2022年高中数学导数知识点归纳总结及例题.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 导 数考试内容：导数的背影导数的概念多项式函数的导数利用导数讨论函数的单调性和极值函数的 最大值和最小值考试要求： （1）明白导数概念的某些实际背景（2）懂得导数的几何意 义（3）把握函数, y=cc 为常数 、y=xnn N+的导数公式, 会求多项式函数的导数（ 4）懂得极大值、微小值、最大值、最小值的概念,并会用导数求多项式函数的单调区间、极大值、微小值及闭区间上的最大值和最小值（和最小值5）会利用导数求某些简洁实际问题的最大值14. 导 数 学问要点导数的概念 导数的几何意义、 物理意义导导数的运算常见函数的导数数导数的运算法就函数的单调

2、性导数的应用 函数的极值函数的最值名师归纳总结 1. 导数（导函数的简称） 的定义： 设x 是函数yfx定义域的一点, 假如自变量x 在x 处第 1 页,共 11 页有 增 量x , 就 函 数 值y 也 引 起 相 应 的 增 量yfx0xfx0； 比 值yfx0xfx0称为函数yfx 在点x 到x0x之间的平均变化率；假如极限xxlim x0ylim x0fx0x fx0存在, 就称函数yfx在点x 处可导, 并把这个极限叫做xxyfx在x 处的导数, 记作f x0或y|xx 0,即f x 0=lim x0ylim x 0fx 0xfx 0. xx注：x 是增量,我们也称为“转变量 ”,由

3、于x 可正,可负,但不为零. 以知函数yfx定义域为 A ,yf x 的定义域为B ,就 A 与 B 关系为AB. 2. 函数yfx在点x 处连续与点x 处可导的关系：函数yf x 在点x 处连续是 0yfx在点x 处可导的必要不充分条件 0. 可以证明,假如yfx在点x 处可导,那么yfx点x 处连续 . 事实上,令xx 0x,就xx0相当于x0. 于是lim x x 0fxlim x0fx0xlim x 0fxx0fx0fx0- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - lim x 0fx0x fx 0xfx0lim x 0fx0x fx0lim x0lim

4、x0fx0fx00fx 0fx0.xx假如 y f x 点 x 处连续,那么 y f x 在点 x 处可导,是不成立的 . 例：f x | x | 在点 x 0 0 处连续,但在点 x 0 0 处不行导,由于 y | x |,当 x0 时,x xy1；当 x 0 时,y 1,故 lim y不存在 . x x x 0 x注：可导的奇函数函数其导函数为偶函数 .可导的偶函数函数其导函数为奇函数 . 3. 导数的几何意义：函数 y f x 在点 x 处的导数的几何意义就是曲线 y f x 在点 x 0 , f x 处的切线的斜率,也 就 是 说 , 曲 线 y f x 在 点 P x 0 , f x

5、 处 的 切 线 的 斜 率 是 f x 0 , 切 线 方 程 为y y 0 f x x x 0 .4. 求导数的四就运算法就： u v u v y f 1 x f 2 x . f n x y f 1 x f 2 x . f n x uv vu v u cv c v cv cv（ c 为常数） u vu v uv v 2 v 0 注： u, v 必需是可导函数 . 如两个函数可导,就它们和、 差、积、商必可导； 如两个函数均不行导,就它们的和、 差、积、商不肯定不行导 . 例如：设 f x 2 sin x 2,g x cos x 2,就 f x , g x 在 x 0 处均不行导,但它们和x

6、 xf x g x sin x cos x 在 x 0 处均可导 . 5. 复合函数的求导法就：f x x f u x 或 y x y u u x复合函数的求导法就可推广到多个中间变量的情形 . 6. 函数单调性：函数单调性的判定方法：设函数yfx在某个区间内可导, 假如f x0,就yfx为增函数；假如f x0,就yfx为减函数 . 常数的判定方法；假如函数y0fx在区间 I 内恒有f x =0,就yf x 为常数 . y2 x3在,上并不是注：fx0是 f（x）递增的充分条件,但不是必要条件,如都有fx ,有一个点例外即x=0 时 f（x） = 0,同样fx0是 f（x）递减的充分非必要条件

7、 . 名师归纳总结 一般地, 假如 f（x）在某区间内有限个点处为零,在其余各点均为正（或负）,那么f（ x）第 2 页,共 11 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 在该区间上仍然是单调增加（或单调削减）的 . 7. 极值的判别方法： （极值是在x 邻近全部的点, 都有fxfx0,就fx0是函数f x 的极大值,微小值同理）当函数fx在点x 处连续时,. 此外,函数不假如在x 邻近的左侧f x 0,右侧f x 0,那么fx0是极大值；假如在x 邻近的左侧f x 0,右侧f x 0,那么fx0是微小值 . 也就是说x 是极值点的充分条件是x 点两侧导数

8、异号,而不是f x =0可导的点也可能是函数的极值点 .当然,极值是一个局部概念,极值点的大小关系是不确定的,即有可能极大值比微小值小（函数在某一点邻近的点不同）. 注：如点 x 是可导函数 f x 的极值点,就 f x =0. 但反过来不肯定成立 . 对于可导函数,其一点 x 是极值点的必要条件是如函数在该点可导,就导数值为零 0 . 例如：函数 y f x x 3,x 0 使 f x =0,但 x 0 不是极值点 . 例如：函数 y f x | x |,在点 x 0 处不行导,但点 x 0 是函数的微小值点 . 8. 极值与最值的区分：极值是在局部对函数值进行比较,最值是在整体区间上对函数

9、值进行比较 .注：函数的极值点肯定有意义 . 9. 几种常见的函数导数：I.C0（ C 为常数）R）sinxcosxxarcsinxx 1x2x21xnnxn1（ncosxsinarccos11II. lnx 1logax a1logaearctanxx 111x2xx axarccotexexxlna1x2III. 求导的常见方法：常用结论：ln|x|1.形如yx. a1xa2.xan或yxa1xa2.xan两xxb1xb2.xb n边同取自然对数,可转化求代数和形式无理函数或形如yxx这类函数,如yxx取自然对数之后可变形为lnyxlnx,对两边求导可得ylnxx1yylnxyyxxlnx

10、xx. yx导数中的切线问题名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 例题 1：已知切点,求曲线的切线方程曲线y3 x3x21在点 1,1处的切线方程为（）例题 2：已知斜率,求曲线的切线方程与直线 2xy40的平行的抛物线y2 x 的切线方程是（）y2xb ,留意：此题所给的曲线是抛物线,故也可利用法加以解决, 即设切线方程为代入y2 x ,得x22xb0,又由于0 ,得b1,应选例题 3：已知过曲线上一点,求切线方程过曲线上一点的切线,该点未必是切点,故应先设切点,再求切点,即用待定切点法求过曲线yx32x 上的点 1

11、,1的切线方程例题 4：已知过曲线外一点,求切线方程求过点 2 0, 且与曲线y1相切的直线方程作曲线yf x 的切线,求此切线方程x练习题：已知函数yx33x ,过点A0 16名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 看看几个高考题1.（2022 全国卷）曲线y2x1在点 1,1 处的切线方程为x22.（2022 江西卷）设函数 f x g x x ,曲线 y g x 在点 1, 1 处的切线方程为y 2 x 1,就曲线 y f x 在点 1, 1 处切线的斜率为x3.（2022 宁夏海南卷） 曲线 y xe 2 x 1

12、 在点（0,1）处的切线方程为；4.（2022 浙江）（此题满分 15 分）已知函数 f x x 3 1 a x 2 a a 2 x b , a b R （I）如函数 f x 的图象过原点,且在原点处的切线斜率是 3 ,求 a b 的值；5.（2022 北京）（本小题共 14 分）设函数 f x x 33 ax b a 0 . （）如曲线 y f x 在点 2, f x 处与直线 y 8 相切,求 a b 的值；.1 函数的单调性和导数1利用导数的符号来判定函数单调性: ；一般地,设函数yf x 在某个区间可导,假如在这个区间内f 0,就yf x 为这个区间内的假如在这个区间内f 0,就yf

13、x 为这个区间内的2利用导数确定函数的单调性的步骤：1 确定函数 fx的定义域；2 求出函数的导数；3 解不等式 f x0,得函数的单调递增区间；解不等式 f x0,得函数的单调递减区间【例题讲解】名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - a求证：yx31在 ,0 上是增函数；b确定函数 fx=2x36x2+7 在哪个区间内是增函数,哪个区间内是减函数. 【课堂练习】1确定以下函数的单调区间）1y=x39x2+24x2y=3xx3已知函数fx xlnx,就（A在0,1上递增B在0,上递减C在D在0 ,1上递减0 ,上递增e

14、e函数fx x33 x25的单调递增区间是_函数图象及其导函数图象名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 1.函数yf x 在定义域3,3内可导,其图象如22.图,记yf x 的导函数为yf/ x ,就不等yfx式f/ 0的解集为 _ 函数fx 的定义域为开区间3,3,导函数2fx 在3,3内的图象如下列图,就函数fx2的单调增区间是_ y3.如图为函数f x 3 ax2 bxcxd 的图象,f x 为函数xf x 的导函数,就不等式x f 0的解集为 _ _ -3o34.如函数f x x2bxc的图象的顶点在第四象限,

15、就其导函数f x 的图象是（）5.函数yf x 的图象过原点且它的导函数f 的图象是如下列图的一条直线,就yf x 图象的顶点在（）第四象限yf x第三象限 DA第一象限 B其次象限 Cy 名师归纳总结 6.2007 年广东佛山 设fx 是函数fx的导函数 ,yfx的图x 第 7 页,共 11 页7.y 象如右图所示,就yy fx 的图象最有可能的是（y ）y O 1 2 O 1 2 x O 1 2 x O 1 2 x O 1 2 x A B C D 设函数 fx在定义域内可导,y=f x的图象如下左图所示,就导函数y=fx的图象可能为 - - - - - - -精选学习资料 - - - -

16、- - - - - 8.（安微省合肥市2022 年高三其次次教学质量检测文科）函数yf x 的图像如下右图9.所示,就yf x 的图像可能是 已（y ）2022 年 3 月广东省深圳市高三年级第一次调研考试文科10.知函数 f x 的导函数f ax2bxc的图象如右图,就o x f x 的图象可能是 （2022 年浙江省宁波市高三“ 十校” 联考文科）如右图所示是某一h容 器的三视图, 现向容器中匀速注水,容器中水面的高度h 随时间 t正 视图侧 视图变化的可能图象是（）hhh俯 视图名师归纳总结 11.OtOtOxtOtfx的图第 8 页,共 11 页A B C f D , 就其导函数202

17、2 广州二模文、理已知二次函数的图象如图1 所示象大致外形是（）- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 12.（2022 湖南卷文）如函数yf x 的导函数在区间 , a b 上是增函数,就函数yf x 在区间 , a b 上的图象可能是y y y y o a A b x o a Bb x o a Cb x o a Db x 13. （福建卷 11）假如函数 y f x 的图象如右图,那么导函数 y f x 的图象可能是 14.（ 2022 年 福 建 卷 12 已 知 函 数 y=fx,y=gx 的 导 函 数 的 图 象 如 下 图 , 那 么15.y=

18、fx,y=gx的图象可能是 x是函数f x 的导函数,将yf x （y）的图2022 珠海一模文、理设f和f x名师归纳总结 像画在同一个直角坐标系中,不行能正确选项（）第 9 页,共 11 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - ABCD16. 湖南省株洲市2022 届高三其次次质检 已知函数x 3y x 4 xx yfx的导函数yf x 的图像如下, 就（）函数fx有 1 个极大值点, 1 个微小值点函数fx 有 2 个极大值点, 2 个微小值点O函数fx 有 3 个极大值点, 1 个微小值点函数fx有 1 个极大值点, 3 个微小值点1x2x17.2

19、022 珠海质检理 函数fx的定义域为D a,b,其导函数fx 在a ,b内的图象如下列图,就函数fx在区间a ,b内微小值点的个数是（）yA. 1 B. 2 C. 3 D. 4 18.【湛江市 文】 函数fxlnx1x2的图象大致是2yyyOxOxOxOA B C 19.【珠海文】如图是二次函数fx x2bxa的部分图象,就函数gxlnxfx 的零点所在的区间是（）A.1,1B.11, 20.422yC.1 2,D.,23 定义在 R 上的函数f x 满意f41fx为fx的导函名师归纳总结 数,已知函数1yfbx的图象如右图所示.如两正数a,b满意Ox第 10 页,共 11 页f2ab（2 2的取值范畴是,就）a- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 21.A1 3,1 2B,13,C1 2, 3 D ,32已知函数f x ax 3bx 2cx在点x 处取得极大值 05 ,其导函数yf x 的图象经过点1,0 , 2,0 ,如图所示. 求：名师归纳总结 （）0x 的值；第 11 页,共 11 页（）a b c 的值 . - - - - - - -