2022年高中排列组合基础题 .pdf

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1、排列、组合问题基本题型及解法同学们在学习排列、组合的过程中，总觉得抽象，解法灵活，不容易掌握.然而排列、组合问题又是历年高考必考的题目.本文将总结常见的类型及相应的解法. 一、相邻问题“捆绑法”将必须相邻的元素“捆绑”在一起，当作一个元素进行排列. 例 1 甲、乙、丙、丁四人并排站成一排，如果甲、 乙必须站在一起， 不同的排法共有几种？分析：先把甲、乙当作一个人，相当于三个人全排列，有33A 6 种，然后再将甲、乙二人全排列有22A 2 种，所以共有6212 种排法 . 二、不相邻问题“插空法”该问题可先把无位置要求的元素全排列，再把规定不相邻的元素插入已排列好的元素形成的空位中（注意两端）.

2、 例 2 7 个同学并排站成一排，其中只有A、B 是女同学，如果要求A、B 不相邻，且不站在两端，不同的排法有多少种？. 分析：先将其余5 个同学先全排列，排列故是55A 120.再把 A、B 插入五个人组成的四个空位（不包括两端）中， （如图 00000“”表示空位， “0”表示 5 个同学）有24A 2种方法 .则共有5254A A 440 种排法 . 三、定位问题“优先法”指定某些元素必须排（或不排）在某位置，可优先排这个元素，后排其他元素. 例 3 6 个好友其中只有一个女的，为了照像留念，若女的不站在两端，则不同的排法有种. 分析：优先排女的（元素优先）.在中间四个位置上选一个，有1

3、4A 种排法 .然后将其余5 个排在余下的5 个位置上， 有55A 种方法 .则共1545A A 480 种排法 .还可以优先排两端（位置优先）. 四、同元问题“隔板法”例 4 10 本完全相同的书，分给4 个同学，每个同学至少要有一本书，共有多少种分法？分析：在排列成一列的10 本书之间，有九个空位插入三块“隔板”.如图： 一种插法对应于一种分法，则共有39C 84 种分法 . 五、先分组后排列对于元素较多，情形较复杂的问题，可根据结果要求，先分为不同类型的几组，然后对每一组分别进行排列，最后求和. 例 5 由数字 0，1，2，3，4，5 组成无重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共

4、有（）（A）210 个（B）300 个（C）464 个（D）600 个分析：由题意知，个位数字只能是0，1，2，3，4 共 5 种类型，每一种类型分别有55A 个、113433A A A 个、113333A A A 个、113233A A A 个、1333A A 个，合计 300 个，所以选B 例 6 用 0，1，2，3， 9 这十个数字组成五位数，其中含有三个奇数数字与两个偶数数字的五位数有多少个? 【解法 1】 考虑 0的特殊要求，如果对 0不加限制，应有325555C C A种， 其中 0居首位的有314544C C A种，故符合条件的五位数共有325314555544C C AC C

5、A11040 个. 【解法 2】按元素分类：奇数字有1，3，5，7，9；偶数字有0，2，4，6，8. 把从五个偶数中任取两个的组合分成两类：不含0 的；含0 的. 不含 0 的：由三个奇数字和两个偶数字组成的五位数有325545C C A 个；含 0 的，这时 0 只能排在除首位以外的四个数位上，有14A种排法， 再选三个奇数数与一个偶数数字全排放在其他数位上，共有31415444C C A A 种排法 . 综合和，由分类计数原理，符合条件的五位数共有325545C C A 31415444C C A A 11040 个. 例 8 由数字 1，2，3，4，5 可以组成多少个无重复数字，比200

6、00 大，且百位数字不是3名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 7 页 - - - - - - - - - 的自然数？【解】设 A满足题设条件， 且百位数字是3 的自然数 ，B满足题设条件， 且比 20000大的自然数 ，则原题即求cardUBAI e，画韦恩图如图，阴影部分即UBAI e，从图中看出cardcardUBABABIIe. 又 ABBI?，由性质 2，有 cardcardcard.BABBABIIcard B 即由数字1，2，3，4，5 组成无重复

7、数字，且比20000 大的自然数的个数，易知1444cardA AB. card ABI即由数字 1，2，3，4，5 组成无重复数字、比20000 大，且百位数字是3 的自然数的个数，易知1333cardA AABI，所以14134433cardA AA AUBAI e78.即可组成 78 个符合已知条件的自然数. 典型例题例 1 用 0 到 9 这 10 个数字可组成多少个没有重复数字的四位偶数？解法 1：当个位数上排“0”时，千位，百位，十位上可以从余下的九个数字中任选3 个来排列，故有39A个；当个位上在“ 2、4、6、8”中任选一个来排，则千位上从余下的八个非零数字中任选一个，百位，十

8、位上再从余下的八个数字中任选两个来排，按乘法原理有281814AAA（个） 没有重复数字的四位偶数有2296179250428181439AAAA个例 2 排一张有5 个歌唱节目和4 个舞蹈节目的演出节目单。（1）任何两个舞蹈节目不相邻的排法有多少种？（2）歌唱节目与舞蹈节目间隔排列的方法有多少种？解： （1）先排歌唱节目有55A种，歌唱节目之间以及两端共有6 个位子，从中选4 个放入舞蹈节目，共有46A中方法，所以任两个舞蹈节目不相邻排法有：55A46A43200. （2）先排舞蹈节目有44A中方法，在舞蹈节目之间以及两端共有5 个空位，恰好供5 个歌唱节目放入。所以歌唱节目与舞蹈节目间隔排

9、列的排法有：44A55A2880 种方法。例 3 某一天的课程表要排入政治、语文、数学、物理、体育、美术共六节课，如果第一节不排体育，最后一节不排数学，那么共有多少种不同的排课程表的方法分析与解法1：6 六门课总的排法是66A，其中不符合要求的可分为：体育排在第一书有55A种排法，如图中； 数学排在最后一节有55A种排法，如图中；但这两种排法，都包括体育排在第一书数学排在最后一节，如图中，这ABIUBAI eU 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 7 页 -

10、- - - - - - - - 种情况有44A种排法，因此符合条件的排法应是：5042445566AAA（种）例 4现有3辆公交车、3位司机和3位售票员，每辆车上需配1位司机和1位售票员问车辆、司机、售票员搭配方案一共有多少种？分析： 可以把3辆车看成排了顺序的三个空：，然后把3名司机和3名售票员分别填入因此可认为事件分两步完成，每一步都是一个排列问题解：分两步完成 第一步， 把3名司机安排到3辆车中， 有633A种安排方法； 第二步把3名售票员安排到3辆车中，有633A种安排方法故搭配方案共有363333AA种例 5下表是高考第一批录取的一份志愿表如果有4所重点院校， 每所院校有3个专业是你

11、较为满意的选择若表格填满且规定学校没有重复，同一学校的专业也没有重复的话，你将有多少种不同的填表方法？学校专业1 1 2 2 1 2 3 1 2 解： 填表过程可分两步第一步，确定填报学校及其顺序，则在4所学校中选出3所并加排列，共有34A种不同的排法；第二步，从每所院校的3个专业中选出2个专业并确定其顺序，其中又包含三小步，因此总的排列数有232323AAA种综合以上两步，由分步计数原理得不同的填表方法有：518423232334AAAA种例 67名同学排队照相(1)若分成两排照，前排3人，后排4人，有多少种不同的排法？(2)若排成两排照，前排3人，后排4人，但其中甲必须在前排，乙必须在后排

12、，有多少种不同的排法？(3)若排成一排照，甲、乙、丙三人必须相邻，有多少种不同的排法？(4)若排成一排照，7人中有4名男生，3名女生，女生不能相邻，有多少种不面的排法？解： (1) 5040774437AAA种(2)第一步安排甲，有13A种排法；第二步安排乙，有14A种排法；第三步余下的5人排在剩下的5个位置上，有55A种排法，由分步计数原理得， 符合要求的排法共有1440551413AAA种(3)第一步，将甲、乙、丙视为一个元素，有其余4个元素排成一排，即看成5个元素的全名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心

13、整理 - - - - - - - 第 3 页，共 7 页 - - - - - - - - - 排列问题，有55A种排法；第二步，甲、乙、丙三人内部全排列，有33A种排法由分步计数原理得，共有7203355AA种排法(4)第一步，4名男生全排列，有44A种排法；第二步，女生插空，即将3名女生插入4名男生之间的5个空位，这样可保证女生不相邻，易知有35A种插入方法由分步计数原理得，符合条件的排法共有：14403544AA种例 8fedcba,六人排一列纵队，限定a要排在b的前面（a与b可以相邻，也可以不相邻），求共有几种排法对这个题目，A、B、C、D四位同学各自给出了一种算式：A的算式是6621A

14、；B的算式是441514131211)(AAAAAA；C的算式是46A；D的算式是4426AC上面四个算式是否正确，正确的加以解释，不正确的说明理由解：A中很显然，“a在b前的六人纵队”的排队数目与“b在a前的六人纵队”排队数目相等，而“六人纵队”的排法数目应是这二者数目之和这表明：A的算式正确B中把六人排队这件事划分为a占位，b占位，其他四人占位这样三个阶段，然后用乘法求出总数， 注意到a占位的状况决定了b占位的方法数， 第一阶段， 当a占据第一个位置时，b占位方法数是15A；当a占据第 2 个位置时，b占位的方法数是14A；当a占据第5 个位置时，b占位的方法数是11A，当a，b占位后，再

15、排其他四人，他们有44A种排法，可见B的算式是正确的C中46A可理解为从6 个位置中选4 个位置让fedc,占据，这时，剩下的两个位置依前后顺序应是ba ,的因此C的算式也正确D中把 6个位置先圈定两个位置的方法数26C，这两个位置让ba ,占据，显然，ba ,占据这两个圈定的位置的方法只有一种（a要在b的前面），这时，再排其余四人，又有44A种排法，可见D的算式是对的例 9八个人分两排坐，每排四人，限定甲必须坐在前排，乙、丙必须坐在同一排，共有多少种安排办法？解法 1：可分为“乙、丙坐在前排，甲坐在前排的八人坐法”和“乙、丙在后排，甲坐在前排的八人坐法”两类情况 应当使用加法原理，在每类情况

16、下， 划分“乙丙坐下”、 “甲坐下”；“其他五人坐下”三个步骤，又要用到分步计数原理，这样可有如下算法：6408551424551224AAAAAA(种 )解法 2：采取“总方法数减去不命题意的所有方法数”的算法把“甲坐在第一排的八人名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 7 页 - - - - - - - - - 坐法数”看成“总方法数”，这个数目是7714AA在这种前提下，不合题意的方法是“甲坐第一排，且乙、丙坐两排的八人坐法”这个数目是5514131214A

17、AACA其中第一个因数14A表示甲坐在第一排的方法数，12C表示从乙、丙中任选出一人的办法数，13A表示把选出的这个人安排在第一排的方法数，下一个14A则表示乙、 丙中沿未安排的那个人坐在第二排的方法数，55A就是其他五人的坐法数，于是总的方法数为640855141312147714AAACAAA(种 )说明： 解法 2可在学完组合后回过头来学习例 10 计划在某画廊展出10 幅不同的画，其中1 幅水彩画、 4 幅油画、 5 幅国画，排成一行陈列，要求同一品种的画必须连在一起，并且水彩画不放在两端，那么不同陈列方式有（） A5544AAB554433AAAC554413AACD554422AA

18、A解：将同一品种的画“捆”在一起，注意到水彩画不放在两端，共有22A种排列但4 幅油画、 5幅国画本身还有排列顺序要求所以共有554422AAA种陈列方式应选 D说明： 关于“若干个元素相邻”的排列问题，一般使用“捆绑”法，也就是将相邻的若干个元素“捆绑”在一起，看作一个大元素，与其他的元素进行全排列；然后，再“松绑”，将被“捆绑”的若干元素，内部进行全排列本例题就是一个典型的用“捆绑”法来解答的问题例 11 由数字5,4,3,2,1,0组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数的个数共有（） A210B300C464D600 解法 1： （直接法）：分别用5,4,3,2,1作十万位的排

19、列数，共有555 A种，所以其中个位数字小于十位数字的这样的六位数有30052155A个解法 2： （间接法）：取5,1,0个数字排列有66A，而0作为十万位的排列有55A，所以其中个位数字小于十位数字的这样的六位数有300)(215566AA(个)应选 B说明： (1)直接法、间接法是解决有关排列应用题的两种基本方法，何时使用直接法或间接法要视问题而定，有的问题如果使用直接法解决比较困难或者比较麻烦，这时应考虑能否用间接法来解(2)“个位数字小于十位数字”与“个位数字大于十位数字”具有对称性，这两类的六位数个数一样多，即各占全部六位数的一半，同类问题还有6 个人排队照像时，甲必须站在乙的左侧

20、，共有多少种排法名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 7 页 - - - - - - - - - 例 12 用5,4,3,2,1，这五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有（） A24 个B30 个C40 个D60 个分析： 本题是带有附加条件的排列问题，可以有多种思考方法，可分类，可分步，可利用概率，也可利用本题所提供的选择项分析判断解法 1：分类计算将符合条件的偶数分为两类一类是2 作个位数，共有24A个，另一类是4 作个位数，也有24A个因此符合条

21、件的偶数共有242424AA个解法 2：分步计算先排个位数字，有12A种排法，再排十位和百位数字，有24A种排法，根据分步计数原理，三位偶数应有242412AA个解法 3：按概率算用51这5个数字可以组成没有重复数字的三位数共有6035A个， 其中偶点其中的52 因此三位偶数共有245260个解法 4：利用选择项判断用51这5个数字可以组成没有重复数字的三位数共有6035A个其中偶数少于奇数，因此偶数的个数应少于30个，四个选择项所提供的答案中，只有A符合条件应选A例 13用543210、共六个数字，组成无重复数字的自然数，(1)可以组成多少个无重复数字的3位偶数？ (2)可以组成多少个无重复

22、数字且被3整除的三位数？分析：3位偶数要求个位是偶数且首位数字不能是0，由于个位用或者不用数字0，对确定首位数字有影响，所以需要就个位数字用0或者用42 、进行分类一个自然数能被3整除的条件是所有数字之和是3的倍数，本题可以先确定用哪三个数字，然后进行排列，但要注意就用与不用数字0进行分类解：(1)就个位用0还是用42、分成两类，个位用0，其它两位从4321、中任取两数排列，共有1224A(个)，个位用2或4，再确定首位，最后确定十位，共有32442(个)，所有3位偶数的总数为：443212(个)(2)从543210、中取出和为3的倍数的三个数，分别有下列取法：)210(、)510(、)420

23、(、)540(、)321(、)531 (、)432(、)543(，前四组中有0，后四组中没有0，用它们排成三位数，如果用前4组，共有162422A(个)，如果用后四组，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 7 页 - - - - - - - - - 共有24433A(个)，所有被3整除的三位数的总数为402416(个)例 14一条长椅上有7个座位，4人坐，要求3个空位中， 有2个空位相邻， 另一个空位与2个相邻空位不相邻，共有几种坐法？分 析 ： 对 于 空 位

24、 ， 我 们 可 以 当 成 特 殊 元 素 对 待 ， 设 空 座 梯 形 依 次 编 号 为7654321、先选定两个空位， 可以在21、号位，也可以在32、号位共有六种可能，再安排另一空位， 此时需看到， 如果空位在21、号，则另一空位可以在7654、号位，有4种可能，相邻空位在76、号位，亦如此如果相邻空位在32、号位，另一空位可以在765、号位，只有3种可能，相邻空位在43、号，54、号，65、号亦如此，所以必须就两相邻空位的位置进行分类本题的另一考虑是，对于两相邻空位可以用合并法看成一个元素与另一空位插入已坐人的4个座位之间，用插空法处理它们的不相邻解答一： 就两相邻空位的位置分类

25、：若两相邻空位在21、或76、，共有1924244A(种)坐法若两相邻空位在32、，43、，54、或65、，共有2883444A(种)不同坐法，所以所有坐法总数为480288192(种)解 答 二 ： 先 排 好4个 人 ， 然 后 把 两 空 位 与 另 一 空 位 插 入 坐 好 的4人 之 间 ， 共 有4802544AA(种)不同坐法解答三： 本题还可采用间接法，逆向考虑在所有坐法中去掉3个空位全不相邻或全部相邻的情况，4个人任意坐到7个座位上，共有47A种坐法，三个空位全相邻可以用合并法，直接将三个空位看成一个元素与其它座位一起排列，共有55A种不同方法 三个空位全不相邻仍用插空法，但三个空位不须排列，直接插入4个人的5个间隔中，有1044A种不同方法，所以，所有满足条件的不同坐法种数为48010445547AAA(种)名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 7 页 - - - - - - - - -