2022年高中数学必修五知识点公式总结.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结 优秀学问点必修五数学公式概念第一章 解三角形1.1 正弦定理和余弦定理1.1.1 正弦定理a b1、正弦定理： 在一个三角形中, 各边和它所对角的正弦的比相等,即sin A sina b c正弦定理推论： 2 R（ R 为三角形外接圆的半径）sin A sin B sin CBcC. sina2RsinA ,b2RsinB ,c2RsinCa bbsinA,bsinB,acsinAsin Bccsin Cac bsinCa b csinA:sinB:sinCaAsinsinBsinCsinAsinBsinC2、解三角形的概念：一般地,

2、我们把三角形的各个角即他们所对的边叫做三角形的元素；任何一个三角形都有六个元素：三条边a ,b ,c和三个内角A ,B,C.在三角形中,已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形；3、正弦定理确定三角形解的情形图形关系式解 的 个 数absinA一 解 abA为bsinAab两 解锐角absinA无 解A为ab一 解钝角或直ab无 解角4、任意三角形面积公式为：名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - SABC1bcsinA1acsinB名师总结C优秀学问点1absinabc2224Rp papbpcrabc2R2si

3、nAsinBsinC21.1.2 余弦定理5、余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍,即a22 bc22bccosA,b2a2c22cacosB ,c22a2b22 abcosC . 2余弦定理推论：cosA2 bc22 a,cosB2 ac2b,cos Ca22 bc2 bc2 ac2 ab6、不常用的三角函数值sin1527521052165266664444cos626262624444tan232323231.2 应用举例1、方位角：如图 1,从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角；2、方向角： 如图 2,从指定线到目标方向线所成的

4、小于 北或正南或正西或正东）90 的水平角；（指定方向线是指正3、仰角和俯角：如图 3,与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角,目标视线在水平视线上方时叫做仰角,目标视线在水平视线下方时叫做俯角；（1）方位角（2）方向角（3）仰角和俯角（4）视角4、视角：如图 4,观看物体的两端,视线张开的角度称为视角；5、铅直平行：于海平面垂直的平面；6、坡角与坡比：如图 5,坡面与水平面所成的夹角叫坡角,坡面的铅直高度与水平宽度的比叫坡比 i h. l（5）坡角与坡比名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结 优秀学

5、问点其次章 数 列2.1 数列的概念与简洁表示法1、数列的定义：根据肯定次序排列的一列数称为数列；数列中的每一个数都叫做这个数列的项；数列中的每一项和它的序号有关,排在第一位的数称为这个数列的第 1 项（也叫首项） ,排在其次位的数称为这个数列的第 2 项, ,排在第 n 位的数称为这个数列的第 n 项；所以,数列的一般形式可以写成 1a ,a ,a , ,a , ,简记为 a n . 2、数列的通项公式：假如数列 a n 的第 n 项与序号 n 之间的关系可以用一个式子来表示,那么这个公式叫做这个数列的通项公式；3、数列的递推公式：假如已知数列的第1 项（或前几项） ,且从第 2 项（或某一

6、项）开头的任一项 a 与它的前一项 a n 1（或前几项） （n 2）间的关系可以用一个公式表示,那么这个公式叫做这个数列的递推公式；定义式为 a n 2 a n 1 1（n 1）*4、数列与函数：数列可以看成以正整数集 N （或它的有限子集 1, 2, 3, 4, , n）为定义域的函数 an f n,当自变量根据从大到小的次序依次取值时,所对应的一列函数值；通项公式可以看成函数的解析式；5、数列的单调性：如数列a n满意：对一切正整数n ,都有a n1a （或a n1a ）,就称数列a n为递增数列（或递减数列）；判定方法：转化为函数,借助函数的单调性,求数列的单调性；作差比较法,即作差比

7、较a n1与a 的大小；2.2 等差数列1、等差数列的定义：一般地,假如一个数列从第2 项起,每一项与它的前一项的差等于同dA一个 常数 ,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差常用字母表示；定义式为a nan1d（n2, n* N ）或an 1and（ n* N ）2、等差中项：由三个数a , A , b 组成的等差数列可以看成最简洁的等差数列；这时,叫做 a 与 b 的等差中项；名师归纳总结 A 是 a , b 的等差中项Aa2ba n2AabanAab,A. 第 3 页,共 9 页a n1,a ,1（n2n* N ）,就3、等差中项判定等差数列：任取相邻的三项a n

8、1,a ,an1成等差数列2 an1a n1（n2）a n是等差数列；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 4、等差数列的通项公式ana naa 1nn名师总结优秀学问点da ma na 1. 1d ,其中1a 为首项,d 为公差；变形为：n15、通项公式的变形：mmd,其中a 为第 m 项；变形为da n. nm6、等差数列的性质： （1）如 n ,m , p ,q* N ,且mnpq,就ama napa q；（2）如mn2p,就aman2ap；（3）如 m , p , n 成等差数列,就a ,ap,a 成等差关系；（4）如a n成等差数列anpnq（公

9、差为 p ,首项为pq）；（5）如nc成等差数列,就a n也成等差数列；（6）假如a nb n都是等差数列,就panq,pa nqb m也是等差数列；2.3 等差数列的前 n 项和S 1 n 11、一般数列 a 与 ns 的关系为 a n . S n S n 1 n 22、等差数列前 n 项和的公式：S n n a 1 a n na 1 n n 1 d2 23、等差数列前 n 项和公式的函数特点： （1）由 Sn na 1 n n 1d dn 2a 1 dn,2 2 2令 A d,B a 1 d,就 a n 为等差数列 S n An 2B n（A、B 为常数,其中 d 2 A,2 2a1 a

10、b）. 如 A 0,即 d 0,就 S 是关于 n 的无常数项的二次函数；如 A 0,即d 0,就 Sn na 1 . （ 2）如 a n 为等差数列,Sn 也是等差数列,公差为 dn 2（3）如 a n 为等差数列,S k , S 2 k S K , S 3 k S 2 k , 也成等差数列（4）如 Sn m,Sm n,就 S m n m n（5）如 S m S n,就 S m n 0（6）如 a nb n 是均为等差数列,前 n 项和分别是 A 与 B ,就有 a m A 2 m 1b m B 2 m 1（7）在等差数列 a n 中,1a 0,d 0,就 S 存在最大值,a 1 0,d 0

11、,就 S 存在最小值；2.4 等比数列名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结 优秀学问点1、等比数列：一般地假如一个数列从第2 项起,每一项与它前一项的比等于同一常数,那么这个数列叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比,公比通常用字母 q表示 q 0 .定义式：a n q, n 2 , a n 0 , q 0 . a n 12、等比中项：假如在 a 与 b 中间插入一个数 G ,使 a , G , b 成等比数列,那么 G 叫做 a与 b 的等比数列；a , G , b 成等比数列 G bG 2ab G ab

12、. a G两数同号才有等比中项,且有 2 个互为相反数；3、通项公式：a n a q n 1 a 1 q n其中首相为 1a ,公比为 q . q4、等比数列的性质：a n a q m n m（ n , m N ）. *2.5 等比数列的前 n 项和名师归纳总结 na 1q11a 1qn q.记第 5 页,共 9 页1、等比数列的前n 项和的公式：S na 11n qa 1a q q q11q12、等比数列的前n 项和的函数特点：当q1时,S na 11qn1a 1q1qA1a 1,即S nAqnA. qk . 等q3、等比数列的前n 项和的性质：在等比数列中：（1）当kS ,S 2kS ,S

13、 3kS 2k, 均不为零时,数列成等差数列；公比为（2）S n mS nn q S mS mm q S n（3）amqm n或ama nqm n（ m、 n* N ）a n（4）如 mnpq ,就a ma na pa qb n、a n（5）如a n为等差数列,就Ca n为等比数列（6）如a n为正项等比数列,就logCa n是等差数列（7）如a n、b n均为等比数列, 就a na n0、a n、a nk、a nb n- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 仍是等比数列；公比分别为：名师总结k、优秀学问点. q、 、 、1qqqq q2、q 1q 2（8）

14、等比数列a n的增减性： 当a 1q0,或a 101时,a n为递增数列； 当a 10110q0q或a 10时,a n为递增减数列；q14、由递推公式求数列通向法：（1）累加法：a n1a nfn变形：a n1a nfnpq p10）（2）累乘法：a n1a nfn变形：a n1fna n（3）取倒数法：an1panqanp（4）构建新数列法：an1pa nq （其中 p , q 均为常数,设a n1kp a nka nk 为等比数列；第三章不等式3.1 不等式关系与不等式1、不等式定义：用不 等号（、）表示不等关系的式子叫不等式,记作”fxg x , fxg x 等；用“” 或“” 连接的不

15、等式叫严格不等式,用不“或“” 连接的不等式叫非严格不等式；2、实数的基本性质abab0；abab0；abab0. 实数的其他性质a0ab,0a b0；a0ab0 ,ab0；a0ab0b0b0b03、不等式的基本性质名师归纳总结 （1）对称性：abbbabc（ 2）传递性：ab ,bcabc第 6 页,共 9 页（3）可加性：abac推论 1：abcac（移向法就）推论 2：a cacbd（同向不等式的相加法就）d- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - （4）可乘性：abacbc；名师总结优秀学问点abacbcc0c0（5）同向相加：a cb0acbd；异向

16、可减：a db0adbcdc（6）同向可乘：a cbacbd；异项可除：ababd00dcdc（7）乘方法就：ab0ann b （ nN ,n1）2）（8）可开方性法就：ab0nanb （ nN ,n（9）倒数法就：a ab11b0ab3.2 一元二次不等式及其解法1、一元二次不等式定义：我们把只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2 的不等式,称为一元二次不等式；使一元二次不等式成立的未知数的值叫做这个一元二次不等式的解,一元二次不等式的全部解组成的集合,叫做这个一元二次不等式的解集；2、二次函数,一元二次方程,一元二次不等式三者之间的关系ax2b24 ac000bxc0a0的图像两个不相

17、等的实数根两个相等的实数根没有实数根ax2bxc0a0的根x 1x 2x 1x 2c0x xx 1 或xx 2x xb 2 aRax2bxa0的解集x x 1xx 2ax2bxc0a0的解集附：韦达定理名师归纳总结 在函数ax2bxc0a0,就x 1x2b,x x 2c. 第 7 页,共 9 页aa- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结 优秀学问点3.3 二元一次不等式（组）与简洁的线性规划问题3.3.1 二元一次不等式（组）与平面区域1、平面区域：一般地,在平面直角坐标系中,二元一次不等式 Ax By C 0 表示直线Ax By C 0 某一侧全

18、部点组成的平面区域,我们把直线画成虚线,以表示区域不包括边界；不等式 Ax By C 0 表示的平面区域包括边界,把边界画成实线；2、平面区域的判定：一般地,当 y kx b 时,表示 y kx b 的上方区域；当 y kx b 时,表示 y kx b 的下方区域；3.3.2 简洁的线性规划问题3、线性规划有关概念：在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题,统称线性规划问题；如约束条件是关于变量的一次不等式（方程）,就成为线性约束条件；要求最大（小） 值所涉及的关于变量 x, y 的一次解析式叫做线性目标函数；满意线性约束条件的解（ x , y）叫做可行解,由全部可行解组成的集合叫做

19、可行域；使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫做最优解；3.4 基本不等式：aba2bR ）1、主要不等式：设a , bR ,就a2b22ab （当且仅当 ab 时取“=” ）2、基本不等式：设a0,b0,就a2bab （当且仅当 ab 时取“=” ）即两个整数的算术平均数不小于它们的几何平均数；变形：ab2ab . 3、应用：2 ababa2ba222 baba2b22 a2b2（ a , bab4、基本不等式的应用（1）假如和 xy 是定值 S ,那么当且仅当xxyyS时,积 x y 有最大值S2；24（2）假如积 x y 是定值 P ,那么当且仅当P 时,和 xy 有最小值 2 P .

20、应留意以下几点：各项或各因式必需为整数；各项或各因式的和（或积）必需为常数；名师归纳总结 各项或各因式能够取相等的值. 射影定理：AC2ADAB ；第 8 页,共 9 页以上三个条件简称为“ 一正,二定,三相等”CD2AD BD ；CB2BDAB . - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结 优秀学问点关于不等式其他补充内容名师归纳总结 1、两点间的距离公式：设P x 1 1,y 1,P x 2 2,y 2,就PP2x 1x22y 1y 22. 第 9 页,共 9 页2、点到直线的距离公式：设P x 0,y0,直线 l 的方程为AxByC0（ A 、 B 不同时为零）,就 P 到直线 l 的距离dAx 0By 0C. 2 A2 B3、两平行线间的距离公式：两平行直线AxByC 10和AxByC20间的距离dC 1C22. 2 AB4、点斜式方程：kyy0,即yy 0k xx 0xx05、斜截式方程：ykxb ,其中 k 为斜率, b 为截距；6、直线方程的一般形式：AxByC0（ A 、 B 不同时为零） ,当B0时,方程可化为yAxC,表示斜率为A,在 y 轴上的截距为C的直线；BBBB7、圆的标准方程：xa2yb2r2. 其中圆心为C a b ,半径为 r . - - - - - - -