2022年高中数学-解三角形知识点汇总及典型例题.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 解三角形的必备学问和典型例题及详解一、学问必备：1直角三角形中各元素间的关系：在 ABC中, C90 , ABc,AC b,BC a；1三边之间的关系：a 2 b 2c 2；勾股定理2锐角之间的关系：AB90 ；3边角之间的关系： 锐角三角函数定义sin Acos Ba ,cos Asin Bcb ,tan Aca ；b2斜三角形中各元素间的关系：在 ABC中, A、B、 C为其内角, a、b、 c 分别表示 A、B、C的对边；1三角形内角和：ABC ；2正弦定理：在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等aAbBcC2RR为外接圆半径sin

2、sinsin3余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍a 2b 2c 22bccos A；b 2c 2a 22cacos B；c 2a 2b 22abcosC； 3三角形的面积公式：1 S 1 aha1 bhb1 chcha、hb、hc分别表示 a、b、c 上的高；2 2 22 S 1 absin C1 bcsin A1 acsin B；2 2 24解三角形：由三角形的六个元素即三条边和三个内角中的三个元素其中至少有一个是边求其他未知元素的问题叫做解三角形广义地,这里所说的元素仍可以包括三角形的高、中线、角平分线以及内切圆半径、外接圆半径、面积等等

3、主要类型：1两类正弦定懂得三角形的问题：第 1、已知两角和任意一边,求其他的两边及一角. . 第 2、已知两角和其中一边的对角,求其他边角2两类余弦定懂得三角形的问题：名师归纳总结 第 1、已知三边求三角. 第 1 页,共 14 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 第 2、已知两边和他们的夹角,求第三边和其他两角 . 5三角形中的三角变换三角形中的三角变换,除了应用上述公式和上述变换方法外,仍要留意三角形自身的特点； 1角的变换由于在 ABC 中, A+B+C= ,所以 sinA+B=sinC；cosA+B= cosC；tanA+B= tanC ；si

4、n A B cos C , cos A B sin C；2 2 2 2 2判定三角形外形时,可利用正余弦定理实现边角转化,统一成边的形式或角的形式 . 6求解三角形应用题的一般步骤：1分析：分析题意,弄清已知和所求；2建模：将实际问题转化为数学问题,写出已知与所求,并画出示意图；3求解：正确运用正、余弦定理求解； 4检验：检验上述所求是否符合实际意义；二、典例解析题型 1：正、余弦定理例 11在ABC 中,已知A0 32.0,B0 81.8,a42.9cm,解三角形；01 ,边长精确到2在ABC 中,已知a20cm,b28cm,A0 40,解三角形角度精确到1cm；解：1依据三角形内角和定理,

5、C1800AB0 18032.000 81.8 0 66.2 ；760,依据正弦定理,ba sinB0 42.9sin81.80 sin32.080.1cm ；0.8999.sinA依据正弦定理,casinC42.9sin66.2 0 sin32.0074.1cm .sinA2依据正弦定理,sinBb sinA0 28sin40a20由于00 B 0 180 ,所以B0 64,或B116 . 04000 64 当B0 64时,C1800AB 18002 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 14 页精选学习资料 - - - - - - - - - casinC20sin760

6、30 cm .sinAsin400当B1160时, 2C1800AB 18000 400 116 0 24,ca sin C0 20sin2413 cm .sinAsin400点评：应用正弦定理时1应留意已知两边和其中一边的对角解三角形时,可能有两解的情形；对于解三角形中的复杂运算可使用运算器题型 2：三角形面积例 2在ABC 中, sinAcosA2, AC2,AB3,求tanA的值和ABC的面积；2解法一：先解三角方程,求出角A 的值；sinAcosA2cosA452,2cosA451.2又 0A180, A4560 ,A105.tanAtan4560 1323, 13246.sinAsi

7、n 105sin 4560sin 45cos 60cos 45sin 60SABC1ACABsinA123246326 ；224解法二：由 sinAcosA 运算它的对偶关系式sinAcosA 的值；sinAcosA22sinAcos 2122sinA cosA120A180 ,sinA0,cosA0.另解sin 2A123 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 14 页精选学习资料 - - - - - - - - - sinAcosA 212sinAcosA3, 2sinAcosAA626；623；2+得 sin A24得 cos A26；446从而tanAsincosA4

8、2以下解法略去；点评：本小题主要考查三角恒等变形、三角形面积公式等基本学问,着重数学考查运算才能,是一道三角的基础试题；两种解法比较起来,你认为哪一种解法比较简洁呢？题型 3：三角形中的三角恒等变换问题例 3在 ABC中, a、b、c 分别是 A、 B、 C 的对边长,已知 a、b、c 成等比数列,且 a 2bsin Bc 2=acbc,求 A的大小及 的值；c分析：因给出的是 a、b、c 之间的等量关系,要求A,需找 A 与三边的关系,故可用余弦定理；由 b 2=ac 可变形为 b 2=a,再用正弦定理可求 bsin B的值；c c解法一： a、b、c 成等比数列,b 2=ac；又 a 2c

9、 2=acbc, b 2+c 2a 2=bc；b 2 c 2 a 2 bc 1在 ABC中,由余弦定理得：cosA= = =,2 bc 2 bc 2 A=60 ；在 ABC中,由正弦定理得sin B=b sinA, b2=ac,aA=60 ,bsinBb2sin60=sin60 =3；cac2解法二：在ABC中,4 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 14 页精选学习资料 - - - - - - - - - 由面积公式得1 bcsin A= 21 acsin B；2b 2=ac, A=60 , bcsin A=b2sin B；b sinB=sin A=3 ；2c评述：解三角

10、形时,找三边一角之间的关系常用余弦定理,找两边两角之间的关系常用正弦定理；题型 4：正、余弦定理判定三角形外形例 4在 ABC中,假设 2cosBsin AsinC ,就 ABC的外形肯定是A. 等腰直角三角形 B. 直角三角形C.等腰三角形 D. 等边三角形答案： C 解析： 2sin Acos Bsin C =sin AB=sinAcosB+cosAsinB sin AB 0, AB另解：角化边点评：此题考查了三角形的基本性质,要求通过观看、分析、判定明确解题思路和变形方向,通畅解题途径题型 5：三角形中求值问题例 5ABC 的三个内角为A、 、C,求当 A 为何值时, cosA2cosB

11、2C取得最大值,并求出这个最大值；解析：由 A+B+C= ,得B+C 2 = 2A 2,所以有 cosB+C 2 =sinA 2；1 22+ 3 2；cosA+2cosB+C 2 =cosA+2sinA 2 =1 2sin2A 2 + 2sinA 2= 2sinA 2当 sinA 2 = 1 2,即 A= 3时, cosA+2cosB+C 2取得最大值为3 2；点评：运用三角恒等式简化三角因式最终转化为关于一个角的三角函数的形式,通过三角函数的性质求得结果；题型 6：正余弦定理的实际应用例 62022 辽宁卷文,理如图,A,B,C,D 都在同一个与水平面垂直的平面内,B,D为两岛上的两座灯塔的

12、塔顶； 测量船于水面 A 处测得 B 点和 D点的仰角分别为 75 0,30,于水面 0C处测得 B点和 D点的仰角均为 60,0AC=0.1km；摸索究图中 B,D间距离与另外哪两点间距离相等,然后求5 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 14 页精选学习资料 - - - - - - - - - B,D的距离运算结果精确到0.01km,21.414 ,62.449 解: 在 ABC中, DAC=30 , ADC=60 DAC=30, 所以 CD=AC=0.1 又BCD=180 60 60 =60 ,故 CB是 CAD底边 AD的中垂线,所以BD=BA,26,在 ABC中,

13、sinABsinAC,即 AB=ACsin603BCAABCsin1520因此, BD=3260 .33 km；20故 B,D的距离约为0.33km；点评：解三角形等内容提到高中来学习,又近年加强数形结合思想的考查和对三角变换要求的降低,对三角的综合考查将向三角形中问题舒展,但也不行太难,只要把握基本学问、概念,深刻懂得其中 基本的数量关系即可过关；三、思维总结 1解斜三角形的常规思维方法是：1已知两角和一边如A、B、C,由 A+B+C = 求 C,由正弦定理求a、b；2已知两边和夹角 如 a、b、c,应用余弦定理求 然后利用 A+B+C = ,求另一角；c 边；再应用正弦定理先求较短边所对的

14、角,3已知两边和其中一边的对角如 a、b、A,应用正弦定理求 B,由 A+B+C = 求 C,再由正弦定理或余弦定理求 c 边,要留意解可能有多种情形；4已知三边 a、b、c,应余弦定理求 A、B,再由 A+B+C = ,求角 C；2三角学中的射影定理：在ABC 中,b a cos C c cos A,3两内角与其正弦值：在ABC 中,A B sin A sin B,4解三角形问题可能显现一解、两解或无解的情形,这时应结合“ 三角形中大边对大角定理及几何作图来帮忙懂得”；三、课后跟踪训练1. 2022 上海文数 18. 假设ABC 的三个内角满意sinA:sinB:sinC5:11:13,就A

15、BC6 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 14 页精选学习资料 - - - - - - - - - A肯定是锐角三角形. B肯定是直角三角形. C肯定是钝角三角形. D可能是锐角三角形,也可能是钝角三角形. 2b23 bc ,解析：由 sinA:sinB:sinC5:11:13及正弦定理得a:b:c=5:11:13 由余弦定理得cosc5221121320,所以角 C为钝角511a2. 2022 天津理数7在ABC 中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c ,假设sinC2 3 sinB ,就 A= A0 30B600C1200D0 150【答案】 A 【解析】此题主要考

16、查正弦定理与余弦定理的基本应用,属于中等题；由正弦定理得c2 3b2c2 3 b,3 bc2 c=3 bc2 3 bc30 ,所以 A=302R2R所以 cosA=b2 +c -a22 bc2 bc2bc2【温馨提示】解三角形的基本思路是利用正弦、余弦定理将边化为角运算或将角化为边运算；3. 2022 湖北理数 3. 在ABC 中, a=15,b=10,A=60 ,就 cosB = A 232 B 2 2 C 6 D 6333【答案】 D 【解析】 依据正弦定理aAbB可得1510解得sinB3,又由于 ba ,就 BA,sinsinsin60sin B3故 B 为锐角,所以cosB1sin2

17、B6,故 D正确 . 3 , A+C=2B,34.2022 广东理数11. 已知 a,b,c分别是ABC的三个内角 A,B,C 所对的边,假设 a=1,b=就 sinC= . a解：由 A+C=2B 及 A+ B+ C=180 知, B=60 由正弦定理知,1A3,即sinA1由sinsin 602b 知,AB60,就A30,C180AB180306090, sinCsin9017 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 14 页精选学习资料 - - - - - - - - - 52022 湖南卷文 在锐角ABC 中,BC1,B2 , A 就AC的值等于,AC 的取值范cosA

18、围为 . 解析 设 A , B 2 . 由正弦定理得AC BC , AC 1 AC 2.sin 2 sin 2cos cos由锐角 ABC 得 0 2 90 0 45 ,又 0 180 3 90 30 60 ,故 30 45 2cos 3,2 2AC 2cos 2, 3.6.2022 全国卷理 在 ABC 中,内角 A、B、C的对边长分别为 a 、b 、c ,已知 a 2c 22 b ,且 sin A cos C 3cos A sin C , 求 b 分析： : 此题事实上比较简洁 , 但考生反应不知从何入手 . 对已知条件 1 a 2 c 2 2 b左侧是二次的右侧是一次的 , 同学总感觉用

19、余弦定理不好处理 , 而对已知条件 2 sin A cos C 3cos A sin C 过多的关注两角和与差的正弦公式 , 甚至有的同学仍想用现在已经不再考的积化和差 , 导致找不到突破口而失分 . 解法：在 ABC 中就 sin A cos C 3cos A sin C 由正弦定理及余弦定理2 2 2 2 2 2a b c b c a有 : a 3 c ,2 ab 2 bc角化边化简并整理得：2 a 2c 2 b . 又由已知 2a 2c 22 b 4b b . 2解得 b 4 或 b 0 舍）. 7在 ABC中,已知 A、B、 C成等差数列,求 tan A tan C 3 tan A t

20、an C 的值；2 2 2 2解析：由于 A、B、C成等差数列,又 AB C180 ,所以 AC120 ,从而 A2 C 60 ,故 tan A2 C 3 . 由两角和的正切公式,得1 tantan A2A tantan C2C 3；2 28 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 14 页精选学习资料 - - - - - - - - - 所以tanAtanC33tanAtanC,2222tanAtanC3tanAtanC3；2222点评：在三角函数求值问题中的解题思路,一般是运用基本公式,将未知角变换为已知角求解,同时结合三角变换公式的逆用；8. 2022 四川卷文在ABC

21、中, A、B为锐角,角 A、 、C所对的边分别为 a、 、c,且sinA5,sinB10510 I 求 AB的值；II 假设ab21,求 a、 、c的值；解 I A、B为锐角,sinA5,sinB10510 cosA1sin2A2 5,cosB1sin2B3 10510cosAB cosAcosBsinAsinB2 53 105102.5105102 0AB, AB4II 由 I 知C3, sinC242由aAbBcC得sinsinsin5a10b2 c ,即a2 , b c5 b又ab212 bb21b1a2,c59. 2022 陕西文数 17本小题总分值12 分在 ABC中,已知 B=45

22、 ,D 是 BC边上的一点,AD=10,AC=14,DC=6,求 AB的长 . 解 在 ADC中, AD=10,AC=14,DC=6, 由余弦定理得cosAD22DC2AC2=100 362 101961 2, AD DC6ADC=120 , ADB=60ADB=60 ,在 ABD中, AD=10, B=45 , 9 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 14 页精选学习资料 - - - - - - - - - 由正弦定理得sinABAD,ADBsinBAB=ADsinADB10sin 601035 62sinBsin 452210. 2022 辽宁文数 17本小题总分值12

23、 分2 cb c在ABC中, a、 、c分别为内角A、 、C的对边,且 2 sinA2bc sinB2cb sinC求 A的大小；假设 sinBsinC1,试判定ABC 的外形 . 解：由已知,依据正弦定理得2a22 bc b即a2b2c2bcC.由余弦定理得a2b2c22bccosA故cosA1,A1202由得sin2Asin2Bsin2CsinBsin又sinBsinC1,得sinBsinC12由于0B90, 0C90,故 BC所以ABC是等腰的钝角三角形；11. 2022 辽宁理数17本小题总分值12 分在 ABC中, a, b, c分别为内角A, B, C的对边,且2 sinA2ac

24、sinB2cb sinC.求 A的大小；求 sinBsinC 的最大值 . a22bc b2cb c解：由已知,依据正弦定理得2即a2b2c2bc2 c2 bccosA 6 分由余弦定理得a2b2故cosA1,A=1202B 由得：sinBsinCsinBsin6010 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 14 页精选学习资料 - - - - - - - - - 3cos B1sinB22sin60 B 故当 B=30 时, sinB+sinC 取得最大值 1；补充：海伦公式：有一个三角形,边长分别为 a、b、c,三角形的面积 S 可由以下公式求得：而公式里的 p 为半周

25、长周长的一半：基本关系转化：倒数关系：；商的关系：平方关系：；和差角公式11 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 14 页精选学习资料 - - - - - - - - - 和差化积口诀：正加正,正在前,余加余,余并肩积化和差倍角公式二倍角三倍角 三倍角公式推导 sin 3a 3sina -4sin3a =sina+2a 正减正,余在前,余减余,负正弦名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 14 页精选学习资料 - - - - - - - - - =sin2acosa+cos2asina =2sina 1-sin2a+ 1-2sin2asina =3sin

26、a-4sin3a cos3a4cos3a-3cosa =cos 2a+a =cos2acosa-sin2asina =2cos2a-1 cosa-2 1-cos2acosa =4cos3a-3cosa sin3a 4si nasin 60+asin 60 -a =3sina-4sin3a =4sina 3/4-sin2a =4sina 3/2-sina 3/2+sina =4sinasin60+sinasin60-sina =4sina*2sin 60+a/2cos 60 -a/2*2sin 60 -a/2cos 60 +a/2 =4sinasin 60 +asin 60 -a cos3a4c

27、osacos60-acos 60 +a =4cos3a-3cosa =4cosacos2a-3/4 /2sina-30/2 =4cosacos2a-3/22 =4cosacosa-cos30cosa+cos30 =4cosa*2cosa+30/2cosa-30/2*-2sina+30=-4cosasina+30sina-30=-4cosasin90-60 -asin-90+60 +a =-4cosacos 60 -a-cos 60+a =4cosacos 60-acos 60+a tan3a tanatan 60 -atan 60+a 上述两式相比可得tan3a=tanatan 60 -atan 60 +a 三倍角sin3 =3sin -4sin3 =4sin /3+ sin /3-cos3 =4cos3 -3cos =4cos cos /3+ cos /3-tan3 =tan*-3+tan 2/-1+3*tan 2 =tan a 半角公式 tan /3+a tan /3-a 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页,共 14 页精选学习资料 - - - - - - - - - 正负由 所在的象限打算万能公式14 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页,共 14 页