11q108的和为139；（nN）12141S2010 1a11q208qq10） 1q第 11 页,共 31 页方法二、S 20S 10a11a12a20