2022年高中文科数学基本知识点总结.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结 精品学问点高考数学高考复习（基础学问、常见结论）一、集合与简易规律：一、懂得集合中的有关概念（ 1）集合中元素的特点：,；,1；有理数集1、集合元素的互异性：如：Ax ,xy ,lgxy ,B |,0x|,y,求 A ；（ 2）集合与元素的关系用符号,表示；（ 3）常用数集的符号表示：自然数集；正整数集、；整数集实数集；y|yx22x；（ 4）集合的表示法：列举法,描述法,韦恩图；注 意 ： 区 分 集 合 中 元 素 的 形 式 ： 如 ：Ax|yx22 x1；BCx ,y |yx22x1；Dx|x2 x2x1；Ex ,y|yx22

2、 xxZ,yZ；Fx,y|yx22x1；Gz|yx22x,1zyx（ 5）空集是指不含任何元素的集合；（0 、和的区分； 0 与三者间的关系）空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集；留意：条件为|A2B,在争论的时候不要遗忘了A的情形；如：Axx10 ,假如AR,求 a 的取值；ax2二、集合间的关系及其运算名师归纳总结 （ 1）符号“,” 是表示元素与集合之间关系的,立体几何中的表达点与直线（面）的关系；第 1 页,共 20 页符号“,” 是表示集合与集合之间关系的,立体几何中的表达面与直线 面的关系（ 2）AB_；AB_；CUA_（ 3）对于任意集合A,B,就：AB_BA；AB_BA

3、；AB_AB；ABA；ABA；CUABU；CUAB；CUACUB；CUAB；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - （ 4）如 n 为偶数,就 n名师总结精品学问点；如 n 被；如 n 为奇数,就 n如 n 被 3 除余 0,就 n；如 n 被 3 除余 1,就 n3 除余 2,就 n；三、集合中元素的个数的运算：（ 1 ）如集合 A中有 n 个元素,就集合 A的全部不同的子集个数为 _ ,全部真子集的个数是_ ,全部非空真子集的个数是；（ 2）A B 中元素的个数的运算公式为：Card A B ；四、A x | x 满意条件 p ,B x | x 满意条件

4、 q ,如；就 p 是 q 的充分非必要条件 A _ B；如；就 p 是 q 的必要非充分条件 A _ B；如；就 p 是 q 的充要条件 A_ B；如；就 p 是 q 的既非充分又非必要条件 _ ；五、原命题与逆否命题,否命题与逆命题具有相同的；留意：“ 如 p q,就 p q” 在解题中的运用,如：“sin sin” 是“” 的 条件；适用与待证命题的结论涉及“ 不行能”、“ 不是” 、“ 至少” 、“ 至多” 、“ 唯独” 等字眼时；正面词语 等于 大于 小于 是 都是 至多有一个否定正面词语至少有一个任意的全部的至多有 n 个任意两个否定二、函数一、映射与函数：名师归纳总结 （ 1）映

5、射的概念：（2）一一映射： （3）函数的概念：个； A如：如A,12,3,4 ,Ba,b,c ；问： A 到 B 的映射有个, B 到 A 的映射有到 B 的函数有个,如A,12 ,3 ,就 A到 B 的一一映射有个；第 2 页,共 20 页函数yx的图象与直线xa交点的个数为个；二、函数的三要素：,；相同函数的判定方法：；两点必需同时具备 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结 精品学问点（ 1）函数解析式的求法：定义法（拼凑） ：换元法：待定系数法：赋值法 方程组法 ：（ 2）函数定义域的求法：yfx ,就；y2nfx nxN*就；gx yfx

6、 0,就；如：yl o g fgx,就含参问题的定义域要分类争论；如：已知函数yfx的定义域是0 1,求xfxafxa的定义域；对于实际问题,在求出函数解析式后；必需求出其定义域,此时的定义域要依据实际意义来确定；如：已知扇形的周长为20 ,半径为 r ,扇形面积为 S ,就Sfr；定义域为；（ 3）函数值域的求法：1配方法：转化为二次函数, 利用二次函数的特点来求值；常转化为型如：fx ax2bxc,xm ,n的形式；2.换元法：通过变量代换转化为能求值域的函数,化归思想；3.三角有界法：转化为只含正弦、余弦的函数,运用三角函数有界性来求值域；4.基本不等式法：转化成型如：yxkk0 ,利用

7、平均值不等式公式来求值域；x5.单调性法：函数为单调函数,可依据函数的单调性求值域；6.数形结合：依据函数的几何图形,利用数型结合的方法来求值域；求以下函数的值域：yabxa0 ,b0 ,ab,x1,1 （ 2 种方法）；abxyx2x3,x0,（2 种方法）；yx2xx3,x,0（2 种方法）；x1三、函数的性质：函数的单调性、奇偶性、周期性1. 单调性：定义：留意定义是相对与某个详细的区间而言；判定方法有：定义法（作差比较和作商比较）；导数法（适用于复杂函数）；复合函数法；应用：比较大小,证明不等式,解不等式；2. 奇偶性：定义：留意区间是否关于原点对称,比较 fx 与 f-x 的关系；f

8、x f-x=0 fx =f-x fx 为偶函数；fx+f-x=0 fx = f-x fx 为奇函数；判别方法：定义法,图像法,复合函数法应用：把函数值进行转化求解；名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 20 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结 精品学问点3. 周期性：定义：如函数 fx 对定义域内的任意 x 满意： fx+T=fx, 就 T 为函数 fx 的周期；其他：（1）如函数 fx 对定义域内的任意 x 满意： fx+a=fxa,就 T=2a 为函数 fx 的周期 . （2）如函数 fx 对定义域内的任意 x 满意： fx+a=-fx, 就 T

9、=2a 为函数 fx 的周期 . 13 如函数 fx 对定义域内的任意 x 满意： fx+a= ,就 T=2a 为函数 fx 的周期 . f x 应用：求函数值和某个区间上的函数解析式；四、图形变换：函数图像变换：（重点）要求把握常见基本函数的图像,把握函数图像变换的一般规律；常见图像变化规律： （留意平移变化能够用向量的语言说明,和按向量平移联系起来摸索）1. 平移变换y=fxy=fx+a,y=fx+b 经过向平移个单位 ,得留意：（）有系数,要先提取系数；如：把函数到函数 的图象；（）会结合向量的平移,懂得依据向量 2. 对称变换a =（,）平移的意义；y=fxy=fx, 关于轴对称 ;

10、y=fxy=fx , 关于轴对称 ; y=fxy= f x ,把轴上方的图象保留,轴下方的图象关于轴对称 ; y=fxy= f x 把轴左侧部分去掉,右边的图象保留, 然后将轴右边部分关于轴对称；（留意：它是一个偶函数）3. 伸缩变换： y=fxy=f x, y=fxy=Af x+ 详细参照三角函数的图象变换；一个重要结论：如 fa x fa+x ,就函数 y=fx 的图像关于直线 x=a 对称；如：y f x 的图象如图,作出以下函数图象：（ 1）y f x ；（ 2）y f x ；（3）y f | x |；y y=fx （ 4）y | f x |；（5）y f x ；（6）y f x 1

11、；（ 7）y f x 1；（8）y f x ；0,-1 O 2,0 x 00 五、常用的初等函数：（ 1）一元一次函数：yaxba0 ,当a0时,是增函数；当a0时,是减函数；b=0 时为奇函数；（ 2）一元二次函数：名师归纳总结 一般式：yax2bxca0；对称轴方程是；顶点为；第 4 页,共 20 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 两点式：ya xx 1xh名师总结精品学问点；x 2；对称轴方程是；与x轴的交点为顶点式：ya xk2；对称轴方程是；顶点为一元二次函数的单调性和奇偶性：当a0时：为增函数；为减函数；当a0时：为增函数；为减函数；（对

12、称轴在区间外含端点时二次函数在区间内单调）b=0 时为偶函数二次函数求最值问题：第一要采纳配方法,化为ya xk2h的形式,、如顶点的横坐标在给定的区间内,就a0时：在顶点处取得最小值,最大值在距离对称轴较远的端点处取得；时：在顶点处取得最大值,最小值在距离对称轴较远的端点处取得；a0、如顶点的横坐标不在给定的区间外,就a0时：最小值在距离对称轴较近的端点处取得,最大值在距离对称轴较远的端点处取得；时：最大值在距离对称轴较近的端点处取得,最小值在距离对称轴较远的端点处取得；a0有三个类型题型：21顶点固定,区间也固定；如：y x x ,1 x 1,12顶点含参数 即顶点变动 ,区间固定, 这时

13、要争论顶点横坐标何时在区间之内,何时在区间之外；3顶点固定,区间变动,这时要争论区间中的参数y x 2x ,1 x a , a 1 2二次方程实数根的分布问题：设一元二次方程 f x ax bx c 0 的两根为 x 1, x 2；就：根的情形 x 1 x 2 k x 1 x 2 k x 1 k x 2在区间 k , 上有 在区间 , k 上有 在区间 k , 或等价命题两根 两根 , k 上有一根充要条件留意： 如在闭区间m ,n争论方程fx0有实数解的情形,可先利用在开区间m ,n上实根分布的名师归纳总结 情形,得出结果,在令xn和xxm检查端点的情形；第 5 页,共 20 页（ 3）反比

14、例函数：yax0 ab（一般的一次比一次的分式函数分别常数后的结果）cyx- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - （ 4）指数函数：xyaxa名师总结精品学问点；,0a1指数运算法就：；重点是指数函数： y=a图像及性质： （列表）ylogaxa0,a1 （ 5）对数函数：对数运算法就：logax；换底公式：；重要恒等式：；对数函数： y=ao,a 1 的 图象及性质： （列表）留意：（1）yax与ylogax的图象关系是；（ 2）比较两个指数或对数的大小的基本方法是构造相应的指数或对数函数,如底数不相同时转化为同底数的指数或对数,仍要留意与11 比较或与

15、0 比较；（ 3）已知函数fx logx2kx2 的定义域为 R ,求 k 的取值范畴；2已知函数fx log1x2kx2 的值域为 R ,求 k 的取值范畴；2六、yxkkk0 的图象：；奇偶性：；单调性：是x；值域：定义域：增函数；k是减函数；单调性：yx0定义域：x七、补充内容：抽象函数的性质所对应的一些详细特殊函数模型：名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 20 页精选学习资料 - - - - - - - - - fx 1x2fx 1fx2名师总结f精品学问点k0 正比例函数xkx fx 1x2ffx1fx2；fx 1x2fx 1fx2；2；x 1fx 1x2x 1f

16、xffx1fx 2x 2三、导数求导公式及法就：基本初等函数的导数公式：和差积商的导数法就：导数的几何物理意义：（ 1） kf /x 0表示过曲线 y=fx 上的点 Px 0,fx 0的切线的斜率；2V s /t 表示即时速度；a=v /t 表示加速度；导数的应用：求切线的斜率；导数与函数的单调性的关系 f x 0 与 f x 为增函数的关系；3f x 0 能推出 f x 为增函数,但反之不肯定；如函数 f x x 在 , 上单调递增,但f x 0,f x 0 是 f x 为增函数的充分不必要条件； f x 0 时,f x 0 与 f x 为增函数的关系；如将 f x 0 的根作为分界点,由于

17、规定 f x 0,即抠去了分界点,此时 f x 为增函数,就一定有 f x 0；当 f x 0 时,f x 0 是 f x 为增函数的充分必要条件； f x 0 与 f x 为增函数的关系；f x 为增函数,肯定可以推出 f x 0,但反之不肯定,由于 f x 0,即为 f x 0 或f x 0；当函数在某个区间内恒有 f x 0,就 f x 为常数,函数不具有单调性；f x 0 是f x 为增函数的必要不充分条件；函数的单调性是函数一条重要性质,也是高中阶段争论的重点,我们肯定要把握好以上三个关系,用名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 20 页精选学习资料 - - - -

18、 - - - - - 名师总结 精品学问点导数判定好函数的单调性；因此新教材为解决单调区间的端点问题,都一律用开区间作为单调区间,防止争论以上问题,也简化了问题；但在实际应用中仍会遇到端点的争论问题,要谨慎处理；单调区间的求解过程,已知 y f x （1）分析 y f x 的定义域 ;（2）求导数 y f x （3）解不等式 f x 0,解集在定义域内的部分为增区间（4）解不等式 f x 0,解集在定义域内的部分为减区间；我们在应用导数判定函数的单调性时肯定要搞清以下三个关系,才能精确无误地判定函数的单调性；以下以增函数为例作简洁的分析,前提条件都是函数yf x 在某个区间内可导；求极值、求最

19、值；留意：极值 最值；函数 fx 在区间 a,b 上的最大值为极大值和 fa 、 fb 中最大的一个；最小值为微小值和 fa 、fb 中最小的一个；f/x 00 不能得到当 x=x 0 时,函数有极值；但是,当 x=x 0 时,函数有极值 f /x 00 判定极值,仍需结合函数的单调性说明；4. 导数的常规问题：（ 1）刻画函数（比初等方法精确微小）；（ 2）同几何中切线联系（导数方法可用于争论平面曲线的切线）；（ 3）应用问题（初等方法往往技巧性要求较高,而导数方法显得简便）等关于 n 次多项式的导数问题属于较难类型；2关于函数特点,最值问题较多,所以有必要专项争论,导数法求最值要比初等方法

20、快捷简便；3导数与解析几何或函数图象的混合问题是一种重要类型,也是高考中考察综合才能的一个方向,应引起留意；四、不等式一、不等式的基本性质：留意： 1特值法是判定不等式命题是否成立的一种方法,此法特殊适用于不成立的命题；2留意课本上的几个性质,另外需要特殊留意：如 ab0 ,就11；即不等式两边同号时,不等式两边取倒数,不等号方向要转变；ab假如对不等式两边同时乘以一个代数式,要留意它的正负号,假如正负号未定,要留意分类争论；图象法：利用有关函数的图象（指数函数、对数函数、二次函数、三角函数的图象）,直接比较大小；中介值法：先把要比较的代数式与“0” 比,与“1” 比,然后再比较它们的大小二、

21、均值不等式：两个数的算术平均数不小于它们的几何平均数；名师归纳总结 如a ,b0,就a2bab（当且仅当ab时取等号）第 8 页,共 20 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 基本变形：ab；名师总结2精品学问点；a2b如a,bR,就a2b22ab,a22b2a2b2基本应用：放缩,变形；求函数最值：留意：一正二定三相等；积定和小,和定积大；当abbp（常数）,当且仅当时,；当S（常数）,当且仅当时,a常用的方法为：拆、凑、平方；如：函数yx,4x29xx1的最小值的最小值；42如正数y满意x2y1,就11xy三、常用的基本不等式：（1）设a,bR,就

22、a20,a1b20（当且仅当a（当且仅当时取等号）时取等号）（2）|a |a（当且仅当时取等号）；|a |1 b；（3）ab ,ab011；aab四、证明不等式常用方法：（ 1）比较法：作差比较：AB0AB作差比较的步骤：作差：对要比较大小的两个数（或式）作差；变形：对差进行因式分解或配方成几个数（或式）的完全平方和；判定差的符号：结合变形的结果及题设条件判定差的符号；留意：如两个正数作差比较有困难,可以通过它们的平方差来比较大小；五、不等式的解法：（ 1）一元一次不等式：、ax b a 0 ：如 a 0,就；如 a 0,就；、ax b a 0 ：如 a 0,就；如 a 0,就；（ 2）一元二

23、次不等式：一元二次不等式二次项系数小于零的,同解变形为二次项系数大于零；留意考虑的次序为：名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 20 页精选学习资料 - - - - - - - - - A. 二次项系数的符号0,就|x |a名师总结；|精品学问点|x |a；B. 判别式的符号；C. 根的大小（ 3）肯定值不等式：如a留意： 1.几何意义：| x ：xm|：2解有关肯定值的问题,考虑去肯定值,去肯定值的方法有：争论肯定值内的符号；.通过两边平方去肯定值；需要留意的是不等号两边为非负值；.含有多个肯定值符号的不等式可用“ 按零点分区间争论” 的方法来解；（ 4）分式不等式的解法：

24、通解变形为整式不等式；fx0；fx0；gxgx fx0；fx0；gxgx （5）不等式组的解法：分别求出不等式组中,每个不等式的解集,然后求其交集,即是这个不等式组的解集,在求交集中,通常把每个不等式的解集画在同一条数轴上,取它们的公共部分；（ 6）解含有参数的不等式：解含参数的不等式时,第一应留意考察是否需要进行分类争论.假如遇到下述情形就一般需要争论：不等式两端乘除一个含参数的式子时,就需争论这个式子的正、负、零性. x2在求解过程中,需要使用指数函数、对数函数的单调性时,就需对它们的底数进行争论. 在解含有字母的一元二次不等式时,需要考虑相应的二次函数的开口方向,对应的一元二次方程根的状

25、况（有时要分析 ） ,比较两个根的大小,设根为x 1, x 2（或更多） 但含参数, 要分x 1x2、x 1x2、x 1争论；五、数列 本章是高考命题的主体内容之一,应切实进行全面、深化地复习,并在此基础上,突出解决下述几个 问题：名师归纳总结 项为（1）等差、等比数列的证明须用定义证明,值得留意的是,如给出一个数列的前n 项和S ,就其通anS nS 1n1 ,N.如a1S 1满意a 1S 2S 1,就通项公式可写成anSnS n1. S n1n,2n（2）数列运算是本章的中心内容,利用等差数列和等比数列的通项公式、前n 项和公式及其性质熟第 10 页,共 20 页- - - - - - -

26、精选学习资料 - - - - - - - - - 练地进行运算,是高考命题重点考查的内容名师总结精品学问点. （3）解答有关数列问题时,常常要运用各种数学思想 习应达到的目标 . .善于使用各种数学思想解答数列题,是我们复函数思想：等差等比数列的通项公式求和公式都可以看作是qnn 的函数,所以等差等比数列的某些问题可以化为函数问题求解. q1及Snna1q1 ；已知S 求分类争论思想： 用等比数列求和公式应分为S na 111qa 时,也要进行分类；整体思想：在解数列问题时,应留意摆脱呆板使用公式求解的思维定势,运用整体思想求解 . （4）在解答有关的数列应用题时,要仔细地进行分析,将实际问题

27、抽象化,转化为数学问题,再利用有关数列学问和方法来解决 .解答此类应用题是数学才能的综合运用,决不是简洁地仿照和套用所能完成的 .特殊留意与年份有关的等比数列的第几项不要弄错 . 一、基本概念：1、 数列的定义及表示方法：2、 数列的项与项数：3、 有穷数列与无穷数列：4、 递增（减）、摇摆、循环数列：5、 数列 a n 的通项公式 a n：6、 数列的前 n 项和公式 Sn: 7、 等差数列、公差 d 、等差数列的结构：8、 等比数列、公比 q 、等比数列的结构：二、基本公式：9、一般数列的通项an 与前 n 项和 S n 的关系： a n=S nS 1n1 k 项 当S n1n2 10 、

28、等差数列的通项公式： a n=a 1+n-1d an=a k+n-kd 其中 a 1 为首项、ak 为已知的第d 0 时, an 是关于 n 的一次式；当d=0 时, an 是一个常数；na 12anS n=nannn1 d11、等差数列的前n 项和公式： Sn=na1nn1 dS n=22当 d 0 时, S n 是关于 n 的二次式且常数项为0；当 d=0 时（ a1 0）,S n=na 1 是关于 n 的正比例式；名师归纳总结 12 、等比数列的通项公式：a n= a 1 qn-1a n= a k qn-k 其中 a1 为首项、 a k 为已知的第k 项, a n 0 13 、等比数列的

29、前n 项和公式：当q=1 时, S n=n a 1 是关于 n 的正比例式 ；当 q 1 时, Sn=a1 1qnSn =a1anq1q1q第 11 页,共 20 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结 精品学问点三、有关等差、等比数列的结论14 、等差数列 a n 中： S m、 S2m -S m、S 3m-S 2m 、S4m - S 3m、 仍为等差数列；15 、等差数列 a n 中,如 m+n=p+q,就ama napaq16 、等比数列 a n 中,如 m+n=p+q,就amanapaq17 、等比数列 a n 中, S m、 S2m -

30、S m、S 3m-S 2m 、S4m - S 3m、 仍为等比数列；18 、两个等差数列 19 、两个等比数列a n与b n的和差的数列 a n+ b n、a n-b n仍为等差数列；a n与b n的积、商、倒数组成的数列a nb n、an、1仍为等比数列；b nb n20 、等差数列 a n 的任意等距离的项构成的数列仍为等差数列；21 、等比数列 a n 的任意等距离的项构成的数列仍为等比数列；22 、三个数成等差的设法：a-d,a,a+d ；四个数成等差的设法：a-3d,a-d,a+d,a+3d 23 、三个数成等比的设法：a/q,a,aq ；四个数成等比的错误设法：a/q 3,a/q,

31、aq,aq 3为什么？ a n24 、a n为等差数列,就 c c0 是等比数列；25 、b n（b n0 ）是等比数列,就 log cb n c0 且 c 1 是等差数列；26. 在等差数列 a n 中：（ 1）如项数为 2 n,就 S 偶 S 奇 nd S 偶 a n 1S 奇 a n（ 2）如数为 2n 1 就,S 奇 S 偶 a n 1 S 奇 n 1,S 2 n 1 a n 1 2 n 1 S 偶 n27. 在等比数列 a n 中：S 偶 S 奇 a 1（ 1）如项数为 2 n,就 q（2）如数为 2n 1 就,qS 奇 S 偶四、数列求和的常用方法：公式法、 裂项相消法、 错位相减

32、法、 倒序相加法等； 关键是找数列的通项结构；n28 、分组法求数列的和：如 a n=2n+3n 29 、错位相减法求和：如 an=2n-1230 、裂项法求和：如 an =1/nn+1 31 、求数列 a n的最大、最小项的方法：0an+1 -a n= 0如 a n= -2n2+29n-3 0名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 20 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结 精品学问点 a n 1 11 a n0 如 a n= 9 n nn 1 a n 101 a n=fn 争论函数 fn 的增减性 如 a n= 2 nn 15632 、在等差数列

33、a n 中 ,有关 Sn 的最值问题常用邻项变号法求解：1 当 0,d0 时,满意 的项数 m 使得 取最大值 . 2 当0 时,满意的项数 m 使得取最小值；在解含肯定值的数列最值问题时,留意转化思想的应用；六、平面对量1基本概念：向量的定义、向量的模、零向量、单位向量、相反向量、共线向量、相等向量；2 加法与减法的代数运算：1A 1A 2A 2A 3A n1A nA 1A nx1x2,y 1y2）2 如 a=（x 1, y 1）,b= （x2, y2）就 ab= （向量加法与减法的几何表示：平行四边形法就、三角形法就；以向量AB = a 、 AD = b 为邻边作平行四边形ABCD ,就两

34、条对角线的向量AC = a + b , BD = b a , DB = a b且有 a b a b a + b 向量加法有如下规律：a b = b a 交换律 ; a + b +c= a + b +c （结合律） ; a +0= a a a =0. 3实数与向量的积：实数 与向量 a 的积是一个向量；1 a = a ; 2 当0 时,a 与 a 的方向相同；当0 时,a 与 a 的方向相反；当 =0 时,a =03 如 a =（x 1, y 1）,就 a =（x 1, y 1）两个向量共线的充要条件：名师归纳总结 1 向量 b 与非零向量 a 共线的充要条件是有且仅有一个实数,使得 b=a 第 13 页,共 20 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - -