2022年高中数学解题技巧复习教案平面向量.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 其次讲平面对量名师精编精品教案【考点透视】“ 平面对量” 是高中新课程新增加的内容之一,高考每年都考,题型主要有挑选题、填空 题,也可以与其他学问相结合在解答题中显现,试题多以低、中档题为主透析高考试题,知命题热点为：1向量的概念,几何表示,向量的加法、减法,实数与向量的积2平面对量的坐标运算,平面对量的数量积及其几何意义3两非零向量平行、垂直的充要条件4图形平移、线段的定比分点坐标公式5由于向量具有“ 数” 与“ 形” 双重身份,加之向量的工具性作用,向量常常与数列、三 角、解析几何、 立体几何等学问相结合,综合解决三角函数的化简、求值及三角

2、形中的有关 问题,处理有关长度、夹角、垂直与平行等问题以及圆锥曲线中的典型问题等6利用化归思想处理共线、平行、垂直问题向向量的坐标运算方面转化,向量模的运算转 化为向量的运算等；利用数形结合思想将几何问题代数化,通过代数运算解决几何问题【例题解析】1. 向量的概念,向量的基本运算 1懂得向量的概念,把握向量的几何意义,明白共线向量的概念 . 2把握向量的加法和减法 . 3把握实数与向量的积,懂得两个向量共线的充要条件 . . 4明白平面对量的基本定理,懂得平面对量的坐标的概念,把握平面对量的坐标运算5把握平面对量的数量积及其几何意义,明白用平面对量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题 ,

3、把握向量垂直的条件. D 为 BC 边中点,且2OAOBOC0,那么（）6把握平面两点间的距离公式. 例 1 已知O是ABC所在平面内一点,AOODAO2 ODAO3 OD2AOOD命题意图 :此题考查能够结合图形进行向量运算的才能解：2OAOBOC2 OADBODDCOD = 0,DBDC,2 OA2OD0,AOOD .应选 A 例 2在ABCD 中,ABa ADb AN3NC ,M 为 BC 的中点,就MN_.（用a b、表示）名师归纳总结 命题意图 : 此题主要考查向量的加法和减法,以及实数与向量的积. b a1b 1a1b. 第 1 页,共 14 页解：由AN3NC 得4AN3AC=3

4、 ab ,AMa1b,所以 ,MN3a24244例 3如图 1 所示, D 是 ABC 的边 AB 上的中点,就向量CD （A ）BC1BA（B）BC1BA22（C）BC1BA（ D）BC1BA22- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师精编 精品教案命题意图 : 此题主要考查向量的加法和减法运算才能 . 解：CDCBBDBC1BA,应选 A. . 2例 4与向量a =7 1 ,2 2,b1,7的夹解相等,且模为1 的向量是 22A 4,3B 4,3或4,3555555（C）232,1（D）232,1或232,1333命题意图 : 此题主要考查平面对量的

5、坐标运算和用平面对量处理有关角度的问题解：设所求平面对量为,c 由c4,3或 -4,3时,c1.55557413c4,3时 ,cosa ca c72252245321.55ac122另一方面 ,当22557413c4 3 ,5 5时 ,cosa ca c72215245321.ac222当2255故平面对量c与向量a =7 1 ,2 2,b1,7的夹角相等 .应选 B. 22例 5设向量a与b的夹角为,且a33,2 ba1,1,就cos_命题意图 : 此题主要考查平面对量的坐标运算和平面对量的数量积积处理有关角度的问题. x y3,32x3,2y31,1 .解: 设bx y, 由2 ba2得2

6、x31x1,b1,2 .2y31y2.2 23 10 10.故填3 10. 103 13 2cosa ba b2 3ab2 32 1,以及用平面对量的数量例 6.已知向量a3,1,b是不平行于x轴的单位向量,且a b3,就b= （）（ A）3,1（B）1,3（C）1,34322224（D）,1 0命题意图 : 此题主要考查应用平面对量的坐标运算和平面对量的数量积,以及方程的思想解题的才能 . 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 14 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师精编精品教案x1 , 2解:设bx yxy ,就依题意有x2y21,y3 . 23xy

7、3.应选 B. 例 7.设平面对量 1a 、2a 、a 的和 a 1 a 2 a 3 0 .假如向量 1b 、2b 、3b ,满意 b i 2 a ,且 ia 顺时针旋转30 o后与 ib同向,其中 i 1,2,3,就（）（A ）b 1 b 2 b 3 0（B）b 1 b 2 b 3 0（C）b 1 b 2 b 3 0（D）b 1 b 2 b 3 0命题意图 : 此题主要考查向量加法的几何意义及向量的模的夹角等基本概念 . 常规解法： a 1 a 2 a 3 0,2 a 1 2 a 2 2 a 3 0. 故把 2 ia i=1,2,3 ,分别按顺时针旋转 30后与 ib重合,故 b 1 b 2

8、 b 3 0,应选 D. 奇妙解法：令 1a = 0,就 a = a ,由题意知 b = b ,从而排除 B,C,同理排除 A,应选 D. 点评： 奇妙解法巧在取 1a= 0 ,使问题简洁化 .此题也可通过画图 ,利用数形结合的方法来解决 . 2. 平面对量与三角函数 ,解析几何等问题结合1 平面对量与三角函数、三角变换、数列、不等式及其他代数问题,由于结合性强,因而综合才能较强, 所以复习时,通过解题过程,力争达到既回忆学问要点,又感悟思维方法的双重成效,解题要点是运用向量学问,将所给问题转化为代数问题求解 . 2解答题考查圆锥曲线中典型问题,如垂直、平行、共线等,此类题综合性比较强,难度大

9、. 名师归纳总结 例 8设函数fx=a-b, 其中向量 a=m,cos2x,b=1+sin2x,1,x R,且函数 y=fx 的图象经过点第 3 页,共 14 页4, 2,（）求实数m 的值；（）求函数fx 的最小值及此时x 的值的集合 . 解：（）f a bm 1sin 2 cos2x ,由已知fm1sincos2,得m1422（）由（）得f x 1sin 2xcos2x12 sin2x,4- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 当sin 2x1时,名师精编精品教案4f x 的最小值为 12 ,名师归纳总结 由sin 2x1,得x值的集合为x xk 3,k

10、Zm1第 4 页,共 14 页84例 9 设函数fxa、b.其中向量am ,cosx,b1sinx1, ,xR,且f 22. （）求实数m的值 ; （）求函数fx的最小值 . 解：（）f a bm 1sinxcosx,fm1sincos2,得222（）由（）得f x sinxcosx12 sinx1,当sinx144时,f x 的最小值为 12 例 10已知ABC的面积为3,且满意0AB AC6,设AB和AC的夹角为（I）求的取值范畴；（II ）求函数f 2sin23 cos2的最大4解：（）设ABC中角A, ,C的对边分别为a, ,c,就由1bcsin3,0bccos6,可得0cot1, ,

11、4 22（）f 2sin23 cos21cos23 cos2421sin 2 3cos2sin 23 cos212sin213 ,4 2,2 2,6 3, 2sin21333即当5f max3；当f min24 时,12 时,- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师精编 精品教案例 11 已知 ABC 的三个顶点的直角坐标分别为A3,4 、B0,0 、 c,0 （1）如 c=5,求 sinA 的值；（ 2）如 A 为钝角,求 c 的取值范畴；解：（ 1）AB 3, 4,AC c 3, 4,如 c=5, 就 AC 2, 4,cos A cos AC AB

12、6 16 1 2 55 2 5 5, sin A5；（2） A 为钝角,就 c 3 c0, 9 16 0,解得 c 253, c 的取值范畴是 253 , 例 12在ABC 中,角A, ,C 的对边分别为 a, , ,tan C 3 7CB CA 5（1）求cosC；（ 2）如 2,且 a b 9,求csin Ctan C 3 7,3 7 2 2解：（ 1）cos C 又 sin C cos C 11 1cos C cos C解得 8tan C 0,C 是锐角85 5CB CA ab cos C（2）2,2,ab 202 2 2 2又 a b 9 a 2 ab b 81a b 412 2 2c

13、 a b 2 ab cos C 36c 6例 13.设函数f x a b c ,其中向量 a sin , cos x , b sin , 3cos x , c c o s x , s i n x , R. （）求函数 f x 的最大值和最小正周期；（）将函数 y f x 的图像按向量d平移,使平移后得到的图像关于坐标原点成中心对称,求长度最小的 d . 命题意图 :本小题主要考查平面对量数量积的运算方法、三角公式、三角函数的性质及图像的基本学问,考查推理和运算才能 . 解： 由题意得, fx a bc=sinx, cosx sinx cosx,sinx 3cosx 名师归纳总结 - - - -

14、 - - -第 5 页,共 14 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师精编 精品教案3sin2x2sinxcosx+3cos2x 2+cos2xsin2x2+2 sin2x+4. 2所以, fx 的最大值为 2+ 2,最小正周期是 2. 3 3 k 3（）由 sin2x+4 0 得 2x+4k.,即 x2 8 ,kZ,k 3 d k 3 24,于是d（2 8, 2）,2 8 kZ. 由于 k 为整数,要使 d最小,就只有 k1,此时d（8, 2）即为所求 . 例 14已知向量asin ,1,b1,cos , 2 2（）如ab,求 ；（）求ab的最大值命题意图 :本小题主要考

15、查平面对量数量积和平面对量的模的运算方法、以及三角公式、三角函数的性质等基本学问,考查推理和运算才能 . 解：（）如 a b ,就 sin cos0,由此得 tan 1 2 2,所以 4；（）由asin , 1,b1,cos 得名师归纳总结 absin 121cos232sin cos 1AA x 第 6 页,共 14 页322sin 4,当 sin 41 时, |ab|取得最大值,即当 4时, |ab|最大值为21例 15如图,三定点A 2,1,B0,1,C 2,1;三动点 D、 E、M 满意yADt AB BEtBC,DMtDE t0,1.C1（I）求动直线DE 斜率的变化范畴；- 2-

16、1OBD（II）求动点 M 的轨迹方程；E- 1x命题意图 :本小题主要考查平面对量的运算方法、三角公式、M 图2三角函数的性质及图像和圆锥曲线方程的求法等基本学问,考查推理和运算才能. 解法一 : 如图 , 设 Dx0,y0,ExE,yE,Mx,y.由=t, = t , 知 xD 2,yD 1=t 2, 2. xD= 2t+2同 理y yD= 2t+1xE= 2t yE=2t 1 . C D 1 2 O E B 图 3 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - kDE = yEyD xExD= 名师精编精品教案2t1 2t+12t2t+2= 12t. t0,

17、1 , kDE 1,1. =t x+2t 2,y+2t 1=t 2t+2t2,2t1+2t 1=t 2,4t2= 2t,4t2 2t. x=21 2ty=1 2t2 , y=x2 4 , 即 x2=4y. t0,1, x=21 2t2,2. 即所求轨迹方程为 : x2=4y, x 2,2 解法二 : 同上 . 如图 , =+ = + t = + t = 1 t +t, = + = +t = +t =1 t +t, = += + t= +t =1 t + t = 1t2 + 21tt+t2 . 设 M 点的坐标为 x,y, 由=2,1, =0, 1, =2,1得x=1 t22+21tt0+t22

18、=21 2ty=1 t21+21tt1+t2 1=12t2 消去 t 得 x2=4y, t0,1, x 2,2. 故所求轨迹方程为 : x2=4y, x 2,2 例 16 已知抛物线 x24y 的焦点为 F,A 、B 是抛物线上的两动点,且AFFB（0）过A、B 两点分别作抛物线的切线,设其交点为（）证明 FMAB为定值；S 的最小值（）设ABM 的面积为 S,写出 Sf 的表达式,并求命题意图 :本小题主要考查平面对量的运算方法、和圆锥曲线方程基本学问,考查推理和运算才能 . 解： 由已知条件,得 F0, 1, 0设 Ax1 ,y1,Bx2 ,y2由 AFFB,即得 x1,1y x2,y21

19、,x1 x2 1 y1y21 ,以及函数的导数的应用等名师归纳总结 将式两边平方并把y11 4x12, y21 4x22 代入得y1 2y2 第 7 页,共 14 页解、式得y1,y21 ,且有 x1x2 x22 4 y2 4,抛物线方程为y1 4x2,求导得y 1 2x所以过抛物线上A、 B 两点的切线方程分别是y1 2x1x x1 y1,y1 2x2xx2y2,即 y1 2x1x1 4x12,y1 2x2x1 4x22x 1x 2x 1x2x 1x 2解出两条切线的交点M 的坐标为 2,22, 1- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 所以 FMABx

20、12x 2名师精编精品教案1 4x221 4x120. , 2 x2x1, y2y11 2x22x12 2所以 FMAB为定值,其值为0y1y21 2 4 4 由知在 ABM 中, FM AB ,因而 S1 2|AB|FM| |FM| x1x22 22 4x121 4x22 1 2x1x2 4 21 21 由于 |AF|、 |BF|分别等于 A、B 到抛物线准线y 1 的距离,所以|AB| |AF| |BF| y1y221 21 2于是S1 2|AB|FM| 1 3,由1 2 知 S 4,且当 1 时, S 取得最小值4【专题训练】一、挑选题1已知a2,3 ,b4,x,且a/b ,就x的值为（

21、）ABxsAC,就rs的值是（）88A 6 B6 C3D32已知ABC 中,点 D 在 BC 边上,且CD2DB,CDr242y22x4y5相A3B3C 3 D0 3把直线x2 y0按向量a,12 平移后,所得直线与圆切,就实数的值为（ A ）A39 B13 C 21 D 39 4给出以下命题： a b=0,就a=0 或b=0. 如e为单位向量且 a/e,就 a=|a|e. aa a =| a |3. 如a 与 b 共线, b 与 c 共线,就 a 与 c 共线 .其中正确的个数是（）A0 B1 C2 D3 5.在以下关于向量的命题中,不正确选项（）A.如向量 a=x,y,向量 b=y,xx

22、、 y 0,就 ab B.四边形 ABCD 是菱形的充要条件是AB = DC ,且 |AB |=| AD | 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 14 页精选学习资料 - - - - - - - - - C.点 G 是 ABC 的重心,就名师精编精品教案GA+ GB +CG =0 D. ABC 中,AB 和 CA 的夹角等于 180 A 6.如 O 为平行四边形 ABCD 的中心,AB = 4e1,BC= 6e2,就 3e22e1 等于（）A.AO B.BO C.CO D.DO7.将函数 y=x+2 的图象按 a=（6, 2）平移后,得到的新图象的解析式为（）A.y=x+1

23、0 B.y=x 6 C.y=x+6 D.y=x 10 8.已知向量 m=a,b,向量 mn 且 |m|=|n|,就 n 的坐标为A.（ a, b）B. a,b C.b, a D. b, a 9.给出如下命题：命题（1）设 e1、e2 是平面内两个已知向量,就对于平面内任意向量 a,都存在惟一的一对实数 x、y,使 a=xe1+ye2 成立；命题（2）如定义域为 R 的函数 fx 恒满意fx=fx ,就 fx 或为奇函数,或为偶函数 .就下述判定正确选项（）A.命题（ 1）（ 2）均为假命题B.命题（ 1）（ 2）均为真命题C.命题（ 1）为真命题,命题（2）为假命题P 满 足D.命题（ 1）为

24、假命题,命题（2）为真命题10如 |a+b|=|a-b|,就向量 a 与 b 的关系是（）A. a=0 或 b= 0B.|a|=|b| C. a.b=0 D.以上都不对11 O是 平 面 上 一定 点 , A 、 B 、 C是 平 面 上 不 共 线 的 三 个 点 , 动 点OPOA|AB|AC,0,.就 P 的轨迹肯定通过ABC 的（）ABACA外心 B内心 C 重心 D 垂心12 如a4 ,231, b2, 0, 3,c0, 2,2, 就abc= （）AB15 C7 D3 二、填空题名师归纳总结 1已知|AB|3|,AC|4,AB与AC的夹角为 60 ,就 AB 与 AB AC的夹角余弦

25、为. 第 9 页,共 14 页2 已知a （ 4,2,x）, b 2,1,3,且 a b ,就 x. 3 向量a3b7a5b,a4b7a2b,就 a 和 b 所夹角是4 已知 A1, 0, 0, B0, 1, 0 , C0, 0, 1, 点 D 满意条件：DB AC, DC AB, AD=BC, 就D 的坐标为. 5设a,b是直线,是平面,a,b,向量a 在 a 上,向量1b在 b 上,a 11,1,1 ,b 1,3 ,4 0 ,就,所成二面角中较小的一个的大小为- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师精编 精品教案三、解答题1. ABC 中,三个内角分

26、别是A、B、C,向量a5cosC,cosA2B,当tanAtanB2219时,求| a . AB,60 ,点 M 是线段 AB 的中点,线段CM2.在平行四边形ABCD 中, A （1,1）,与 BD 交于点 P. （1）如 AD 3,5, 求点 C 的坐标；（2）当 | AB | | AD | 时,求点 P 的轨迹 . 3.平面内三个力 F ,F 2,F 作用于同丄点 O 且处于平稳状态,已知 F ,F 的大小分别6 2为 1kg,2 kg,F 、F 的夹角是 45 ,求 F 3 的大小及 F 与 F 夹角的大小 . 4.已知 a,b 都是非零向量,且 a+3b 与 7a5b 垂直, a4b

27、 与 7a2b 垂直,求 a 与 b 的夹角. 5.设 a=1+cos ,sin , b=1cos ,sin ,c=1,0, 0, ,2 ,a 与 c 的夹角为 1,b 与 c 的夹角为 2,且 1 2=6 ,求 sin4. 13） . 6.已知平面对量a=（3 , 1）, b=（ 2,21证明： ab；2如存在实数 k 和 t,使得 x=a+t2 3b,y=ka+tb,且 xy,试求函数关系式 k=ft; 3依据（ 2）的结论,确定 k=ft 的单调区间 . 【参考答案】一、挑选题1.B 2D 3 A4 A 5. 答案： C 提示： 如点 G 是 ABC 的重心, 就有GA+GB+GC=0,

28、而 C 的结论是GA+GB+CG=0,明显是不成立的,选 C. 6.B 7.B 8.C 9.A 10. C 11 B 12D 二、填空题名师归纳总结 132 2 3 604（ 1,1,1）或1 3,1 3,1 353 arccos 15.第 10 页,共 14 页113- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 3解：由a3 b7a5 b0名师精编7a精品教案, a4b2b0, 有7a216ab,7a230ab8 b20, （x-1, y, z ）, 解得a2b2,b22ab, cosa,bab1 2ab4.解：设 Dx, y, z, 就BDx ,y,1z ,C

29、Dx,y,z1,AD-x+z=0, AC-1, 0, 1, AB-1,1, 0, BC0, -1, 1 又 DB ACDC AB-x+y=0, AD=BCx12y2z22,1 3,1 3,1 3；联立解得 x=y=z=1 或 x=y=z=1.所以 D 点为（ 1,1,1）或3三、解答题名师归纳总结 1|a2 |5cosC2cos2A2B,AB 第 11 页,共 14 页22|a2 |5cos2Ccos2A2B5sin2A2Bcos2A2B42451cosAB1cosAB194cosAB5cos42281 94cosAcosB4sinAsinB5cosAcosB5sinAsinB 81 99si

30、nAsinBcosAcosB .8又tanAtanB1,即sinAsinB1.9cosAcosB9. 9sinAsinBcosAcosB.|a2 |9,故|a|342.82.解：（ 1）设点 C 坐标为（x 0y 0, 又ACADAB5,3 ,60 95, ,即x 0,1y01 5,9x 010 ,y 06. 即点 C（0,6） . （2）解一：设Px,y,就BPAPAB x,1y1,60x7 ,y1. ACAMMC1AB3 MP1AB3AP1AB2223APAB3x1 , 3y1 6,03x,93y3 .- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - |AB|AD

31、.|名师精编精品教案ABCD 为菱形 . ACAD,即 x7 ,y1 3x9 3,y3.0y1的两个交点 . x7 3x9 y1 3y30x2y210x2y220y1. 故点 P 的轨迹是以（ 5,1）为圆心, 2 为半圆去掉与直线解法二：|AB|AD|D 的轨迹方程为x12y1236y1 . 1M 为 AB 中点 , P分BD的比为2. y1的两个交点 . F2 设P x ,y ,B1,7,D3 x14 ,3y2 . P 的轨迹方程3x15 23y3 236. 整理得x5 2y1 24y1 . 故点 P 的轨迹是以（ 5,1）为圆心, 2 为半径的圆去掉与直线3.设F 与F 的合力为 F ,就 |F|=|F3|. F F1OF2=45 FF1O=135 . 在 OF1F 中,由余弦定理|OF|2|OF 12 |F 1F|22|OF 1|F 1F|cos 135=423. F1 O |OF|1,3 即|F3|31. F3 又由正弦定理,得sinF 1OF|F 1F|sin|FF 1O1. |OF2 F1OF=30从而 F1 与 F3 的夹角为 150