2022年高中数学必修平面向量测试试卷典型例题.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 高中数学平面对量组卷一挑选题共 18 小题1已知向量与的夹角为 ,定义为与的“向量积 ”,且是一个向量,它的长度| |=| |sin,假设=2,0,= 1,就 |+|=D2A4BC62已知,为单位向量,其夹角为60,就 2 .=A 1 B0C1D23已知向量=1,=3,m,假设向量,的夹角为,就实数m=A2BC0D4向量,且,就=ABCD5如图,在 ABC 中, BD=2DC 假设,就=ABCD6假设向量=2cos, 1,=,tan,且,就 sin=D,就ABC7已知点 A3,0,B0,3,Ccos,sin,O0,0,假设D的夹角为ABC8设向

2、量=,=不共线,且 |+|=1, | |=3,就 OAB 的外形是A等 边三角形B直角三角形C锐 角三角形D钝角三角形9已知点 G 是 ABC 的重心,假设A=,.=3,就 |的最小值为ABCD21 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 19 页精选学习资料 - - - - - - - - - 10如图,各棱长都为2 的四周体 ABCD 中,=,=2,就向量.=ABCD11已知函数fx=sin2x+的部分图象如下图,点B,C 是该图象与x 轴的交点,过点C 的直线与该图象交于 D,E 两点,就.的值为C1D2AB12已知 P 为三角形 ABC 内部任一点不包括边界,且满意 .

3、+ 2 =0,就 ABC 的外形一定为A等 边三角形 B直角三角形 C钝 三角形 D等腰三角形13如下图,设 P 为 ABC 所在平面内的一点,并且 = +,就 ABP 与 ABC 的面积之比等于ABCD14在 ABC 中, |AB|=3,|AC|=2 ,=,就直线 AD 通过 ABC 的A垂 心 B外心 C重 心 D内心15在 ABC 中, BAC=60 ,AB=2 ,AC=1 ,E,F 为边 BC 的三等分点,就 =ABCD2 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 19 页精选学习资料 - - - - - - - - - 16已知空间向量满意,且的夹角为,O 为空间直角坐

4、标系的原点,点A、B 满意,就 OAB 的面积为ABCD17已知点 P 为 ABC 内一点,且 + +3 =,就 APB , APC, BPC 的面积之比等于A9：4：1 B1：4：9 C3：2：1 D1：2：3 18在直角三角形 ABC 中,点 D 是斜边 AB 的中点,点 P 为线段 CD 的中点,就 =A2 B4 C5 D10 二解答题共 6 小题19如图示,在 ABC 中,假设 A,B 两点坐标分别为1求 AOB 的余弦值；2求点 C 的坐标2,0, 3,4点 C 在 AB 上,且 OC 平分 BOA 20已知向量=cos,sin和,且 | |=,求的值1假设,求角 的集合；2假设3

5、名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 19 页精选学习资料 - - - - - - - - - 21如下图,假设D 是 ABC 内的一点,且AB2 AC 2=DB2 DC 2求证： AD BC22已知向量,其中 A、B 是 ABC的内角,1求 tanA.tanB 的值；2假设 a、b、c 分别是角 A、B、C 的对边,当C 最大时,求的值23已知向量且,函数 fx=2I求函数fx的最小正周期及单调递增区间；,函数 fx=II 假设,分别求 tanx 及的值24已知1求函数 f x的最小正周期；2求函数 f x的单调减区间；3当时,求函数fx的值域4 名师归纳总结 - - -

6、- - - -第 4 页,共 19 页精选学习资料 - - - - - - - - - 一挑选题共18 小题1已知向量与的夹角为 ,定义为与的“向量积 ”,且是一个向量,它的长度| |=| |sin,假设=2,0,= 1,就 |+|=D2A4BC6考点：平面对量数量积的运算专题：平面对量及应用=再利用平方关系可得分析：利用数量积运算和向量的夹角公式可得,利用新定义即可得出解答：解：由题意,就,=6,= =2,=2= = =即,得,由定义知,应选： D点评：此题考查了数量积运算、向量的夹角公式、三角函数的平方关系、新定义,考查了运算才能,属于基础题2已知,为单位向量,其夹角为 60,就 2 .

7、=A 1 B0C1D2考点：平面对量数量积的运算专题：平面对量及应用. 的值分析：由条件利用两个向量的数量积的定义,求得、的值,可得 2解答：解：由题意可得,=11cos60=,=1,2 .=2=0,应选： B点评：此题主要考查两个向量的数量积的定义,属于基础题5 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 19 页精选学习资料 - - - - - - - - - 3已知向量=1,=3,m,假设向量,的夹角为,就实数m=A2BC0D考点：数量积表示两个向量的夹角专题：平面对量及应用分析：由条件利用两个向量的夹角公式、两个向量的数量积公式,求得m 的值解答：解：由题意可得cos=,解

8、得m=,应选： B点评：此题主要考查两个向量的夹角公式、两个向量的数量积公式的应用,属于基础题4向量,且,就=ABCD考点：平行向量与共线向量；同角三角函数间的基本关系；诱导公式的作用专题：运算题；三角函数的求值 的等式,利用同角三角函数的基本关系与诱导公式,化简即可得到分析：依据向量平行的条件建立关于的值解答：解： ,且, ,点评：即,得 sin=,由此可得= sin=应选： B 此题给出向量含有三角函数的坐标式,在向量相互平行的情形下求的值 着重考查了同角三角函数的基本关系、诱导公式和向量平行的条件等学问,属于基础题5如图,在 ABC 中, BD=2DC 假设,就=ABCD6 名师归纳总结

9、 - - - - - - -第 6 页,共 19 页精选学习资料 - - - - - - - - - 考点：向量的加法及其几何意义专题：平面对量及应用分析：由题意可得 =,而,代入化简可得答案解答：解：由题意可得 = = = = = 应选 C 点评：此题考查平面对量的加法及其几何意义,涉及向量的数乘,属基础题6假设向量 =2cos, 1,=,tan,且,就 sin=ABCD考点：平面对量共线平行的坐标表示专题：平面对量及应用分析：直接由向量共线的坐标表示列式运算解答：解： 向量 =2cos, 1,=, tan,且,就 2cos .tan 1=0,即 2sin=应选： B点评：共线问题是一个重要

10、的学问点,在高考题中经常显现,常与向量的模、向量的坐标表示等联系在一起,要特别留意垂直与平行的区分假设 =a1,a2,= b1,b2,就. a1a2+b1b2=0, . a1b2 a2b1=0是基础题7已知点 A3,0,B0,3,Ccos,sin,O0,0,假设,就的夹角为CDAB考点：平面对量数量积的坐标表示、模、夹角专题：运算题的坐标, 再由它的模求出角,进而求出点C 的坐标, 利用数量积的坐标表示求出和分析：依据题意求出夹角的余弦值,再求出夹角的度数解答：解： A 3, 0,Ccos,sin,O0,0,= 3+cos,sin,7 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 1

11、9 页精选学习资料 - - - - - - - - - ,3+cos2+sin2=13,解得, cos=,就 =,即 C,和夹角的余弦值是=,和 的夹角是应选： D点评：此题考查向量线性运算的坐标运算,以及数量积坐标表示的应用,利用向量坐标形式进行运算求出对应向量的模,以及它们的夹角的余弦值,进而结合夹角的范畴求出夹角的大小8设向量 =,= 不共线,且 | + |=1, | |=3,就 OAB 的外形是A等 边三角形 B直角三角形 C锐 角三角形 D钝角三角形考点：平面对量数量积的运算专题：运算题；平面对量及应用分析：对 | + |=1,|=3 分别平方并作差可得,由其符号可判定AOB 为钝角

12、,得到答案解答：解：由 | + |=1,得 =1,即 ,由 | |=3,得,即 , 得, 4 = 8,解得0,AOB 为钝角, OAB 为钝角三角形,应选：D点评：此题考查平面对量数量积运算,属基础题9已知点 G 是 ABC 的重心,假设 A=,. =3,就 | |的最小值为ABCD2考点：平面对量数量积的运算专题：不等式的解法及应用；平面对量及应用分析：由 A=,. =3,可求得 =6,由点 G 是 ABC 的重心,得=,利用不等式就 | |2= =+6,代入数值可得解答：解： A=,. =3,=3,即 =6, 点 G 是 ABC 的重心, =, | |2= =+6= =2, | |,当且仅

13、当 = 时取等号, | |的最小值为,应选 B点评：此题考查平面对量数量积的运算、不等式求最值,留意不等式求最值时适用的条件10如图,各棱长都为 2 的四周体 ABCD 中,=,=2,就向量 . =8 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 19 页精选学习资料 - - - - - - - - - ABCD考点：平面对量数量积的运算专题：平面对量及应用分析：由向量的运算可得 =,=,由数量积的定义可得解答：解： =,=2,=,=,= = = = =,. =.= = 应选： B 点评：此题考查向量数量积的运算,用已知向量表示未知向量是解决问题的关键,属中档题11已知函数 fx=s

14、in2x+的部分图象如下图,点 B,C 是该图象与 x 轴的交点,过点 C 的直线与该图象交于 D,E 两点,就. 的值为ABC1 D2考点：平面对量数量积的运算；正弦函数的图象；正弦函数的定义域和值域专题：平面对量及应用分析：依据三角函数的图象和性质,求出函数的周期,利用向量的基本运算和向量的数量积定义即可得到结论解答：解： 函数 fx=sin2x+的周期 T=,就 BC=,就 C 点是一个对称中心,就依据向量的平行四边形法就可知：=2 . = =2=点评：此题主要考查向量的数量积运算,利用三角函数的图象和性质是解决此题的关键12已知 P 为三角形 ABC 内部任一点不包括边界,且满意 .+

15、 2 =0,就 ABC 的外形一定为9 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 19 页精选学习资料 - - - - - - - - - A等 边三角形B直角三角形C钝 三角形D等腰三角形考点：平面对量数量积的运算专题：平面对量及应用=0分析：利用向量的三角形法就和平行四边形法就、向量垂直于数量积的关系即可得出解答：解： ,=, .+ 2=0, 点评：而肯定经过边AB 的中点, 垂直平分边AB ,即 ABC 的外形肯定为等腰三角形此题考查了向量的三角形法就和平行四边形法就、向量垂直于数量积的关系、等腰三角形的定义,考查了推理才能,属于难题13如下图,设P 为 ABC 所在平面内

16、的一点,并且=+,就 ABP 与 ABC 的面积之比等于ABCD考点：向量在几何中的应用专题：运算题；压轴题及三角形面积的性质, 由 ABP 与 ABC 为同底不等高的三角形,分析：此题考查的学问点是向量在几何中的应用,故高之比即为两个三角面积之间,连接CP 并延长后,我们易得到CP 与 CD 长度的关系,进行得到 ABP的面积与 ABC 面积之比解答：解：连接 CP 并延长交 AB 于 D,P、C、D 三点共线, =+,且 +=1 同等点评：设=k,结合=+,得=+由平面对量基本定懂得之,得=,k=3 且 =, =+,可得=, ABP 的面积与 ABC 有相同的底边AB 高的比等于 |与|之

17、比 ABP 的面积与 ABC 面积之比为,应选： C 三角形面积性质：同等 底同等高的三角形面积相等；同等 底三角形面积这比等于高之比；高三角形面积之比等于底之比14在 ABC 中, |AB|=3,|AC|=2 ,=,就直线 AD 通过 ABC 的A垂 心B外心C重 心D内心10 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 19 页精选学习资料 - - - - - - - - - 考点：向量在几何中的应用专题：综合题；平面对量及应用,设=,=,由向量加法的平行分析：第一依据已知条件可知|=|=,又由于=解答：四边形法就可知四边形AEDF 为菱形,从而可确定直线AD 通过 ABC

18、的内心解： |AB|=3,|AC|=2 |=|=+设=,=, 就|=|,=由向量加法的平行四边形法就可知,四边形AEDF 为菱形 AD 为菱形的对角线, AD 平分 EAF直线 AD 通过 ABC 的内心应选：D=点评：此题考查向量加法的平行四边形法就及其几何意义,属于中档题15在 ABC 中, BAC=60 ,AB=2 ,AC=1 ,E,F 为边 BC 的三等分点,就ABCD考点：向量在几何中的应用；平面对量数量积的运算专题：运算题,向量的坐标,代入向量数量积的运算公式,即分析：先判定三角形外形,然后建立直角坐标系,分别求出可求出答案解答：解： 在 ABC 中, BAC=60 ,AB=2 ,

19、AC=1 ,依据余弦定理可知BC=由 AB=2 ,AC=1 ,BC=满意勾股定理可知BCA=90 以 C 为坐标原点, CA、CB 方向为 x,y 轴正方向建立坐标系 AC=1 ,BC=,就 C0, 0,A1,0,B0,又 E, F 分别是 Rt ABC 中 BC 上的两个三等分点,就 E0,F 0,就 = 1,= 1,=1+ = 应选 A点评：此题考查的学问点是平面对量数量积的运算,其中建立坐标系,将向量数量积的运算坐标化可以简化此题的解答过程16已知空间向量满意,且的夹角为,O 为空间直角坐标系的原点,点A、B 满意A,就 OAB 的面积为CDB11 名师归纳总结 - - - - - -

20、-第 11 页,共 19 页精选学习资料 - - - - - - - - - 考点：平面对量数量积的运算；三角形的面积公式专题：平面对量及应用分析：由向量的运算可得,以及,代入夹角公式可得 cosBOA ,由平方关系可得 sinBOA ,代入三角形的面积公式 S=,运算可得解答：解：由题意可得 = = = =,同理可得 = = = =,而 = .= =612 12=,故 cos BOA= = =,可得 sinBOA= =,所以 OAB 的面积 S= = =应选 B 点评：此题考查平面对量的数量积和三角形面积的求解,娴熟把握公式是解决问题的关键,属中档题17已知点 P 为 ABC 内一点,且 +

21、 +3 =,就 APB , APC, BPC 的面积之比等于A9：4：1 B1：4：9 C3：2：1 D1： 2：3 考点：向量在几何中的应用专题：运算题；压轴题分析：先将已知向量式化为两个向量共线的形式,再利用平行四边形法就及向量数乘运算的几何意义,三角形面积公式确定面积之比解答：解： +3=, +=+,如图：=2 , F、P、G 三点共线,且PF=2PG, GF 为三角形 ABC 的中位线 而 S APB=S ABC APB , APC, BPC 的面积之比等于3：2：1 应选 C 12 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 19 页精选学习资料 - - - - - -

22、 - - - 点评：此题考查了向量式的化简,向量加法的平行四边形法就,向量数乘运算的几何意义等向量学问,充分利用向量共线是解决此题的关键18在直角三角形 ABC 中,点 D 是斜边 AB 的中点,点 P 为线段 CD 的中点,就 =A2 B4 C5 D10 考点：向量在几何中的应用专题：运算题；综合题分析：以 D 为原点, AB 所在直线为 x 轴,建立坐标系,由题意得以 AB 为直径的圆必定经过 C 点,因此设 AB=2r ,解答： CDB= ,得到 A 、B、C 和 P 各点的坐标,运用两点的距离公式求出 |PA| 2+|PB| 2 和|PC|2 的值,即可求出的值解：以 D 为原点, A

23、B 所在直线为 x 轴,建立如图坐标系, AB 是 Rt ABC 的斜边, 以 AB 为直径的圆必定经过 C 点设 AB=2r ,CDB= ,就 Ar,0,Br,0,Crcos,rsin 点 P 为线段 CD 的中点, Prcos,rsin |PA| 2= + = +r 2cos,|PB| 2= + = r 2cos,可得 |PA|2+|PB| 2= r 2又 点 P 为线段 CD 的中点, CD=r |PC|2= = r 2 所以：= =10 应选 D 点评：此题给出直角三角形ABC 斜边 AB 上中线 AD 的中点 P,求 P 到 A 、B 距离的平方和与PC 平方的比值,着重考查了用解析

24、法解决平面几何问题的学问点,属于中档题二解答题共 6 小题19如图示,在 ABC 中,假设 A,B 两点坐标分别为2,0, 3,4点 C 在 AB 上,且 OC 平分 BOA 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页,共 19 页精选学习资料 - - - - - - - - - 1求 AOB 的余弦值；2求点 C 的坐标考点：向量在几何中的应用专题：综合题=；再由点分析： 1由题意可得,把已知代入可求 2设点 Cx,y,由 OC 平分 BOA 可得 cosAOC=cos BOC 即解答：C 在 AB 即共线,建立关于x,y 的关系,可求解：1由题意可得,= 2设点 Cx, y,由

25、OC 平分 BOA 可得 cos AOC=cos BOC ,=,y=2x 又点 C 在 AB 即 共线, 4x+5y 8=0 由 解得,点 C 的坐标为点评：此题留意考查了向量的夹角公式的坐标表示的应用,向量共线的坐标表示在三角形中的应用,解题的关键是借助于已知图象中的条件,敏捷的应用向量的基本学问20已知向量=cos,sin和1假设,求角 的集合；14 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页,共 19 页精选学习资料 - - - - - - - - - 2假设,且 | |=,求的值考点：平面对量的坐标运算专题：运算题 的方程,求出 的一个三角函数值,再依据三角函数求分析： 1由

26、题意和共线向量的等价条件,列出关于角出角 的集合解答： 2由题意先求出的坐标,依据此向量的长度和向量长度的坐标表示,列出方程求出, ,cos,由余弦的二倍角公式和 的范畴求出的值解：1由题意知,就 cos cos sin sin =0,sin=1,sin= 角 的集合 = |=+2k 或 =+2k,kZ ； 2由题意得,=cos+sin,sin cos, | |=2=,即 cos =,由余弦的二倍角公式得,=,即 cos 0, 由 得 cos =点评：此题考查了共线向量的坐标表示和向量长度的坐标表示,利用两角正弦余弦和差公式和二倍角公式进行变形求解,留意由已知条件求出所求角的范畴,来确定所求三

27、角函数值的符号21如下图,假设D 是 ABC 内的一点,且AB2 AC 2=DB2 DC 2求证： AD BC15 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页,共 19 页精选学习资料 - - - - - - - - - 考点：向量在几何中的应用专题：运算题；证明题；平面对量及应用分析：设 =,=,=,=,=,将 = +、 = + 代入 22 的式子, 化简整理 22= 2+2 . 2 . 2,结合题意 22= 22 化简,可得 .=0,再结合向量的加减法法就得到 . =0,由此结合数量积的性质即可得到 AD BC解答：解：设 =,=,=,=,=,就 = +,= +22=+2 +2=

28、 2+2 . 2 . 2 由已知 AB 2 AC 2=DB 2 DC 2,得 22= 22,2+2 . 2 . 2= 22,即 .=0= + =,. = .=0,因此,可得,即 AD BC点评：此题给出三角形 ABC 内满意平方关系的点 D,求证 AD BC 着重考查了平面对量的加减法就、向量的数量积及其运算性质等学问,属于中档题22已知向量,其中 A、B 是 ABC的内角,1求 tanA.tanB 的值；16 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页,共 19 页精选学习资料 - - - - - - - - - 2假设 a、b、c 分别是角 A、B、C 的对边,当C 最大时,求的

29、值考点：平面对量的综合题专题：运算题tanA.tanB；分析： 1依据推断出=0,利用向量的数量积运算结合二倍角公式求得解答： 2由于 tanA.tanB=0,利用基本不等式得出当且仅当时, c 取得最大值,再利用同角公式求出 sinC, sinA ,最终由正弦定理求的值解：由题意得=0 即, 5cosA+B +4cosA B=0 cosAcosB=9sinAsinB tanA.tanB= 2由于 tanA.tanB=0,且 A、 B 是 ABC 的内角, tanA0,tanB0 取等号,tanC=,=当且仅当 c 为最大边时,有 sinC=,sinA=由正弦定理得：点评：此题是中档题,考查三

30、角函数的化简与求值,正弦定理的应用,基本不等式的学问,是一道综合题,考查学 生分析问题解决问题的才能,公式的娴熟程度打算同学的才能的高低23已知向量且,函数 fx=2I求函数 fx的最小正周期及单调递增区间；II 假设,分别求 tanx 及 的值17 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页,共 19 页精选学习资料 - - - - - - - - - 考点：平面对量数量积的坐标表示、模、夹角；复合三角函数的单调性专题：平面对量及应用=2sin2x+,可得函数的周期,令2k2x+2k+,kz,求分析： I化简函数fx=2得 x 的范畴,即可得到函数的单调递增区间 II由,求得 ta

31、nx=,再由 = =,运算求得结果解答： I解：函数 f x=2 =2 sinxcosx+2cos2x 1= sin2x+cos2x=2sin 2x+,故函数的周期为 =,令 2k2x+2k+,kz,求得 kxk+,故函数的单调递增区间为 k ,k+ ,kz II解：假设,就 sinx= cosx,即 tanx= = = =点评：此题主要考查两个向量的数量积的定义,三角函数的恒等变换及化简求值,正弦函数的增区间,三角函数的周期性和求法,属于中档题24已知,函数 fx=1求函数 f x的最小正周期；2求函数 f x的单调减区间；3当 时,求函数 fx的值域考点：平面对量的综合题；三角函数中的恒等

32、变换应用；三角函数的周期性及其求法；复合三角函数的单调性专题：综合题fx的分析： 1依据向量的数量积公式,结合二倍角公式、帮助角公式化简函数,利用周期公式,可求函数18 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页,共 19 页精选学习资料 - - - - - - - - - 最小正周期；解答： 2由 2k+2x+2k+得 k+xk+,从而可得fx的单调减区间；,k+kZ 3由,可得,从而可求函数fx的值域解：1,点评： 函数 f x=5sinxcosx+sin2x+6cos2x=5sin2x+ +fx的最小正周期； 2由 2k+2x+2k+得 k+xk+,kZfx的单调减区间为k + 31f x即 fx的值域为 1,此题考查向量学问的运用,考查三角函数的化简,考查函数的单调性与值域,化简函数是关键19 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页,共 19 页