2022年高中圆锥曲线定点定直线问题 .pdf

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1、. . 定点、定直线、定值专题1、已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上， 椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1（）求椭圆C的标准方程；（） 若直线 l :ykxm与椭圆C相交于A，B两点（AB，不是左右顶点） ，且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标【标准答案】(I)由题意设椭圆的标准方程为22221(0)xyabab3,1acac，22,1,3acb221.43xy(II) 设1122(,),(,)A xyB xy，由22143ykxmxy得222(34)84(3)0kxmkxm，22226416(34)(3)0m kkm，22340km.

2、212122284(3),.3434mkmxxxxkk22221212121223(4)() ()().34mkyykxmkxmk x xmk xxmk以 AB 为直径的圆过椭圆的右顶点(2,0),D1ADBDkk，1212122yyxx，(最好是用向量点乘来)1212122()40y yx xxx，2222223(4)4(3)1640343434mkmmkkkk，2271640mmkk，解得1222 ,7kmk m，且满足22340km. 当2mk时，:(2)lyk x，直线过定点(2,0),与已知矛盾；当27km时，2:()7lyk x，直线过定点2(,0).7综上可知，直线l过定点，定点

3、坐标为2(,0).72、已知椭圆C 的离心率3e2，长轴的左右端点分别为1A2 , 0 ，2A2 , 0 。 （）求名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 11 页 - - - - - - - - - . . 椭圆 C 的方程；（）设直线xmy1与椭圆 C 交于 P、Q 两点，直线1A P与2A Q 交于点S。试问：当m 变化时，点S是否恒在一条定直线上？若是，请写出这条直线方程，并证明你的结论；若不是，请说明理由。解法一：（）设椭圆C 的方程为2222xy1 a

4、b0ab。1 分 a2 ，c3ea2， c3 ，222bac1。4 分椭圆 C 的方程为222xy14。 5 分（）取 m0,得33P 1,Q 1,22，直线1A P 的方程是33yx,63直线2A Q 的方程是3yx3,2交点为1S4,3 . 7 分, 若33P 1,Q 1,22，由对称性可知交点为2S4,3 .若点 S在同一条直线上，则直线只能为: x4。8 分以下证明对于任意的m,直线1A P 与直线2A Q 的交点 S均在直线: x4上。事实上，由22xy14xmy1得22my14y4, 即22m4 y2my30，记1122P x ,y,Q x ,y，则1212222m3yy, y y

5、m4m4。9 分设1A P 与交于点00S (4, y ), 由011yy,42x2得1016yy.x2设2A Q 与交于点00S (4, y), 由022yy,42x2得2022yy.x210 1200126y2yyyx2x21221126ymy12ymy3x2x21212124my y6 yyx2x2221212m12mm4m40 x2x2， 12 分00yy，即0S 与0S重合，这说明，当m 变化时，点 S恒在定直线: x4上。13 分解法二： （） 取 m0,得33P 1,Q 1,22，直线1A P 的方程是33yx,63直线2A Q名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - -

6、 - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 11 页 - - - - - - - - - . . 的方程是3yx3,2交点为1S 4,3 . 7 分取 m1,得8 3P,Q 0, 15 5，直线1A P 的方程是11yx,63直线2A Q 的方程是1yx1,2交点为2S4,1 . 若交点 S在同一条直线上，则直线只能为: x4。 8 分以下证明对于任意的m,直线1A P 与直线2A Q 的交点 S均在直线: x4上。事实上，由22xy14xmy1得22my14y4, 即22m4 y2my30， 记1122P x , y

7、,Qx , y ， 则1212222m3yy,y ym4m4。9 分1A P 的 方程 是11yyx2 ,x22A Q的 方 程 是22yyx2 ,x2消 去y ,得1212yyx2x2x2x2以下用分析法证明x4时，式恒成立。要证明式恒成立，只需证明12126y2y,x2x2即证12213ymy1ymy3,即证12122myy3yy. 1212226m6m2my y3 yy0,m4m4 式恒成立。这说明，当m 变化时，点S恒在定直线: x4上。解法三：（）由22xy14xmy1得22my14y4, 即22m4 y2my30。记1122P x ,y,Q x ,y，则1212222m3yy, y

8、 ym4m4。6 分1A P 的方程是11yyx2 ,x22A Q 的方程是22yyx2 ,x27 分由1122yyx2 ,x2yyx2 ,x2得1212yyx2x2 ,x2x29 分即21122112yx2yx2x2yx2yx221122112ymy3ymy12ymy3ymy11221212my y3yy23yy112211232m2m3yym4m424.2m3yym412 分这说明，当m 变化时，点S恒在定直线: x4上。13 分名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3

9、 页，共 11 页 - - - - - - - - - . . 3、已知椭圆E的中心在原点，焦点在x 轴上，椭圆上的点到焦点的距离的最小值为21，离心率为2e2（）求椭圆E的方程；（）过点1, 0 作直线交E于P、 Q 两点，试问：在x 轴上是否存在一个定点M，MP MQ 为定值？若存在，求出这个定点M的坐标；若不存在，请说明理由解： （I）设椭圆 E 的方程为2222xy1ab,由已知得：ac21c2a2。 。 。 。 。2 分a2c1222bac1椭圆 E 的方程为22xy12。 。 。 。3 分（）法一：假设存在符合条件的点M(m,0) ，又设1122P(x ,y ),Q(x,y ) ，

10、则：11221212MP(xm, y ),MQ(xm, y ),MPMQ(xm) (xm)y y2121212x xm(xx )my y 。 。 。 。 。 5 分当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为：yk(x1)，则由22xy12yk(x1)得222x2k (x1)202222(2k1)x4k x(2k2)0221212224k2k2xx, xx2k12k17 分222121212122ky yk (x1)(x1)k x x(xx )12k1所以22222222k24kkMP MQmm2k12k12k12222(2m4m1)k(m2)2k19 分对于任意的k值， MP MQ 为定值，所以2

11、22m4m12(m2) ，得5m4，所以57M(,0),MPMQ416；11 分当直线l的斜率不存在时，直线1212121l: x1,xx2,x x1,y y2由5m4得7MP MQ16综上述知，符合条件的点M存在，起坐标为5(,0)413 分法二：假设存在点M(m,0) ，又设1122P(x ,y ),Q(x ,y ), 则：1122MP(xm,y ),MQ(xm, y )1212MP MQ(xm) (xm)y y =2121212x xm(xx )my y . 5 分当直线l的斜率不为0 时，设直线l的方程为 xty1，由22xy12xty1得22(t2)y2ty101212222t1yy

12、,yyt2t27 分222212122121222t2tt22t2x x(ty1) (ty1)t y yt(yy )1t2t2221212222t2t44xxt(yy )2t2t2名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 11 页 - - - - - - - - - . . 222222t24m1MP MQmt2t2t22222(m2)t2m4m1t29 分设 MP MQ则2222(m2)t2m4m1t22222222(m2)t2m4m1(t2)(m2)t2m4m1

13、2022m202m4m1205m47165M(,0)411 分当直线l的斜率为 0 时，直线 l: y0，由5M(,0)4得：55257MP MQ(2) (2)2441616综上述知，符合条件的点M存在，其坐标为5(,0)4。 。 。 。13 分4、已知椭圆的焦点在x轴上，它的一个顶点恰好是抛物线24xy的焦点， 离心率25e，过椭圆的右焦点F作与坐标轴不垂直的直线l，交椭圆于A、B两点。（I）求椭圆的标准方程；（）设点(,0)M m是线段OF上的一个动点，且()MAMBAB，求m的取值范围；（）设点C是点A关于x轴的对称点， 在x轴上是否存在一个定点N，使得C、B、N三点共线？若存在，求出定

14、点N的坐标，若不存在，请说明理由。解法一：（ I）设椭圆方程为22221(0)xyabab，由题意知1b2222255abaa故椭圆方程为2215xy（）由（ I）得(2,0)F，所以02m，设l的方程为(2)yk x（0k）代入2215xy，得2222(51)202050kxk xk设1122(,),(,),A xyB xy则2212122220205,5151kkxxx xkk,12121212(4),()yyk xxyyk xx112212122121(,)(,)(2 ,),(,)MAMBxm yxm yxxm yyABxx yy12212112(),()0,(2 )()()()0MAM

15、BABMAMBABxxm xxyyyy2222220420,(85)05151kkmm kmkk由280,0855mkmm，当805m时，有()MAMBAB成立。（）在x轴上存在定点5(,0)2N，使得C、B、N三点共线。依题意知11(,)C xy，直线 BC 的方程为211121()yyyyxxxx， 令0y， 则121122112121()y xxy xy xxxyyyyl的方程为(2),yk xA、B在直线l上，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 11

16、页 - - - - - - - - - . . 1221121211221212(1)(1)22 ()(2),(2)()4()4k xxk xxkx xk xxyk xyk xxk xxkk xxk222222205202255151202451kkkkkkkkkk在x轴上存在定点5(,0)2N，使得C B N三点共线。解法二：（）由（ I）得(2,0)F，所以02m。设l的方程为(2) (0),yk xk代入2215xy，得2222(51)202050kxkk设1122(,),(,),A xyB xy则2212122220205,5151kkxxx xkk1212121224(4),()51

17、kyyk xxyyk xxk2211221212121222212(), | |,()(),(2 )()()()0,(1)()240,(85 )0MAMBABMAMBxmyxmyxxm xxyyyykxxmkm km2222888)0,05155(51kmkkkk805m当805m时，有()MAMBAB成立。（）在x轴上存在定点5(,0)2N，使得C、B、N三点共线。设存在( ,0),N t使得C、B、N三点共线，则/CBCN，122111(,) ,(,)C BxxyyC Ntxy，211112()()()0 xxytxyy即211112() (2)() (4)0 xx k xtx k xx1

18、2122(2)()40 x xtxxt2222205202(2)405151kkttkk，52t存在5(,0)2N，使得CBN三点共线。1点 A、B 分别是以双曲线162x1202y的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆C 长轴的左、右端点，点F是椭圆的右焦点，点P 在椭圆 C 上，且位于x 轴上方，0PFPA（1）求椭圆 C 的的方程；（2）求点 P 的坐标；（3）设 M 是椭圆长轴AB 上的一点，点M 到直线 AP 的距离等于 |MB|，求椭圆上的点到M 的距离 d 的最小值。2已 知 在 平 面 直 角 坐 标系x o y中 ， 向 量32),1 , 0(的面积为OFPj， 且3,3O FF P

19、tO MO Pj . 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 11 页 - - - - - - - - - . . （I）设44 3,tOFFP求向量与的夹角的取值范围；（ II ） 设 以 原 点O 为 中 心 ， 对 称 轴 在 坐 标 轴 上 ， 以F为 右 焦 点 的 椭 圆 经 过 点M， 且|,) 13(,|2OPctcOF当取最小值时，求椭圆的方程. 3设 A、B 是椭圆 3x2y2=上的两点 , 点 N(1,3) 是线段 AB 的中点 . (1)确

20、定 的取值范围 , 使直线 AB 存在 , 并求直线 AB 的方程 . (2)线段 AB 的垂直平分线与椭圆相交于C,D 两点 , 求线段 CD 的中点 M 的坐标(3)试判断是否存在这样的, 使得 A、B、C、D 四点在同一个圆上?并说明理由 .4设1122(,) ,(,)P xyQ xy是抛物线2:2(0)Cypxp上相异两点，且0OP OQ，直线PQ与x轴相交于E（）若,P Q到x轴的距离的积为4，求p的值；（）若p为已知常数，在x轴上，是否存在异于E的一点F，使得直线PF与抛物线的另一交点为R，而直线RQ与x轴相交于T，且有3TRTQ，若存在，求出F点的坐标（用p表示） ，若不存在，说

21、明理由5已知点 A、B的坐标分别是( 1,0)，(1,0).直线,AM BM相交于点M，且它们的斜率之积为2. ()求动点 M 的轨迹方程 ; ()若过点1(,1)2N的直线l交动点 M 的轨迹于 C、D 两点 , 且 N 为线段 CD 的中点，求直线l的方程 . 6 已知(0,2)M， 点A在x轴上，点B在y轴的正半轴， 点P在直线AB上，且满足，APPB，0MA AP. （）当点A在x轴上移动时，求动点P的轨迹C方程；（）过( 2,0)的直线l与轨迹C交于E、F两点，又过E、F作轨迹C的切线1l、2l，当12ll，求直线l的方程 . 7已知点 C 为圆8)1(22yx的圆心，点A（1，0）

22、 ，P 是圆上的动点，点Q 在圆的半径CP 上，且.2,0AMAPAPMQ（）当点P 在圆上运动时，求点Q 的轨迹方程；（）若直线12kkxy与（）中所求点Q 的轨迹交于不同两点F，H，O 是坐标原点，x y O P Q R E F T 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 11 页 - - - - - - - - - . . BANMF2F1yxo且4332OHOF，求 FOH 的面积8如图，在直角坐标系xOy中，已知椭圆)0(1:2222babyaxC的离心

23、率 e32，左右两个焦分别为21FF 、过右焦点2F且与x轴垂直的直线与椭圆C相交 M 、N 两点，且 |MN|=1() 求椭圆C的方程；() 设椭圆C的左顶点为A,下顶点为 B，动点 P满足4PA ABm， （mR）试求点 P 的轨迹方程，使点B 关于该轨迹的对称点落在椭圆C上.9已知椭圆E的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，且经过2,0A、2,0B、31,2C三点（）求椭圆E的方程；（）若直线l：1yk x（0k）与椭圆E交于M、N两点，证明直线AM与直线BN的交点在直线4x上10如图 ,过抛物线x2=4y 的对称轴上任一点P(0,m)(m0) 作直线与抛物线交于A、B 两点，点Q 是点 P

24、 关于原点的对称点。()设点 P 分有向线段AB所成的比为 ，证明);QBQA(QP()设直线 AB 的方程是 x2y+12=0, 过 A、B 两点的圆 C 与抛物线在点A 处有共同的切线， 求圆 C 的方程。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 11 页 - - - - - - - - - . . 11已知椭圆1C的方程为2214xy，双曲线2C的左、右焦点分别是1C的左、右顶点，而2C的左、右顶点分别是1C的左、右焦点。（1）求双曲线2C的方程；（2）若直线

25、:2l ykx与双曲线 C2恒有两个不同的交点A 和 B，且2OA OB（其中 O为原点） ，求k的范围。12如图 ,过抛物线24xy的对称轴上任一点(0,)(0)Pmm作直线与抛物线交于A、B 两点，点 Q 是点 P关于原点的对称点设点P满足APPB（为实数），证明：()QPQAQB；设直线AB 的方程是2120 xy，过 A、B 两点的圆 C 与抛物线在点A 处有共同的切线，求圆C 的方程13 一 束 光 线从 点)0,1(1F出 发 ， 经 直 线032:yxl上 一 点P反 射 后 ， 恰 好 穿过 点)0,1(2F（）求点1F关于直线l的对称点1F的坐标；（）求以1F、2F为焦点且过

26、点P的椭圆C的方程；（）设直线l与椭圆C的两条准线分别交于A、B两点，点Q为线段AB上的动点， 求点Q到2F的距离与到椭圆C右准线的距离之比的最小值，并求取得最小值时点Q的坐标14已知平面上一定点( 1,0)C和一定直线:4.lx为该平面上一动点，作,PQl垂足为Q，0)2()2(PCPQPCPQ. (1) 问点在什么曲线上？并求出该曲线方程；ABPOQxy名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 11 页 - - - - - - - - - . . (2)点是坐标

27、原点，AB、两点在点的轨迹上，若1OAOBOC（），求的取值范围15 如 图 ， 已 知E、 F 为 平 面 上 的 两 个 定 点6| EF，10| FG， 且EGEH2，HP0GE， （G 为动点， P 是 HP 和 GF 的交点）（1）建立适当的平面直角坐标系求出点P的轨迹方程；（2）若点P的轨迹上存在两个不同的点A、B，且线段AB的中垂线与EF（或EF的延长线）相交于一点C，则|OC59（O为EF的中点）16已知动圆过定点1,0，且与直线1x相切 . (1) 求动圆的圆心轨迹C的方程；(2) 是否存在直线l，使l过点（ 0，1） ，并与轨迹C交于,P Q两点，且满足0OP OQ？若存在

28、，求出直线l的方程；若不存在，说明理由.17已知)0, 1(),0,4(NM若动点 P 满足|6 NPMPMN（1）求动点 P 的轨迹方 C 的方程；（2）设 Q 是曲线 C 上任意一点，求Q 到直线0122:yxl的距离的最小值. 18已知抛物线x2=2py(p0) ，过动点 M(0,a) ，且斜率为 1 的直线 L 与该抛物线交于不同两点A、B，|AB|2p, （1）求 a 的取值范围；（2）若 p=2，a=3，求直线 L 与抛物线所围成的区域的面积；19如图，直角梯形ABCD 中，90DAB，AD BC，AB=2 ，AD=23，BC=21椭圆 F 以 A、B 为焦点且过点D，（）建立适当

29、的直角坐标系，求椭圆的方程；（）若点E满足ABEC21, 是否存在斜率与的直线lk0M、F交于椭圆N两点，且G F P H E C B D A 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 11 页 - - - - - - - - - . . |NEME，若存在，求K的取值范围；若不存在，说明理由。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 11 页 - - - - - - - - -