2022年高中导数经典知识点及例题讲解.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 1.1 变化率与导数 1.1.1 变化率问题自学引导 1. 通过实例分析,明白平均变化率的实际意义2会求给定函数在某个区间上的平均变化率 . 课前热身1. 函数 fx 在区间 x 1,x 2 上的平均变化率为 y x_. 2平均变化率另一种表示形式：设 xxx 0,就 y x_,表示函数 yfx 从 x0 到 x 的平均变化率 . 答 案1.f x 2 f x 1 x 2 x12. f x 0 x f x 0 x名师讲解 1. 如何懂得 x, y 的含义 x 表示自变量 x 的转变量,即转变量,即yfx2 fx1 2 求平均变化率的步骤xx 2

2、x1； y 表示函数值的求函数 yfx 在x 1,x2 内的平均变化率1 先运算函数的增量yfx2 fx1 2 运算自变量的增量xx2x1. . 3 得平均变化率 y xfx2fx1x2x11 1名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 32 页精选学习资料 - - - - - - - - - 对平均变化率的熟悉函数的平均变化率可以表现出函数在某段区间上的变化趋势,且区间长度越小,表现得越精确如函数ysinx 在区间 0 , 上的平均变化率为 0,而在 0 , 2 上的平均变化率为 sin 2sin02 . 20在平均变化率的意义中,fx 2 fx 1 的值可正、可负,也可以为零

3、但 xx 2x1 0. 典例剖析题型一求函数的平均变化率t 的关系是 S3t t2. 例 1 一物体做直线运动,其路程与时间1 求此物体的初速度；2 求 t 0 到 t 1 的平均速度分析 t 0 时的速度即为初速度,求平均速度先求路程的转变 S量 SS1 S0 ,再求时间转变量 t 101. 求商 t就可以得到平均速度2S 3t t解 1 由于 vtt3t. 当 t 0 时,v03,即为初速度2 SS1 S0 3 11 202 t 101 v S t2 12. 从 t 0 到 t 1 的平均速度为 2. 误区警示此题1不要认为 t 0 时,S0. 所以初速度是零 . 2 2名师归纳总结 -

4、- - - - - -第 2 页,共 32 页精选学习资料 - - - - - - - - - 变式训练 1 已知函数 fx x2x 的图像上一点 1,2及邻近一点 1 x,2 y ,就 y x 2A3 B3 x x2C3 x D3 x 解析 yf 1 x f 1 1 x 2 1 x 2 x 23 x. y x x x 23 x x3 答案 D 题型二 平均变化率的快慢比较例 2 求正弦函数 ysinx 在 0 到 6之间及 3到 2之间的平均变化率并比较大小分析用平均变化率的定义求出两个区间上的平均变化率,再比较大小解 设 ysinx 在 0 到 6之间的变化率为 k 1,就k 1sin 6

5、sin03 . 60ysinx 在 3到 2之间的平均变化率为 k2,就 k2sin 2sin 31 2 33 2 3. 23 63 3名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 32 页精选学习资料 - - - - - - - - - k1k23 3233310,k1k2. 答：函数 ysinx 在 0 到 6之间的平均变化率为 ,在 3到 2之3 23 3 3 23间的平均变化率为 ,且 . 变式训练 2 试比较余弦函数 ycosx 在 0 到 3之间和 3到 2之间的平均变化率的大小解设函数 ycosx 在 0 到 3之间的平均变化率是k 1,就 k 1cos 3cos030

6、3 2. 函数 ycosx 在 3到 2之间的平均变化率是k2,就 k 2cos 2cos3 . 3 2 3k1k23 2 3 3 20,k1k2. 函数 ycosx 在 0到 3之间的平均变化率大于在 3到 2之间的平均变化率题型三平均变化率的应用st t22t 3,求物体在 t例 3 已知一物体的运动方程为1 到 t 1 t 这段时间内的平均速度分析由物体运动方程 写出位移变化量s s t4 4名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 32 页精选学习资料 - - - - - - - - - 解 物体在 t 1 到 t 1 t 这段时间内的位移增量 ss1 t s1 1 t

7、221 t 3 1 22 13 t 24 t.物体在 t 1 到 t 1 t 这段时间内的平均速度为 s t t24 t4 t. t变式训练 3 一质点作匀速直线运动, 其位移 s 与时间 t 的关系为 stt21,该质点在 2,2 t t0 上的平均速度不大于5,求 t的取值范畴解 质点在 2,2 t 上的平均速度为s 2 t ts 2 2 t 21 2 21 t24 t t t4 t. 又 v5,4 t 5. t 1,又 t0 , t 的取值范畴为 0,1. 1.1 函数的单调性与极值5 5名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 32 页精选学习资料 - - - - - -

8、 - - - 1.1.2 导数的概念自学引导 1. 经受由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程,明白导数概念建立的一些实际背景2明白瞬时变化率的含义,知道瞬时变化率就是导数3把握函数 fx 在某一点 x0 处的导数定义,并且会用导数的定义求一些简洁函数在某一点 x0处的导数 . 课前热身1. 瞬时速度设物体的运动方程为 SSt ,假如一个物体在时刻 t 0 时位于St 0 ,在时刻 t 0 t 这段时间内,物体的位置增量是 SSt 0 t St 0 那么位置增量 S 与时间增量 t 的比,就是这段时间内物体的 _,即 v S t 0 t tS t 0. 当这段时间很短,即 t 很小时,这个平均速度

9、就接近时刻 t 0的速度 t 越小, v 就越接近于时刻 t 0 的速度,当 t 0 时,这 S S t 0 tS t 0个平均速度的极限 vlim tlim t 就是物 t 0 t 0体在时刻 t 0的速度即为 _ 2 导数的概念设函数 yfx 在区间 a ,b 上有定义, x 0a ,b ,当 x 无限趋近 0 时,比值 y xf x0 x xf x 0无限趋近于一个常数A,这个常数 A 就是函数 fx 在点 xx 0处的导数,记作 f x 0或 y6 6名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 32 页精选学习资料 - - - - - - - - - |x x0. 用符号语

10、言表达为f x0 lim y x_ x0答1. 平均速度瞬时速度案2.lim x0f x 0 x f x0 x名师讲解1. 求瞬时速度的步骤1 求位移增量SSt t St ；2 求平均速度 v S t；t tSt；3 求极限 lim S tlim t 0S t t 04 如极限存在,就瞬时速度vlim S t . t 02导数仍可以如下定义 一般地,函数 yfx 在 xx 0处的瞬时变化率是 lim x 0fx0 xfx0lim y x. 我们称它为函数 yfx 在 xx 0 x x 0处的导数记作 f x 0或 y|x x0,即 f x 0 lim y xlim x0fx0 xfx0. x0

11、 x3对导数概念的懂得 1 “ 导数” 是从现实生活中大量类似问题里,撇开一些量的具 体意义,单纯地抓住它们数量上的共性而提取出来的一个概念,所以7 7名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 32 页精选学习资料 - - - - - - - - - 我们应很自然的懂得这个概念的提出与其实际意义2 某点导数即为函数在这点的变化率某点导数概念包含着两层含义： ylim x 0 x存在,就称 fx 在 xx 0处可导并且导数即为极限值； ylim x 0 x不存在,就称 fx 在 xx 0处不行导3 x 称为自变量 x 的增量, x 可取正值也可取负值, 但不行以为 0. 4 令 x

12、x0 x,得 xxx 0,于是ff x 0 lim xx 0fxfx 0与定义中的 f x 0 limxx 0 x 0x0 xfx0意义相同 x 4 求函数 yfx 在点 x0 处的导数的步骤1 求函数的增量：yfx0 x fx0 ；2 求平均变化率： y xfx0 xfx0 x3 取极限,得导数： f x 0 lim y x. x0典例剖析题型一 物体运动的瞬时速度例 1 以初速度 v0v 00竖直上抛的物体, t 秒时高度为 st v0t 1 2gt 2,求物体在时刻 t 0处的瞬时速度分析 先求出 s,再用定义求 s t,当 t 0 时的极限值解 sv 0t 0 t 1 2gt 0 t

13、2v 0t 01 2gt 0 v 01gt0 t 2g t 2, s tv 0gt 01 2g t. 8 8名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 32 页精选学习资料 - - - - - - - - - 当 t 0 时, s tv 0gt 0. 故物体在时刻 t 0处的瞬时速度为 v0gt 0. 规律技巧 瞬时速度 v 是平均速度 v 在 t 0 时的极限 . 因此,vlim t 0 s v lim t 0 t . 变式训练 1 一作直线运动的物体,其位移 是 s5t t 2,求此物体在 t 2 时的瞬时速度；s 与时间 t 的关系解 s52 t 2 t25 222 t t2

14、, s t1 t. vlim t 0 s tlim 1 t 1. t 0物体在 t 2 时的瞬时速度为1. 题型二求函数在某点处的导数例 2 求函数 yx在 x1 处的导数分析 依据导数的定义求导数是求函数的导数的基本方法解法 1 y1 x1, y x1 x1 x x 1 x1 x1. 1 x1 y 1 1lim x 0 xlim x0 1 x12. y| x11 2. 9 9名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 32 页精选学习资料 - - - - - - - - - 解法 2 先求导数,再求导数值 yx xx, y xx x x x1. x xxy lim x0 x xx

15、 1 2 x. 1y | x11 2. 规律技巧 求函数 yf x 在 xx 0处的导数有两种方法： 一是应用导数定义；二是先求导数再求导数值 . 1变式训练 2 利用定义求函数 yxx的导数,并据此求函数在 x1处的导数解 yx x x xx 1 x y 1 x1x x x, yy lim x x 01lim 1 x x x x 011 x 2. y| x111 1 20. x xx x x,题型三 导数的应用名师归纳总结 10 10第 10 页,共 32 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 例 3 某物体依据 st 3t22t 4 的规律作直线运动

16、, 求自运动开头到 4s 时,物体运动的平均速度和 4s 时的瞬时速度分析 解答此题,可先求自运动开头到 ts 时的平均速度 vt 及函数值的增量 s,自变量的增量 t ,再利用公式求解即可解 自运动开头到 ts 时,物体运动的平均速度 vt st t3t 24 t,故前 4 秒物体的平均速度为t 3 424 415. 由于 s3t t 22t t 43t 22t 4 26t t 3 t 2, s t26t 3 t. slim t 0 t26t. 4s 时物体的瞬时速度为 26 426. 规律技巧 导数的物理意义：1 如已知位移 s 与时间 t 的函数关系 ss t,就在 t 0时刻的瞬时速度

17、 vst 0；2 如已知速度 v 与时间 t 的函数关系 vv t,就在 t 0时刻的瞬时加速度 avt 0 . 变式训练 3 竖直上抛一小球,其位移与时间的关系为 ht 100t1 2gt 2,试求小球何时瞬时速度为 0g 9.8 解 小球的运动方程为 ht 100t 1 2gt 2, h100t t 1 2gt t2 100t 1 2gt2 lim t 0 h t100gt ,11 11名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 32 页精选学习资料 - - - - - - - - - 令 100gt 0,得 t 100 g100 9.810.2s 因此,小球被上抛10.2s

18、 时速度变为 0. 100 t gt t 1 2g t2. 例 4 已知质点 M按规律 sat23 单位： cm做直线运动,且质点 M在 t 2s 时的瞬时速度为 8cm/s,求 a 的值分析这是一道逆向思维的题目, 知导数 s| t 28,求系数 a,先对 s 求导,可得含 a 的方程解出 a 即可解 sa2 t23a 223 4a t a t2lim s tlim t 0 4a a t 4a. t 0依题意有 4a8,a2. 变式训练 4 已知 fx axb,且 f 解 yf1 x f1 a1 x ba b a x. f 又 f 1 lim x 0 y xlim aa. x01 2,a2.

19、 12 121 2,求实数 a 的值名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 32 页精选学习资料 - - - - - - - - - 1.1 函数的单调性与极值 1.1.3 导数的几何意义自学引导1. 通过函数的图像直观地懂得导数的几何意义2会求函数在点 x 0,y 0 处的切线方程 . 课前热身1. 几何意义： fx 在 xx 0处的导数 f x 0 即为 fx 所表示的曲线在 xx0 处的切线的斜率,即kf x 0 lim x0fx 0 xfx0. 过点x 0,fx0 的切线方程为 _ x 2 物理意义：假如把函数yfx 看作是物体的运动方程 或叫位移公式 ,那么导数 f

20、 x 0 表示运动物体在时刻t 0的速度,即在x0 的_即 vx0f x0 lim x 0 y x. 3 假如 fx 在开区间 a ,b 内每一点 x 的导数都存在,那么称 fx 在区间 a ,b 内可导这样对开区间 a ,b 内每一个值 x,都对应一个确定的导数f x ,于是在区间 a ,b 内 f x 构成一个新的函数,我们把这个函数称为函数yfx 的_,记为_,简称为 _今后,如不特殊指明某一点的导数,求 导数就是指求导函数 . 答1.y fx0 f x 0x x 0 导数2. 瞬时速度x 或 yx、y案3. 导函数f 13 13名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页,共

21、32 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师讲解1. “ 函数 fx 在点 x0处的导数” 、“ 导函数” 、“ 导数” 三者之间 的区分与联系：“ 函数 fx 在点 x 0处的导数” 是一个数值； “ 导函数” 简称“ 导 数” ,是一个函数所以求函数在某点处的导数时,一般是先求出函数的导函数,再运算这点的导函数值 2可以利用导数求曲线的切线方程由于函数yfx 在 xx0 处的导数,表示曲线在点Px 0,fx0 处的切线的斜率因此,曲线 yfx 在点 Px 0,fx0 处的切线方程可如下求得：1 求出 f x 0 ,就 f x 0就是点 Px 0,fx0 处的切线的斜率 2

22、 代入直线的点斜式方程可得切线方程为yfx0 f x0x x0 0 处的切线平行于y 轴时 此时假如曲线 yfx 在点 Px0,fx导数不存在 ,切线方程为 xx0. 典例剖析题型一 求曲线上某点处的切线方程例 1 已知曲线 C：yx 3. 1 求曲线 C上横坐标为 1 的点处的切线方程；2 第1 小题中的切线与曲线 C是否仍有其他的公共点分析 先求出函数 yx 3 在 x1 处的导数,即切线的斜率, 然后写出切线方程,最终列方程看交点个数解 1 将 x1 代入曲线 C的方程得 y1,切点 P1,1 y lim y14 14 x x 0名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页,共

23、32 页精选学习资料 - - - - - - - - - limx x3x3 x x 0lim3x2 x3x x2 x3 x x 0lim3x23x x x2 3x2, x 0y| x 13. 过 P点的切线方程为 y13x 1 ,即 3xy20. 2 由y33x11可得yxx 1x2x2 0,解得 x11,x22,从而求得公共点为P1,1 或 P2,8 说明切线与曲线 C的公共点除了切点外,仍有另外的公共点规律技巧 先求出函数 yf x 在 xx 0处的导数,即曲线在该点处的切线斜率,再由直线方程的点斜式便可求出切线方程 . 变式训练 1 求双曲线 y1 x在点1 2,2 处的切线的斜率,

24、并写出切线方程解y1 x,x x1 x15 15klim x0 y xlim x 0名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页,共 32 页精选学习资料 - - - - - - - - - limx1 2x x1 x 2. x 0当 x1 2时,k4,切线斜率为 k4. 切线方程为 y2 4x 1 2 ,即 4xy40. 题型二 求过某点的切线方程例 2 求抛物线 yx2过点 5 2,6 的切线方程分析 点5 2,6 不在抛物线上,先设出切点坐标,求出切线的斜率,利用等量关系,求出切点坐标,最终写出切线方程解 y设此切线在抛物线上的切点为x 0,x 0 ,就|x x 0limx0 x

25、2x2 0lim 2x0 x 2x0, x x 0 x02 x 06 52x0,即 x x 022 05x060,解得x 02,或 x 03. 即切线经过抛物线yx2上的点 2,4 ,3,9 故切线方程分别为y44x 2 ,y96x 3 ,即 4xy40,或 6xy90 为所求的切线方程16 16名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页,共 32 页精选学习资料 - - - - - - - - - 规律技巧 求切线方程时, 留意两种说法： 一是在某点处的切线方程,此时点在曲线上,且以此点为切点；二是过某点的切线方程,如本例,此时求解时,第一要设出切点坐标,然后求解 . 变式训练 2

26、 求抛物线 y1 4x2 过点4 ,7 4的切线方程解设切线在抛物线上的切点为x 0,1 4x0 ,y|x x 0lim1x0 x21 4x240 x x 0lim x 0 1 2x 01 4 x 1 2x 0. 1 2 74x 0x041 2x0. 即 x08x 070,解得 x07,或 x01,即切线过抛物线y1 4x 2 上的点 7 ,49 4 ,1 ,1 4 ,故切线方程分别为 y49 47 2x 7 ,或 y1 41 2x 1 ,化简得 14x4y490,或 2x4y10,此即所求的切线方程题型三 导数几何意义的综合应用 例 3 求曲线 yx 2在点3,9 处的切线与两坐标轴所围成的

27、三角 形的面积分析由题设知切线与两坐标轴围成的三角形为直角三角形,故需求出切线方程及其在两坐标轴上的截距,代入三角形面积公式计 算名师归纳总结 解 y3 x23217 17第 17 页,共 32 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 6 x x 2,f 3 lim y xlim x0 6 x 6. x 0点 3,9 处的切线方程为 y96x 3 ,即 y6x9. 切线与两坐标轴的交点分别为 3 2,0 ,0 ,9 切线与两坐标轴围成的三角形面积为S1 2 3 2 927 4 . 变式训练 3 在曲线 yx5 平行解设 Px0,x2 0 ,就 f yx 0

28、lim x x02上求一点 P,使过点 P的切线与直线 y4xlimx0 x2x2 2x0 x 2x0. 0lim x x 0 x 0由题意可得2x 04,x02. 故点 P的坐标为 2,4. 1.2 导数的运算1.2.1 几种常用函数的导数及导数的运算法就自学引导 1.能依据导数的定义,会求函数yc,yx,yx2,yx 3,y18 18名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页,共 32 页精选学习资料 - - - - - - - - - 1 x,yx的导数2能利用给出的基本初等函数的导数公式及导数的运算法就求 简洁函数的导数 . 课前热身 1. 基本初等函数的导数公式 . 原函数

29、导函数1fxc f x _ 2fxxnn Q f x _ 3fxsinx f x _ 4fxcosx f x _ 5fxxaf x _ 原函数导函数6fxxef x _ 7fxlog ax f x _ 8fxlnx f x _ 2. 导数的运算法就1fxx gx _；2fx gx _；3 f g _. x19 19名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页,共 32 页精选学习资料 - - - - - - - - - 1.10 2nx n13cosx2.1f答 案4sinx 5a xlnaa0 6ex7 1 xlnaa0,且 a 1 81 xx gx答2f xgxfxg xgxgx

30、0案3 f xgxfxgx2名师讲解3 公式中 nQ,但对于 nR公式也成立4 特殊留意 n 为负数或分数时,求导不要搞错如名师归纳总结 20 20第 20 页,共 32 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 2两函数和差的求导法就的推广1fx gx f x gx 此法就可以推广到有限个可导函数的情形f 1x f 2x f nx f 1x f 2x f nx 2afx bgx af x bgxa ,b 为常数 3两函数商的求导法就fx f xgxfxgxxgx 0 ,gx2 gxg1 gg2gx 0 当 fx 1 时,就有xx这是一个函数倒数的求导法就

31、4 求导运算的技巧在求导数中,有些函数表示形式很复杂,直接求导比较困难,但经过化简整理,有可能很简洁,这时再求导可能很简便,也就是说,先把复杂式子化简后再求导,削减运算量 . 题型一 求导函数例 1 求以下函数的导数1y x 12；2y 1 x 3；xn类,用公式 xn nx n1 完成3y 3 x2. 分析这三个小题都可归为典例剖析解1y x12 12x12 112x11. 4. 2y 1 x 3 x 3 3x313x21 21名师归纳总结 - - - - - - -第 21 页,共 32 页精选学习资料 - - - - - - - - - 变式训练 1 求以下函数的导数1fx10 x；2fxlog 2x；处的导数；3gtet. 解1f x 10x 10 xln10. 2f x log2x 1 xln2 . 3g t et e t . 题型二求函数在某点处的导数例 2 1 求函数 ya x,在点 P3,f32 求函数 ylnx 在点 Q5,ln5 处的导数分析 先按求导公式求出导函数,再求导函数在相应点的函数值解 1 ya x,y a x a xlna. 就 y| x 3a 3lna. 2 ylnx ,y lnx 1 x. 就 y| x 51 5.