2022年高中数学解题小技巧.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载高中数学解题小技巧一、代入法如动点 P x , y 依靠于另一动点 Q x 0y 0 而运动,而 Q 点的轨迹方程已知（也可能易于求得） 且可建立关系式 x 0 f x ,y 0 g x ,于是将这个 Q 点的坐标表达式代入已知（或求得）曲线的方程,化简后即得 P 点的轨迹方程,这种方法称为代入法,又称转移法或相关点法；x【例 1】（20XX 年高考广东卷）已知曲线xC ：yx2与直线 l ：y20交于两点A xAyA和BxByB,且AxB,记曲线C 在点 A 和点 B 之间那一段 L 与线段 AB 所围成的平面区域 （含边界

2、）为 D.设点Ps ,t是 L 上的任一点,且点 P 与点 A 和点 B 均不重合 .如点 Q是线段 AB 的中点,试求线段PQ 的中点 M 的轨迹方程；【巧解 】联立 y x 2与 y x 2 得 x A ,1 x B 2,就 AB 中点 Q 1, 5,2 21 s 5 t设线段 PQ 的中点 M 坐标为 x , y ,就 x 2 , y 2,2 2即 s 2 x 1, t 2 y 5,又点 P 在曲线 C 上,2 22 y 5 2 x 1 2化简可得 y x 2x 11,又点 P 是 L 上的任一2 2 8点,名师归纳总结 且不与点 A和点 B 重合,就12x12,即1x5,第 1 页,共

3、 39 页244中点 M 的轨迹方程为yx2x11（1x5）. 844【例 2】（20XX年,江西卷）设Px0 y0在直线xmym ,0m1 上,过点 P 作双曲线x2y21的两条切线PA 、 PB ,切点为 A 、 B ,定点 M10,；过点 A 作直线xy0的垂线,垂足为 N,试求AMNm- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载的重心 G所在的曲线方程；【 巧解 】设 A x y 1 , B x 2 , y 2 ,由已知得到 y y 2 0,且 x 1 y 1 1,2 2x 2 2y 2 21,（1）垂线 AN的方程为：y y 1 x

4、x ,由 y y 1 x x 1 得垂足 N x 1 y 1 , x 1 y 1 ,设重心 G x y , x y 0 2 2x 1 x 1 1 x 1 y 1 x 1 9 x 3 ym 3所以 3 m 2 解得 4y 1 y 1 0 x 1 y 1 9 y 3 x 13 2 y 1 m4由 x 1 2y 1 21 可得 3 x 3 y 13 x 3 y 1 2m m即 x 1 2y 2 2 为重心 G 所在曲线方程3 m 9巧练一：（20XX 年,江西卷）如图,设抛物线 C : y x 2 的焦点为F,动点 P 在直线 l : x y 2 0 上运动,过 P 作抛物线 C 的两条切线 PA、

5、PB,且与抛物线 重心 G的轨迹方程 . C 分别相切于 A、B 两点 .,求 APB 的巧练二：（20XX 年,全国 I 卷）在平面直角坐标系 xOy 中,有一个以 F 1 0 , 3 和 F 2 0 , 3 为焦点、 离心率为 3 的椭圆, 设椭圆在第2一象限的部分为曲线C,动点 P 在 C 上,C 在点 P 处的切线与 x、y 轴的交点分别为A、B,且向量OMOAOB,求点 M 的轨迹方程名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 39 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载二、直接法 直接从题设的条件动身,利用已知条件、相关公式、公理、定理、

6、法就通过精确的运算、严谨的推理、合理的验证得出正确的结论, 从而确定挑选支的方法叫直接法；从近几年全国各地的高考数学试题来看, 绝大大部分挑选题的解答用的是此法；但解 题时也要“ 盯住选项特点” 敏捷做题,一边运算,一边对选项进 行分析、验证,或在选项中取值带入题设运算,验证、挑选而迅 速确定答案；名师归纳总结 【例 1】（20XX年高考全国 II 卷）已知双曲线C:x2y21 a0 ,b0第 3 页,共 39 页a2b2的右焦点为F,过 F 且斜率为3 的直线交 C 于 A、B 两点；如AF4 FB,就 C 的离心率为（）（A）6（B）7（C）8（D）95555【 巧 解 】 设Ax 1y

7、1,Bx2y2,Fc,0, 由AF4FB, 得cx 1,y 14x2c ,y2y 14 y2,设过 F 点斜率为3 的直线方程为xyc,3由b2x2x2yycb20消去 x 得：b2a2y22 b2cyb40,23aa233y 1y22b6 b2c2, 将y14y2代入得3y 2236 b2c23 b2 43 a b243 ay 1y3 b24 yb3 b223 a23 a2化简得- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - y22 b2c2,3 学习必备2欢迎下载b3 b42,4 b4c23b23 a4y23 b22 b3 a24 23 a24b23 a化简得：

8、16c293 a2b29 3 a2c2a2,25c236a2,2 e36,25即e6；5fx满意故此题选（ A）【 例 2】（ 20XX 年,四川卷）设定义在R 上的函数fxfx213,如f 1 2,就f 99（）（A）13 （B）2 （C）13（D）2213【巧解 】fx213,fx4f13213fx fxx13,fx函数fx为周期函数,且T4f99f4243 f31313f 1 2应选（ C）巧练一：（20XX年,湖北卷）如fx1x2blnx2 在,1上是2减函数,就 b的取值范畴是（）,1D1A,1B,1C巧练二：（20XX年,湖南卷）长方体ABCDA1B1C1D1的 8 个顶点在同一个

9、球面上,且AB=2,AD=3 AA1=1,就顶点 A、B 间的球面距离是（）2C2D2A22B24名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 39 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载三、定义法 所谓定义法,就是直接用数学定义解题；挑选题的命题侧 重于对圆锥曲线径、准线、离心定义的考查,凡题目中涉及焦半径、通率及离心率的取值范畴等问题,定义解题,是一种重要的解题策略；用圆锥曲线的第一和其次【例 1】（20XX年高考福建卷,理13）过抛物线y22pxp0的焦点 F 作倾斜角为 45 0 的直线交抛物线于的长为 8,就 pA、B 两点,线段 AB【巧解

10、 】依题意直线AB 的方程为yxp 2,由ypx2p消去 y 得：2 pxy2x23pxp20,设Ax1y1,B x2y2,x 1x23,依据抛物线4的定义；|BF|x2p,|AF|x 1p,|AB|x 1x2p4p8,p2,22故此题应填 2；【例 2】（20XX年,山东卷,理10）设椭圆 C1的离心率为 13 5 ,焦名师归纳总结 点在 x轴上且长轴长为26. 如曲线 C2上的点到椭圆 C1的两个焦点第 5 页,共 39 页的距离的差的确定值等于8,就曲线 C2 的标准方程为（）（A）x2y21（B）x2y21423213252（C）x2y21（D）x2y213242132122【巧解 】

11、由题意椭圆的半焦距为c5,双曲线C 上的点 P满意- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - |PF1|PF2|8|F 1F2|,学习必备欢迎下载c5,a4,点 P 的轨迹是双曲线, 其中b3,故双曲线方程为x2y21,选（ A）,0b0的左、右4232巧练一：（20XX年,陕西卷）双曲线x2y21 aa2b2焦点分别是 F1,F2,过 F1作倾斜角为 30 的直线交双曲线右支于M 点,如 MF 2垂直于 x轴,就双曲线的离心率为（3）A6B3C2D3巧练二：（20XX年,辽宁卷）已知点P 是抛物线y22x上的一个动点,就点 P 到点（ 0,2）的距离与 距离之

12、和的最小值为（）P 到该抛物线准线的（A）17（B）3 （C）5（D）922四、向量坐标法向量坐标法是一种重要的数学思想方法,通过坐标化,把长度之间的关系转化成坐标之间的关系,使问题易于解决, 并从肯定程度上揭示了问题的数学本质；在解题实践中如能做到多 用、巧用和活用,就可源源不断地开发出自己的解题聪明,必能 收到事半功倍的成效；【例 1】（20XX 年,广东卷）在平行四边形ABCD中, AC 与 BD交于点 O,E 是线段 OD的中点, AE 的延长线与 CD 交于点名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 39 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢

13、迎下载F. 如 AC =a, BD =b,就 AF =（）A1 a + 41 b 2B2 a + 31 b 3C1 a + 1 b D2 4y 2 的正方形 ABCDD 1a + 32 b 3【巧解 】如下列图,选取边长为E C O 就B20,C2,2,D0 ,2,O1 1, ,E1,3,22直线 AE 的方程为y3 ,联立y3 x得F2,2 A B x y23AF2, 2 ,设AFxACyBD,就3AFx ,22 y2 , 2 2x2y, 2x2y2a1b,故2x2y2解之得x2,y1,AF2AC1BD3 23333332x2y此题选 B 【例 2】已知点 O 为 ABC内一点,且 OA 2

14、 OB 3 OC 0,就 AOB 、AOC 、BOC 的面积之比等于（）A9：4：1 B1：4：9 C3：2：1 D1：2：3 名师归纳总结 【巧解 】不妨设ABC为等腰三角形,B900y x 第 7 页,共 39 页A ABBC3,建立如下列图的直角坐标系,就点B0 ,0O A 0 ,3 ,C3 ,0 ,设Ox,y ,OA2OB3 OC0,即x3,y 2x,y3 3x ,yB C 0 0,6x9解之得x3,y1,即O 3,1 2,又直线AC 的方程为6y3222xy30, 就 点 O 到 直 线 AC 的 距 离h|32 1113|2, 2222| AC|32, 因 此S AOB1|AB|x

15、|9,S BOC1|BC|y|3,2424- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - S AOC1|AC|h3学习必备欢迎下载,应选 C22巧练一：（20XX 年,湖南卷）设D、E、F 分别是 ABC 的三边BC、CA、AB上的点,且DC2BD ,CE2EA ,AF2FB,就ADBECF与BC（）A反向平行B同向平行C相互垂直D既不平行也不垂直巧练二：设 O是ABC 内部一点,且OAOC2OB,就AOB与AOC面积之比是. 五、查字典法查字典是大家比较熟识的,我们用类似“ 查字典” 的方法来解决数字排列问题中数字比较大小的问题,防止了用分类争论法时简洁犯的重复和

16、遗漏的错误,给人以“ 神来之法” 的味道；利 用“ 查字典法” 解决数字比较大小的排列问题的思路是“ 按位逐 步争论法” （从最高位到个位） ,查首位时只考虑首位应满意题目条件的情形；查前“2” 位时只考虑前“ ” 位中第“2” 个数应满意条件的情形； 依次逐步争论, 但解题中既要留意数字不能重复,又要有充分的理论预备,如奇、偶问题,3 的倍数和 5 的倍数的特点, 0 的特性等等；以免考虑不全而出错；【例 1】（20XX 年,四川卷）用数字0,1,2,3,4,5 可以组成名师归纳总结 没有重复数字,并且比20000大的五位偶数共有（）第 8 页,共 39 页- - - - - - -精选学习

17、资料 - - - - - - - - - （A）288个学习必备欢迎下载（D）126个（B）240个（C）144个【巧解 】此题只需查首位, 可分 3 种情形, 个位为 0,即 0型,首位是 2,3,4,5 中的任一个, 此时个数为 A 4A 14 3；个位为 2,即 2, 此种情形考虑到万位上不为 0,就万位上只能排 3,4,5,所以个数为 A 13A 4 3；个位为 4,4型,此种特点考虑到万位上不为 0,就万位上只能排 2,3,5,所以个数为 A 13A 4 3；故共有 A 14 A 4 32 A 3 1A 4 3240 个；应选（ B）【例 2】（20XX年全国 II 卷）在由数字1,

18、2,3,4,5 组成的所有没有重复数字的 5 位数中,大于 23145且小于 43521的数共有（）A56个 B57个 C58个 D60个【巧解 】（1）查首位 ：只考虑首位大于 2 小于 4 的数,仅有 1种情形：即 3 型,此特点只需其它数进行全排列即可；有 A 种,（2）查前位 ：只考虑前“ ” 位中比既大又小的数,有 4种情形：24, 25, 41, 42 型,而每种情形均有 A 种满意条件,故共有 4A 种；（3）查前位 ：只考虑前“3” 位中既比大又小于 5 的数,有4 种情形：名师归纳总结 234, 235, 431, 432型,而每种情形均有A 种满意条第 9 页,共 39 页

19、件,故共有4A 种；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载（3）查前 4 位：只考虑前“种情形只有4” 位中既比 4 大又小于 2 的数,此23154和 43512两种情形满意条件； 故共有A 4 44A 3 34A2258个,2应选 C 巧练一：用数字 0 1, , 2 , 3 , 4 , 5 可以组成没有重复数字, 并且不大于 4310的四位偶数共有（）A110种 B109种 C108种 D107种巧练二：（20XX年,四川卷）用数字 1,2,3,4,5 可以组成没有重复数字 ,并且比 20000大的五位偶数共有（）（A）48个（B）

20、36 个（C）24个（D）18个六、挡板模型法挡板模型法是在解决排列组合应用问题中,对一些不易懂得且复杂的排列组合问题,当元素相同时, 可以通过设计一个挡板模型奇妙解决,否就,假如分类争论,往往费时费劲,同时也难以解决问题；【例 1】体育老师把 9 个相同的足球放入编号为 1,2,3 的三个箱中,要求每个箱子放球的个数不少于其编号,就不同的放球方法有（）A8 种 B10种 C12种 D16种【巧解 】先在 2 号盒子里放 1个小球,在 3 号盒子里放 2 个小球,余下的 6 个小球排成一排为：OOOOOO,只需在 6 个小球的 5 个名师归纳总结 空位之间插入2 块挡板,如：OO|OO|OO,

21、每一种插法对应着一第 10 页,共 39 页种放法,故共有不同的放法为C2 510种. 应选 B - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 【例 2】两个实数集A学习必备,a 50欢迎下载b b 2,b 25,如从 A 到 Ba a 2,B的 映 射 f 使 得 B 中 每 个 元 素 都 有 原 象 , 且f 1 a f 2 a f 5,就这样的映射共有（）个AA 50 BC 49 CC 50 DA 49 24 24 25 25【巧解 】不妨设 A和 B 两个集合中的数都是从小到大排列,将集合A 的 50个数视为 50个相同的小球排成一排为：OOOOOOO

22、OO,然后在 50个小球的 49 个空位中插入24块木板,每一种插法对应着一种满意条件fa 1fa 2fa 50对应方法,故共有不同映射共有C24种. 应选 B 49巧练一： 两个实数集合A= a1, a2, a3, , a15与 B=b1, b2, b3, , b10,如从 A 到 B 的是映射 f 使 B 中的每一个元素都有原象,且 fa1fa2 fa10 fa11 fa15, 就这样的映射共有AC 个（）C10 15个D10 510 A 15BC 个巧练二： 10个完全相同的小球放在标有1、2、3、4 号的四个不同盒子里,使每个盒子都不空的放法有（）种A24 B84 C120 D96 七

23、、等差中项法等差中项法是依据题目的题设条件（或隐含）的特点,联想到等差数列中的等差中项,构造等差中项, 从而可使问题得到快速解决,从而使解题过程变得简捷流畅,令人赏心悦目；名师归纳总结 【例 1】（20XX年,浙江卷）已知a0 ,b0,且ab2,就（）第 11 页,共 39 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - （A）ab1（B）ab学习必备欢迎下载a2b22（D）1（C）22a2b23ab2特点,可得a ,1,b成等差数列, 1为a 与 b 的【巧解 】依据等差中项；可设a 1 x,b 1 x,其中 1 x 1；就 ab 1 x,a b 2 2 x,2

24、 2 2 2又 0 x 21,故 0 ab 1,2 a 2b 24,由选项知应选（ C）【例 2】（20XX年,重庆卷） 已知函数 y 1 x x 3 的最大值为M,最小值为 m,就m M的值为（）（A）1（B）1（C）2（D）34 2 2 2【巧解 】由 y 1 x x 3 可得,y 为 1 x 与 x 3 的等差中2项,值令1xyt,x3yt,其中|t|y 2,|t|y 2,就22就yt2yt21xx34,即t22y2,又2240t2y2,故02y2y2,解之得2y222,即M2,m2444m2222,应选（ C）M2R *,x2y3 z0,y2的最小巧练：（ 20XX 年,江苏卷）x,y

25、,zxz. 八、逆向化法逆向化法是在解挑选题时, 四个选项以及四个选项中只名师归纳总结 有一个是符合题目要求的都是解题重要的信息；逆向化策略是第 12 页,共 39 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载把四个选项作为第一考虑的信息,解题时,要“ 盯住选项”,着重通过对选项的分析,考查,验证,推断进行否定或确定,或者依据选项之间的关系进行规律分析和挑选,合题目要求的选项；找到所要挑选的, 符【例 1】（20XX年,湖北卷）函数fx1lnx23 x2x23 x4x的定义域为（）A , 4 2 , B 4 , 0 0 1, C ,4 0 0

26、 1, D 4 , 0 0 1,【巧解 】观看四个选项取端点值代入运算即可,取 x 1,显现函数的真数为 0,不满意,排含有 1的答案 C,取 x 4 代入运算解析式有意义, 排不含有 4的答案 B,取 x 2 显现二次根式被开方数为负,不满意,排含有2 的答案 A,应选 D 评析：求函数的定义域只需使函数解析式有意义,凡是考查详细函数的定义域问题都可用特值法代入验证快速确定选项；【例 2 】 （20XX 年,江 西 卷）已 知f x 2 mx 22 4 m x 1 , g x mx,如对于任一实数 x , f 的值至少有一个为正数,就实数 m 的取值范畴是（A（0,2）B（0,8）x函 与g

27、数x）C（2,8）D（,0）2代入【巧解 】观看四个选项中有三个答案不含2,那么就取m验证是否符合题意即可,名师归纳总结 取m2,就有xfx 4x24x12x1 2,这个二次函数的函数值第 13 页,共 39 页f0对- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - xR且x1学习必备欢迎下载2x当x1时函数值是否为恒成立,现只需考虑gx22正数即可；这明显为正数；故m2符合题意,排除不含m2的选项A、C、D；所以选 B 巧练一：（20XX年,湖北卷）函数y2x x1（x0）的反函数是（1）2A.yx log 2 x1（x1）11C.yx log 2 x1（x1）11

28、xx212的解集是（巧练二：（20XX 年,重庆卷）不等式 A 1,01,B , 10,1C 1,00,1D, 11,九、极限化法极限化法是在解挑选题时,有一些任意选取或者变化的元素,我们对这些元素的变化趋势进行争论,分析它们的极限情形或者名师归纳总结 极端位置 ,并进行估算 ,以此来判定挑选的结果.这种通过动态变第 14 页,共 39 页化,或对极端取值来解挑选题的方法是一种极限化法. 【例1】 正三棱锥ABCD中, E 在棱 AB 上, F 在棱 CD 上,使AECF0,EBFD设为异面直线 EF 与 AC 所成的角,为异面直线 EF 与 BD 所成的角,就的值是（）A6B 4C 3D 2

29、【巧解 】当0时,EA,且FC,从而EFAC；由于ACBD,排除挑选支A ,B,C应选 D（或时的情形,同样可排除A,B,C）,所以选 D - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 【例 2】如a2x ,bx3,clog2学习必备欢迎下载a b c 的大小关系是x ,当 x1时,233（）0B cab C cbaD acbA abc【巧解 】当x时,a2 3,b1,c0,故 cab ,所以选 B 巧练一： 如0x2,就2x与3sinx的大小关系（）A2x3sinxB2 x3sinxC2x3 sinxD与 x的取值有关巧练二：对于任意的锐角,以下不等关系式中正确

30、选项 （）（A）sinsinsin（B）sincoscos（C）cossinsin（D）coscoscos十、整体化法整体化法是在解挑选题时,有时并不需要把题目精解出来,而是从题目的整体去观看,分析和把握 ,通过整体反映的性质或者对整体情形的估算 ,确定详细问题的结果 ,例如 ,对函数问题 ,有时只需要争论它的定义域 ,值域 ,而不肯定关怀它的解析示式 ,对函数图象 ,有时可以从它的整体变化趋势去观看,而不肯定摸索详细的名师归纳总结 对应关系 ,或者对 4个选项进行比较以得出结论,或者从整体 ,从全第 15 页,共 39 页局进行估算 ,而忽视详细的细节等等, 都可以缩短解题过程,这是一种从整

31、体动身进行解题的方法. 【例 1】已知是锐角,那么以下各值中,sincos可能取到的值是（）A3B4C5D14332【巧解 】sincos2sin4,又是锐角,02443,2sin41,即12sin42,应选 B 42- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载【例 2】20XX 年,全国卷 据 20XX年 3 月 5 日九届人大五次会议政府工作报告指出“20XX 年国内生产总值达到 95933 亿元 ,比上一年增长 7.3%.” 假如“ 十 五” 期间 2001-20XX年每年的国内生产总值按此年增长率增长 生产总值约为（）,那么 ,到“ 十 五” 末 ,我国国内（A）115000亿元 B120000亿元C 127000亿元 D135000亿元【巧解 】 留意到已知条件给出的数据特别精确, 20XX年国内生产总值达到 95933亿元 ,精确到亿元 ,而四个选项供应的数据都是近似值 , 精确到千亿元 ,即后三位都是 题,忽视一些局部的细节 . 0,因此 ,可以从整体上看问把 95933亿元近似地视为96000亿元 ,又把0.073 近似地视为0.005,这样一来 ,就有9593317.3%496000 14 0.07362 0.073|1 2 6A0的图9 6 0 0 0 10 . 2 9 260 . 0