2022年高中数学个热点问题：排列组合中的常见模型 .pdf

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1、第十章第 80 炼 排列组合的常见模型排列组合，二项式定理本书由作者独家授权“学易书城”，其所含章节未经作者与学易书城同意不得随意转载第 80 炼 排列组合的常见模型一、基础知识：（一）处理排列组合问题的常用思路：1、特殊优先：对于题目中有特殊要求的元素，在考虑步骤时优先安排，然后再去处理无要求的元素。例如：用0,1,2,3,4组成无重复数字的五位数，共有多少种排法？解：五位数意味着首位不能是0，所以先处理首位，共有4 种选择，而其余数位没有要求，只需将剩下的元素全排列即可，所以排法总数为44496NA种2、寻找对立事件：如果一件事从正面入手，考虑的情况较多，则可以考虑该事的对立面，再用全部可

2、能的总数减去对立面的个数即可。例如：在 10 件产品中，有7 件合格品， 3 件次品。从这10 件产品中任意抽出3 件，至少有一件次品的情况有多少种解：如果从正面考虑，则“至少1 件次品”包含1 件， 2 件， 3 件次品的情况，需要进行分类讨论， 但如果从对立面想，则只需用所有抽取情况减去全是正品的情况即可，列式较为简单。3310785NCC（种）3、先取再排 （先分组再排列） ：排列数mnA是指从n个元素中取出m个元素， 再将这m个元素进行排列。 但有时会出现所需排列的元素并非前一步选出的元素，所以此时就要将过程拆分成两个阶段，可先将所需元素取出，然后再进行排列。例如： 从 4 名男生和

3、3 名女生中选3人， 分别从事 3 项不同的工作， 若这 3 人中只有一名女生，则选派方案有多少种。解：本题由于需要先确定人数的选取，再能进行分配（排列），所以将方案分为两步，第一步：确定选哪些学生，共有2143C C种可能，然后将选出的三个人进行排列：33A。所以共有213433108C C A种方案（二）排列组合的常见模型1、捆绑法（整体法） ：当题目中有“相邻元素”时，则可将相邻元素视为一个整体，与其他元素进行排列，然后再考虑相邻元素之间的顺序即可。例如： 5 个人排队，其中甲乙相邻，共有多少种不同的排法名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - -

4、 - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 8 页 - - - - - - - - - 第十章第 80 炼 排列组合的常见模型排列组合，二项式定理本书由作者独家授权“学易书城”，其所含章节未经作者与学易书城同意不得随意转载解：考虑第一步将甲乙视为一个整体，与其余3 个元素排列，则共有44A种位置，第二步考虑甲乙自身顺序，有22A种位置，所以排法的总数为424248NAA种2、插空法：当题目中有“不相邻元素”时，则可考虑用剩余元素“搭台”，不相邻元素进行“插空”，然后再进行各自的排序注： （1）要注意在插空的过程中是否可以插在两边（2）要从题目中判断是

5、否需要各自排序例如：有6 名同学排队，其中甲乙不相邻，则共有多少种不同的排法解：考虑剩下四名同学 “搭台”， 甲乙不相邻， 则需要从5 个空中选择2 个插入进去， 即有25C种选择，然后四名同学排序，甲乙排序。所以242542480NCAA种3、错位排列：排列好的n个元素，经过一次再排序后，每个元素都不在原先的位置上，则称为这n个元素的一个错位排列。例如对于, , ,a b c d，则, , ,d c a b是其中一个错位排列。3个元素的错位排列有2 种，4 个元素的错位排列有9 种，5 个元素的错位排列有44 种。以上三种情况可作为结论记住例如：安排 6 个班的班主任监考这六个班，则其中恰好

6、有两个班主任监考自己班的安排总数有多少种？解：第一步先确定那两个班班主任监考自己班，共有26C种选法，然后剩下4 个班主任均不监考自己班，则为4 个元素的错位排列，共9 种。所以安排总数为269135NC4、依次插空：如果在n个元素的排列中有m个元素保持相对位置不变，则可以考虑先将这m个元素排好位置，再将nm个元素一个个插入到队伍当中（注意每插入一个元素，下一个元素可选择的空1）例如：已知,A B C D E F6 个人排队，其中,A B C相对位置不变，则不同的排法有多少种解：考虑先将,A B C排好，则D有 4 个空可以选择，D进入队伍后，E有 5 个空可以选择，以此类推，F有 6 种选择

7、，所以方法的总数为456120N种5、不同元素分组：将n个不同元素放入m个不同的盒中6、相同元素分组：将n个相同元素放入m个不同的盒内，且每盒不空，则不同的方法共有11mnC种。解决此类问题常用的方法是“挡板法”，因为元素相同，所以只需考虑每个盒子里名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 8 页 - - - - - - - - - 第十章第 80 炼 排列组合的常见模型排列组合，二项式定理本书由作者独家授权“学易书城”，其所含章节未经作者与学易书城同意不得随意转载

8、所含元素个数，则可将这n个元素排成一列，共有1n个空，使用1m个“挡板”进入空档处，则可将这n个元素划分为m个区域，刚好对应那m个盒子。例如：将6 个相同的小球放入到4 个不同的盒子里，那么6 个小球 5 个空档，选择3 个位置放“挡板” ，共有3520C种可能7、涂色问题：涂色的规则是“相邻区域涂不同的颜色”，在处理涂色问题时，可按照选择颜色的总数进行分类讨论，每减少一种颜色的使用，便意味着多出一对不相邻的区域涂相同的颜色（还要注意两两不相邻的情况），先列举出所有不相邻区域搭配的可能，再进行涂色即可。例如：最多使用四种颜色涂图中四个区域，不同的涂色方案有多少种？解：可根据使用颜色的种数进行分

9、类讨论（1）使用 4 种颜色，则每个区域涂一种颜色即可：414NA（2）使用 3 种颜色，则有一对不相邻的区域涂同一种颜色，首先要选择不相邻的区域：用列举法可得：, I IV不相邻所以涂色方案有：324NA（3）使用 2 种颜色，则无法找到符合条件的情况，所以讨论终止总计434448SAA种二、典型例题：例 1：某电视台邀请了6 位同学的父母共12 人，请 12 位家长中的4 位介绍对子女的教育情况，如果这4 位中恰有一对是夫妻，则不同选择的方法种数有多少思路：本题解决的方案可以是：先挑选出一对夫妻，然后在挑选出两个不是夫妻的即可。第一步：先挑出一对夫妻：16C第二步：在剩下的10 个人中选出

10、两个不是夫妻的，使用间接法：2105C所以选择的方法总数为126105240NCC（种）答案：240种例 2：某教师一天上3 个班级的课， 每班上 1 节，如果一天共9 节课， 上午 5节， 下午 4 节，并且教师不能连上3 节课（第 5 节和第 6 节不算连上） ，那么这位教师一天的课表的所有不同排法有（）A. 474种B. 77种C. 462种D. 79种名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 8 页 - - - - - - - - - 第十章第 80 炼 排

11、列组合的常见模型排列组合，二项式定理本书由作者独家授权“学易书城”，其所含章节未经作者与学易书城同意不得随意转载思路：本题如果用直接法考虑，则在安排的过程中还要考虑两节连堂，并且会受到第5,6节课连堂的影响，分类讨论的情形较多，不易求解。如果使用间接法则更为容易。首先在无任何特殊要求下，安排的总数为39A。不符合要求的情况为上午连上3 节：34A和下午连上三节：33A，所以不同排法的总数为：333943474AAA（种）答案： A 例 3： 2 位男生和3 位女生共5 位同学站成一排，若男生甲不站两端，3 位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是（）A. 60B. 48C. 42D.

12、36思路：首先考虑从3 位女生中先选中相邻的两位女生，从而相邻的女生要与另一女生不相邻，则可插空， 让男生搭架子， 因为男生甲不站两端，所以在插空的过程中需有人站在甲的边上，再从剩下的两个空中选一个空插入即可。第一步：从三位女生中选出要相邻的两位女生：23C第二步： 两位男生搭出三个空，其中甲的边上要进入女生，另外两个空中要选一个空进女生，所以共有12C种选法。第三步：排列男生甲，乙的位置：22A，排列相邻女生和单个女生的位置：22A，排列相邻女生相互的位置：22A所以共有212223222248NCCAAA种答案： B 例 4：某班班会准备从甲，乙等7 名学生中选派4 名学生发言，要求甲，乙

13、两名同学至少有一人参加， 且若甲乙同时参加， 则他们发言时不能相邻，那么不同的发言顺序种数为（）A. 360 B. 520 C. 600 D. 720 思路：因为选人的结果不同会导致安排顺序的不同，所以考虑“先取再排”，分为“甲乙”同时选中和“甲乙只有一人选中”两种情况讨论：若甲乙同时被选中，则只需再从剩下5人中选取2 人即可：25C， 在安排顺序时， 甲乙不相邻则 “插空”， 所以安排的方式有：2232AA，从而第一种情况的总数为：2221532120NCAA（种），若甲乙只有一人选中，则首先先从甲乙中选一人，有12C，再从剩下 5 人中选取三人，有35C，安排顺序时则无要求，所以第名师资料

14、总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 8 页 - - - - - - - - - 第十章第 80 炼 排列组合的常见模型排列组合，二项式定理本书由作者独家授权“学易书城”，其所含章节未经作者与学易书城同意不得随意转载二种情况的总数为：1342254480NCCA（种），从而总计600 种答案： C 例 5：从单词“ equation ”中选取 5 个不同的字母排成一排，含有“qu”（其中“ qu”相连且顺序不变）的不同排列共有_种思路：从题意上看，解决的策略要分为两步：

15、第一步要先取出元素，因为“qu”必须取出，所以另外3 个元素需从剩下的6 个元素中取出，即36C种，然后在排列时，因为要求“qu”相连， 所以采用 “捆绑法”，将 qu 视为一个元素与其它三个元素进行排列：44A，因为“qu”顺序不变，所以不需要再对qu 进行排列。综上，共有：3464480CA种答案：480例 6：设有编号1,2,3,4,5的五个茶杯和编号为1,2,3,4,5的五个杯盖，将五个杯盖盖在五个茶杯上，至少有两个杯盖和茶杯的编号相同的盖法有（）A. 30种 B. 31种 C. 32种 D. 36种思路： 本题可按照相同编号的个数进行分类讨论，有两个相同时， 要先从 5 个里选出哪两

16、个相同，有25C种选法，则剩下三个为错位排列，有2 种情况，所以2152NC，有三个相同时，同理，剩下两个错位排列只有一种情况（交换位置），所以3251NC，有四个相同时则最后一个也只能相同，所以31N，从而235521 131SCC（种）答案： B 例 7：某人上 10 级台阶，他一步可能跨1 级台阶，称为一阶步，也可能跨2 级台阶，称为二阶步； 最多能跨 3 级台阶， 称为三阶步， 若他总共跨了6 步，而且任何相邻两步均不同阶，则此人所有可能的不同过程的种数为（）A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 答案： A 思路：首先要确定在这6 步中，一阶步，二阶步，三阶步各有几步，分别设为,

17、 ,x y zN，则有62310 xyzxyz，解得：4320,2,4210 xxxyyyzzz，因为相邻两步不同阶，所以符合名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 8 页 - - - - - - - - - 第十章第 80 炼 排列组合的常见模型排列组合，二项式定理本书由作者独家授权“学易书城”，其所含章节未经作者与学易书城同意不得随意转载要求的只有321xyz，下面开始安排顺序，可以让一阶步搭架子，则二阶步与三阶步必须插入一阶步里面的两个空中，所以共有2 种插

18、法， 二阶步与三阶步的前后安排共有3 种（三二二，三二三，二三三） ，所以过程总数为236N答案： A 例 8：某旅行社有导游9 人，其中 3 人只会英语， 2 人只会日语，其余4 人既会英语又会日语，现要从中选6 人，其中 3 人负责英语导游，另外三人负责日语导游，则不同的选择方法有_种思路： 在步骤上可以考虑先选定英语导游，再选定日语导游。英语导游的组成可按只会英语的和会双语的人数组成进行分类讨论，然后再在剩下的人里选出日语导游即可。第一种情况：没有会双语的人加入英语导游队伍，则英语导游选择数为33C，日语导游从剩下6 个人中选择，有36C中，从而33036NCC，第二种情况：有一个会双语

19、的人加入英语导游队伍，从而可得1231435NC CC，依次类推，第三种情况。两个会双语的加入英语导游队伍，则2132434NCCC，第四种情况，英语导游均为会双语的。则33343NCC，综上所述，不同的选择方法总数为33123213333643543443216SCCC CCCCCCC( 种) 答案： 216 种例 9：如图，用四种不同颜色给图中,A B C D E F六个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法有（）A. 288种B. 264种C. 240种D. 168种思路：如果用四种颜色涂六个点，则需要有两对不相邻的点涂相同的颜 色 。 所 以

20、 考 虑 列 举 出 不 相 邻 的 两 对 点 。 列 举 的 情 况 如 下 ：,A CB D，,A CB E，,A CD F，,A FB D，,A FB E，,A FC E，,B DC E，,B ED F，,C ED F共九组，所以涂色方法共有449216A如果用三种颜色涂六个点，则需要有三对不相邻的点涂相同的颜色，列举情况如下：名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 8 页 - - - - - - - - - 第十章第 80 炼 排列组合的常见模型排列组合

21、，二项式定理本书由作者独家授权“学易书城”，其所含章节未经作者与学易书城同意不得随意转载,A CB ED F，,A FC EB D共两组，所以涂色方法共有34248A综上所述，总计264种答案： B 例 10：有 8 张卡片分别标有数字1,2,3,4,5,6,7,8，从中取出6 张卡片排成3 行 2 列，要求3 行中仅有中间行的两张卡片上的数字之和为5，则不同的排法共有（）A. 1344种 B. 1248种 C. 1056种 D. 960种思路：中间行数字和为5 只有两种情况，即1,4和2,3，但这两组不能同时占据两行，若按题意思考，以1,4占中间行为例，则在安排时既要考虑另一组2,3是否同时

22、被选中，还要考虑同时被选中时不能呆在同一行，情况比较复杂。 所以考虑间接法，先求出中间和为5的所有情况，再减去两行和为5 的情形解：先考虑中间和为5 的所有情况：第一步：先将中间行放入1,4或2,3：12C第二步：中间行数字的左右顺序：22A第三步：从剩下6 个数字中选择4 个，填入到剩余的四个位置并排序：46A所以中间和为5 的情况总数为1242241440SCAA在考虑两行和为5 的情况：第一步：1,4，2,3两组中哪组占用中间行：12C第二步：另一组可选择的行数：12C第三步：1,4，2,3在本行中的左右顺序：2222A A第四步：从剩下4 个数中选取2个填入所剩位置并排序：24A所以两

23、行和为5 的情况：1122222224192NCCAAA从而仅有中间行为5 的情况为1248SN（种）答案： B 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 8 页 - - - - - - - - - 第十章第 80 炼 排列组合的常见模型排列组合，二项式定理本书由作者独家授权“学易书城”，其所含章节未经作者与学易书城同意不得随意转载名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 8 页 - - - - - - - - -