2022年高中数学开放题赏析.docx
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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 高中数学开放题赏析数学开放性问题是近年来高考命题的一个新方向, 其解法敏捷且具有肯定的探干脆,这类题型按解题目标的操作模式分为: 规律探究型 , 问题探究型 , 数学建模型 , 操作设计型 ,情形讨论型 . 假如未知的是解题假设 , 那么就称为条件开放题 ; 假如未知的是解题目标 , 那么就称为结论开放题 ; 假如未知的是解题推理 , 那么就称为策略开放题 . 当然 , 作为数学高考题中的开放题其“ 开放度” 是较弱的 , 如何解答这类问题 , 仍是通过如干范例加以讲解 . 题目 1:假如一个四周体的三个面是直角三角形,那么,第四个面可能是:直
2、角三角形;锐角三角形;钝角三角形;等腰三角形;等腰直角三角形;等边三角形;请说出你认为正确的那些序号;解 分三种情形第一种情形 从同一顶点动身的三个面都是直角三角形,且都以该顶点为直角顶点,如图 1;设 AD 、BD 、CD 的长分别是a、b、c,b2c2,c2a2ADB= ADC= BDC=900,AB ,BC, AC 的长分别为a2b 2在 ABC 中,由余弦定理2 2 2AB AC BC Acos BAC=2 AB ACa2 2 2 2 2 2a b a c b c =2 AB AC b c= a 20 B.1 CAB ACBAC 是锐角,同理ABC 、 ACB 也是锐角 ABC 是锐角
3、三形;正确;当 a=b=c 时 ABC 是等边三角形,正确;其次种情形 如图 2, ADB= ADC= DBC=90 0AAD BD,AD DC ,AD 面 DBC aBD 是 AB 在平面 DBC 上的射影;由三垂线定理知,BCAB b D c 第四个面ABC 是直角三角形;正确;AB C0 .2第三种情形 如图 3, ADC= BDC= ACB=90aD名师归纳总结 Bb .3cC 第 1 页,共 16 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 设 AD 、BD 、CD 的长分别为 a、b、c,就 AC2=a2+c2, BC2=b2+c2,2AB2=AC
4、2+BC2=a2+b2+2c在 ABD 中,由余弦定理得cos ADB=AD2BD2AB2a2b2a2b22c2c20 2ADBD2ababADB 900, ABD 是钝角三角形,正确;ABC 可以是等腰直角三角形,明显在其次种情形下,AB 和 BC 可以相等, 所以三角形正确,从而也正确;故答案是;注 此题是一道高考模拟试题,是一道考查同学空间想象才能、探究才能的好试题;其中第三种情形简单被忽视,标准答案中也没有“ 钝角三角形”;(注 第三种情形的存在性可以这样来验证:先作三角形 ABD ,使 ADB 是钝角,然后过 D 作直线 DC 垂直于面 ABD ;以 AB 为直径作一球,就 D 必在
5、球的内部,设 C 是直线 DC 与球面的一个交点,就ACB 是直角,图 3 的四周体存在) ;题目 2:设a n是由正数组成的等比数列,(I)证明:lgS nlgSn2lgSn+1 ;2Sn是其前 n 项和;(II )假设存在常数C0,使得lgSnclgSn2clgS n1c成立?并证2明你的结论; (1995 年全国高考题)解:(I)证明略得出 Sn2 Sn+2Sn+1;lgS n2clgS n1c 就有(II )假设存在常数c0,使得lgS nc2Snc0 Sn+1c0 Sn+2c0 SncSn+2c=Sn+1c2 由得 SnSn+2Sn+1 2= c Sn+Sn+22Sn+1 由重要不等
6、式及知 Sn+Sn+2 2Sn+1=(Snc) +(Sn+2c) 2(Sn+1c)2S nc S n2c 2 S n1c 0由于 c0,故式右端非负,即名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 16 页精选学习资料 - - - - - - - - - SnSn+2Sn+1 20;而由( I)的证明可知SnSn+2Sn+1 20,产生了冲突;故不存在常数,c 0,使 lg S n c lg S n 2 c lg S n 1 c 2评析 这是一个台阶试题,在求解第(II )小题时,必定要用到第(I)题结论,也就是说第( I)题经过证明之后的结论将在解答第(II )小题时作为条件使用,
7、而第(II )小题中到底中是否存在常数 c0?最终要看假设存在之后,是否与第(I)小题冲突;题目3;设等比数列 a n 的公比为 q ,前 n 项和为 S ,是否存在常数 c ,使数列 Sn c也成等比数列?如存在,求出常数c ;如不存在,请 说 明 理 由. 名师归纳总结 但讲解存在型开放题的求解一般是从假设存在入手, 逐步深化解题进程的. 第 3 页,共 16 页设存在常数 c , 使数列Snc成等比数列 . S nc S n2c S n1c 2S nS n22 Sn1c 2 S n1S nS n2i 当q1时,Snna 1代入上式得a 12n n2 a 12n12ca 1 a n1nn2
8、 即a 12=0 a 10, 于是不存在常数c ,使Snc成等比数列 . ii 当q1时,S na 1qn, 代 入 上 式 得1qa 12qn1q2ca 1qn 1q2,ca 11. 1q2 1qq- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 综 上 可 知 , 存 在 常 数ca11,使Snc成等比数列 . q等比数列n 项求和公式中公比的分类, 极易遗忘公比q1的 情 形, 可 不 要 忽 视 啊 . 条件探干脆开放型问题是指命题中结论明确而需要完备使结论成立的充分条件的题目;这类问题大致可分为:其一是条件未知,需要探注;其二是条件不足,要求寻求充分条件;解
9、答这类问题,一般从结论动身,设想出合乎要求的一些条件,逐一列出,逐一推导,从中找出满意结论的条件;题目 4:某挑选题已知条件缺漏,原题为:已知 、 均为锐角,且 sin sin=1 ,2_,就 tg( )的值为()7 3 7 3A 、B、C、D、3 7 3 7其中 为缺少部分,试依据所附答案为(C),推断并补足所缺的条件;分析:依据所附答案知 tg( )=7 ,3解得 tg 7,或 tg 1,2 2 7由已知 sin sin 12即 2 cos sin 1,2 2 2如 tg 7,2就得 2 cos cos 1,2 2 2 7即 cos +cos =1,2 7此与 、 均为锐角冲突;名师归纳总
10、结 - - - - - - -第 4 页,共 16 页精选学习资料 - - - - - - - - - 如tg21,77就得 2 cos cos2 2 2即 cos +cos = 7 ,2这一结果与另一已知条件 sin sin =1 在形式上了比较接近;2故所缺失的条件可能为 cos +cos = 7 ;2评析 此类题可仿照分析法的解题方法,将结果加入条件, 逆推导出需要寻求的条件,但一般情形下答案不惟一;方法探干脆开放型问题这是一类条件、结论都不明确的问题,使得解题方法是开放的,需要探究出合适的解题方法,又需要进行严格的推理论证;题目 5:已知 f( )=sin2 +sin2( + )+si
11、n2( + ),其中 、 适合 0 的常数,试问 、 取何值时, f( )的值恒为定值; (日本御茶水女子高校入学试题)分析一:要使f( )的值不随 的变化而变化,即函数f( )为常值函数,就可赋予特别的自变量值探求;名师归纳总结 解一:令 =0,6 2f(0)=sin 2 +sin得 22 c o s22 c o s6f (0) +f2=2m,解f612 s i n64f212 c o s依题意可设f( 0)=f6=f=m,(m 为常数),就由得 m=3 ;2第 5 页,共 16 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 再代入 f(0)=f6=f2=32
12、解得3,2 3;分析二要使f( )的值不随 变化而变化,可以通过分别主变量的方法,视主变量的系数为零,这样就可以把问题转化;解二:f31cos22cos2cos2cos22=31cos22cos2coscos2sinsin22=3112coscoscos2sincossin222f( )恒为定值,即f( )的值与 无关;1+2cos( + )cos( )=0 sin( + )cos( )=0 sin( + )=0 考虑到 0 ,有 0 + 2 , + = =3cos( )=12 0,、联立可得:3,2 3;题目 6 某机床厂今年年初用98 万元购进一台数控机床,并立刻投入生产使用,方案第一年修
13、理、保养费用 12 万元,从其次年开头,每年所需修理、保养费用比上一年 增加 4 万元,该机床使用后,每年的总收入为 50 万元,设使用 x 年后数控机床的盈利额 为 y 万元 . (1)写出 y 与 x 之间的函数关系式;名师归纳总结 (2)从第几年开头,该机床开头盈利(盈利额为正值);第 6 页,共 16 页 3 使用如干年后,对机床的处理方案有两种: i 当年平均盈利额达到最大值时,以30 万元价格处理该机床; ii 当盈利额达到最大值时,以12 万元价格处理该机床,问用哪种方案处理较为合算?请说明你的理由. 讲解本例兼顾应用性和开放性, 是实际工作中常常遇到的问题. - - - - -
14、 - -精选学习资料 - - - - - - - - - ( 1)y50x 12xxx1 4 982得 =2x240x98. )40229812( 2)解不等式2x240x980, 1051x1051. xN,3 x 17. 故从第 3 年工厂开头盈利. (3)i y2x4098402x98xxx当且仅当2x98时,即 x=7 时,等号成立 . 12 7+30=114 万元 . x到 2022 年,年平均盈利额达到最大值,工厂共获利ii y=-2x2+40x-98= -2(x-10 )2 +102 ,当 x=10 时, ymax=102. 故到 2022 年,盈利额达到最大值,工厂共获利102
15、+12=114 万元 .名师归纳总结 解答函数型最优化实际应用题,二、三元均值不等式是常用的工具. m 成 25题目 7 已知函数 f x=x14 x-2 21 求 f x 的反函数 f-1 x; 2 设 a1=1,a11=- f-1 an nN, 求 an; n3 设 Sn=a1 2+a2 2+ +an2, bn=Sn+1- Sn是否存在最小正整数m, 使得对任意nN, 有 bn立?如存在,求出m的值;如不存在说明理由. 讲解本例是函数与数列综合的存在性问题, 具有肯定的典型性和探干脆. 1 y=x14, 2x0. 2 x- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - -
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- 2022 年高 数学 开放 赏析
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